di Leila Lisa d'Angelo

 

L'articolo è stato pubblicato su "Quaderni Satyagraha", del Centro Gandhi nel 2002. Nello stesso anno è comparso anche sulla rivista "L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate".

Ringraziamo entrambe le Redazioni per averci concesso di offrire agli amici del sito questo articolo che affronta tematiche importanti quali la pace, la guerra e l'attività scientifica e ci consente di conoscere un matematico sicuramente contro-corrente quale Louis Fry Richardson.

 

La Matematica tra pace e guerra
Un modello matematico per la corsa alle armi:
le equazioni di Richardson

 

Introduzione

Nel 1939, mentre sull'Europa si addensavano le nubi della seconda guerra mondiale, giunse alla redazione di una rivista scientifica un articolo di cui l'autore raccomandava l'immediata pubblicazione affinché fosse scongiurata una guerra imminente. L'autore, forse troppo fiducioso nell'attitudine a leggere lavori scientifici da parte di chi prende le decisioni che determinano la storia, era Louis Fry Richardson (Newcastle upon Tyne 1881 - Kilmun 1953).
L'aneddoto è citato nella prefazione all'edizione postuma di Arms and Insecurity (Richardson, 1960a, p.ix). Non è citato però per ridicolizzare un eccesso di ingenuità in questo matematico, esperto di meteorologia, precursore della teoria dei frattali (nota 1), quanto per sottolineare la sua profonda convinzione che occorresse studiare in modo rigoroso le cause della guerra, per scongiurare la violenza che allora minacciava l'umanità.

Richardson, britannico, proveniente da una famiglia quacchera, partecipò alla prima guerra mondiale senza imbracciare le armi, al seguito della Friends' Ambulance Unit.Più tardi, rinunciò al suo posto di ricercatore presso l'Ufficio Meteorologico, quando questo fu incorporato nel Air Ministry che allora controllava la Royal Air Force: non voleva che le sue ricerche servissero a scopi militari. Dedicò trent'anni allo studio delle cause della guerra e ad una imponente raccolta di dati statistici sulla guerra (Richardson 1960b). Ora è generalmente riconosciuto come il primo ad aver applicato esplicitamente metodi formali allo studio delle relazioni internazionali (Nicholson, 1989, p.6).
In questo lavoro, mi propongo di tracciare le idee essenziali del modello matematico proposto da Richardson in Arms and Insecurity, per descrivere l'evoluzione di una corsa alle armi.

 


Perchè un modello matematico

Nella prima metà del XX secolo comparvero i primi lavori di Matematica applicata allo studio di sistemi formati da numerosi elementi; nasceva il determinismo dei grandi numeri (Rapoport, 1960). E' assai noto il matematico italiano Vito Volterra, che nel 1927 pubblicò il suo primo modello matematico per descrivere le dinamiche di popolazioni biologiche (nota 2). Qual è il senso e lo scopo del lavoro del matematico lo spiega lo stesso Volterra:

"Plasmare dunque concetti in modo da poter introdurre la misura; misurare quindi; dedurre poi delle leggi; risalire da esse ad ipotesi; dedurre da queste, mercé l'analisi, una scienza di enti ideali si, ma rigorosamente logica; confrontare poscia con la realtà; rigettare o trasformare, man mano che nascono contraddizioni tra i risultati del calcolo ed il mondo reale, le ipotesi fondamentali che han già servito; e giungere così a divinare fatti e analogie nuove, o dallo stato presente arrivare ad argomentare quale fu il passato e che cosa sarà l'avvenire; ecco, nei più brevi termini possibili, riassunto il nascere e l'evolversi di una scienza avente carattere matematico."(Volterra, 1990, p.11)

Seguendo il lavoro di Richardson, assisteremo al tentativo di definire concetti altrimenti vaghi (attitudine alla guerra o rancori) allo scopo di poterli misurare, per dedurne delle leggi e poi confrontarle con la realtà. Le difficoltà della misura e di un effettivo confronto con la realtà non hanno condotto a rigettare il tentativo di Richardson, ma invece indotto nuovi studi e l'applicazione di nuove tecniche matematiche.

Costruzione del modello

Richardson si propone di costruire un modello che rappresenti e descriva l'evolversi delle relazioni tra un gruppo di nazioni, ciascuna delle quali è determinata a difendersi da un possibile attacco dell'altra.
Nel caso più semplice si fronteggiano due sole nazioni o comunque due gruppi di nazioni (come avvenne durante la corsa alle armi che precedette la prima guerra mondiale). A ciascuna delle due nazioni, che chiameremo Egolandia ed Alterlandia (nota 3), è assegnata una variabile (x e y rispettivamente), che rappresenta l'ammontare della sua attitudine aggressiva verso l'esterno. Richardson misurerà queste intenzioni aggressive in termini di spesa militare. In che modo determinare l'ammontare di questa spesa e, soprattutto, confrontare le spese di nazioni che hanno diverse unità monetarie, è oggetto di un'ampia discussione nella sua opera. In realtà è un problema ancora aperto, diventato anzi più difficile nell'attuale universo dell'alta tecnologia (Saperstein 1984, p.305). Bisogna poi individuare i motivi che possono spingere una nazione ad accrescere i propri armamenti. Insieme con Richardson, discutiamo un generico discorso pubblico, fittizio ma tipico dell'anno 1937. II Ministro della Difesa di Egolandia, nell'introdurre le sue stime, dice:

"Le intenzioni del nostro Paese sono completamente pacifiche. Abbiamo dato ampia evidenza di questo con i trattati che abbiamo recentemente concluso con i nostri vicini. Tuttavia, quando consideriamo lo stato di conflittualità nel mondo in generale e le minacce da cui siamo circondati, verremmo meno ai nostri doveri di governo se non facessimo passi adeguati per accrescere le difese della nostra amata terra."

Bisogna tradurre queste parole in termini matematici. La rappresentazione più semplice di ciò che dice quel primo ministro porta a dire che la velocità con cui cresceranno le difese della nostra amata terra deve essere proporzionale all'ammontare delle minacce da cui siamo circondati. In simboli:

dx / dt=ky, ( 1)

dove t è il tempo, x rappresenta le nostre difese, y rappresenta le minacce da cui siamo circondati e k è una costante positiva, che sarà denominata "coefficiente di difesa". Cosa siano le minacce da cui siamo circondati diventerà chiaro quando ci saremo resi conto che il discorso del primo ministro di Alterlandia differirà da quello del suo omologo di Egolandia solo per la lingua in cui sarà pronunciato. Scriveremo, scambiando il ruolo delle variabili x e y:

dy / dt=kx, (2)

La (1) e la (2) rappresentano una crescita esponenziale: se x e y sono inizialmente positive, esse cresceranno indefinitamente. Questo però non si è mai verificato. Esistono limitazioni alla crescita degli armamenti: sicuramente il costo esercita una limitazione, come sostengono importanti uomini di stato. Per esempio Winston Churchill, il 3 novembre 1909, mentre era Presidente del Board of Trade (Ministero del Commercio), cominciò una minuta al Gabinetto con queste parole:

"Essendo convinto che non ci sono praticamente impedimenti all'espansione navale della Germania eccetto quelli imposti dalle crescenti difficoltà di ottenere denaro, ho fatto preparare il rapporto accluso con l'intenzione di mostrare quando queste limitazioni diventeranno efficaci. E' chiaro che stanno diventando terribilmente efficaci." (citato in Richardson, op. cit., p.15)

Ancora, il Cancelliere tedesco, Principe Bülow scrisse:

"E' possibile che l'effetto di forzare convulsamente al massimo le risorse militari possa, reagendo sulle condizioni economiche e sociali della Francia, indurre il ritorno di sentimenti pacifici (...) Se i tre anni di servizio militare implicassero l'imposizione di una tassa sul reddito, questo avrebbe probabilmente un effetto calmante." (Bülow, citato in Richardson, op. cit., p.15)

Correggeremo allora le equazioni sottraendo al termine ky (che determina la velocità di crescita delle difese) un termine proporzionale all'ammontare delle nostre difese stesse. In simboli:

dx / dt = ky - ax , (3 )

dy / dt = lx-by (4)

dove a e b sono costanti positive che rappresentano la fatica e la spesa di sostenere la difesa e k e l sono coefficienti positivi di difesa, che ora vengono riguardati come eventualmente distinti.
A sostegno di questa formulazione, si può citare anche l'opinione di Edward Grey, British Foreign Secretary quando scoppiò la Prima Guerra Mondiale, che scrisse:

"L'incremento degli armamenti, che ogni nazione si aspetta produca una sensazione di forza e un senso di sicurezza, non produce questi effetti. Al contrario, produce una consapevolezza della forza delle altre nazioni ed un senso di paura (...). L'enorme crescita degli armamenti in Europa, il senso di insicurezza e di paura causato da essi (...) fu questo che rese la guerra inevitabile (....). Questa è la causa reale e definitiva dell'origine della Grande Guerra."(Grey, citato in Richardson, op.cit., p.15)

L'affermazione di Edward Grey è simbolizzata dai termini in k e l. Si confronti anche il resoconto di Tucidide sulla causa della guerra del Peloponneso: "la causa reale, sebbene inconfessata, credo sia stata la crescita del potere ateniese, che terrorizzò i Lacedemoni e li spinse alla guerra."(Jowett, citato in Richardson, op.cit., p.15).
Quando questa opinione di Edward Grey fu citata da Noel Baker (nella House of Commons il 20 luglio 1936), L.S.Amery replicò:

"Con tutto il rispetto alla memoria di un eminente uomo di stato, ritengo quella affermazione completamente sbagliata. Gli armamenti furono soltanto i sintomi del conflitto di ambizioni e ideali, di quelle forze nazionaliste, che crearono la guerra. Si arrivò alla guerra perché la Serbia, l'Italia e la Romania desideravano appassionatamente l'incorporazione nei loro Stati di territori che a quell'epoca appartenevano all'Impero Austriaco e che il governo austriaco non era preparato ad abbandonare senza lottare.La Francia era pronta, se fosse giunta l'opportunità, a fare uno sforzo per riconquistare l'Alsazia-Lorena. Fu in questi fatti, in quegli insolubili conflitti di ambizioni e non negli armamenti stessi, che si trova la causa della guerra." (Amery, citato in Richardson, op.cit., p.15)

Si può tener conto di quest'ultima opinione sommando un termine costante alle due equazioni. Richardson chiama questa costante additiva con il termine grievances, che potremmo tradurre con rancori. Si giunge così al sistema di equazioni:

dx / dt = ky - ax + g (5)

dy / dt = lx - by + h (6)

Riassumendo: ad ogni istante la velocità con cui crescono (o diminuiscono) gli armamenti di Egolandia è la somma di tre termini. Il primo, positivo, è proporzionale all'ammontare, in quell'istante, degli armamenti di Alterlandia; il secondo termine, negativo, è proporzionale all'ammontare degli armamenti della stessa Egolandia; il terzo termine, costante, può essere sia positivo sia negativo e misura lo stato d'animo di Egolandia verso Alterlandia (uno stato d'animo amichevole sarà rappresentato da g negativo, uno stato d'animo ostile sarà rappresentato da g positivo).


Il piano internazionale

L'ammontare dei preparativi per la guerra dei due gruppi, rappresentati dalle variabili x e y, possono essere riguardati come le coordinate cartesiane di un punto in un "piano internazionale". Ogni punto in questo piano rappresenta una possibile situazione istantanea internazionale. Le equazioni differenziali (5) e (6) sono allora le equazioni del moto del punto (fig.1).

L'opposto della guerra

Se durante il suo moto nel piano internazionale, il punto rappresentativo raggiungerà un quadrante diverso dal primo, allora, almeno una delle due nazioni si troverà in una situazione che è matematicamente l'opposto della guerra . Leggiamo direttamente le parole di Richardson sul significato da dare a questa situazione:

"La capacità di generalizzare della matematica è molto suggestiva. Essa conduce la nostra attenzione sulla possibilità di una "preparazione negativa alla guerra" e ci invita ad assegnarle un nome e ad indagare se le formule generali che abbiamo proposto restano ancora vere cambiando i segni delle variabili. Come introduzione, consideriamo non nazioni, ma solo due persone, e confrontiamo il litigare con l'innamorarsi. Se l'odio può essere considerato come amore negativo, queste due attività sono opposte. Tuttavia ci sono importanti rassomiglianze tra di esse. Lo stimolo principale ad innamorarsi profondamente è un segno d'amore da parte dell'altra persona, così come lo stimolo principale ad adirarsi di più è un insulto o un danno dall'altra persona. Se il litigare è rappresentato da dx / dl = ky e dy / dt = kx (nota 4), queste stesse due equazioni, con k e l ancora positive possono rappresentare l'innamorarsi. Perché se x e y sono entrambe negative, allora, in accordo con le equazioni, diventeranno più negative e continueranno così, sempre più velocemente, senza che il processo abbia termine, così come è descritto dalle equazioni (nota 5). Ora, tornando allo studio delle nazioni, notiamo che la classica antitesi "guerra o pace" non è appropriata qui. Perché la guerra è un'intensa attività mentre la pace, nel senso di una semplice tranquilla disattenzione per ciò che fanno gli stranieri, assomiglia a zero piuttosto che ad una quantità negativa. Preparazione negativa alla guerra deve significare che il gruppo dirige verso gli stranieri un'attività progettata per piacergli piuttosto che per irritarli. Perciò un nome adatto per la preparazione negativa alla guerra sembra essere "cooperazione".
Così come gli armamenti provocano contro-armamenti, anche l'aiuto evoca aiuto reciproco; per esempio, importazioni ed esportazioni tendono ad uguagliarsi. C'è anche una tendenza a ridurre la cooperazione a causa della fatica e delle spese che richiede. Perciò sembra che le formule generali restino grosso modo vere quando la preparazione cambia da positiva a negativa. La forma più ampia di cooperazione internazionale è il commercio estero. Esistono anche più di 500 associazioni internazionali che hanno una piccola o nessuna connessione l'una con l'altra ma che sono elencate dalla Lega delle Nazioni (1936). La forma estrema di cooperazione internazionale, corrispondente all'opposto infinito alla guerra, sembrerebbe essere uno stato mondiale, come immaginato, per esempio, da H.G.Wells nel suo libro The Shape of Things to Come (1933).
Litigare è qui considerata un'attività positiva, coltivare l'amicizia un'attività negativa. Questo accade perché le equazioni furono scritte per la prima volta durante la prima guerra mondiale. Sarebbe meglio capovolgere la convenzione sui segni. Ma il cambio non è stato fatto in questo libro".(nota 6) (Richardson, op.cit., p.19)

Le variabili x e y rappresenteranno allora la differenza tra l'ammontare delle spese militari ed il volume del traffico commerciale.


Equilibrio

Nello studio del moto del punto nel piano internazionale, date le condizioni iniziali, interessa comprendere se esiste una posizione di equilibrio stabile, in cui cioè non solo le nazioni non accrescono più le loro difese (dx / dt = 0 e dy / dt = 0 e quindi il punto rappresentativo si ferma) ma tale anche che piccoli spostamenti da questa posizione non implicano l'allontanamento definitivo verso l'infinito, cioè verso la guerra, di una delle due variabili. (Si pensi ad una pallina ferma in fondo ad una buca o in cima ad un cocuzzolo: è in equilibrio. Spostiamola di poco: nel primo caso, ritornerà nella posizione iniziale, in fondo alla buca, e diremo che il suo equilibrio è stabile; nel secondo caso, comincerà a rotolare allontanandosi definitivamente dalla posizione iniziale e diremo che il suo equilibrio è instabile).
I punti del piano internazionale in cui si ha contemporaneamente dx / dt = 0 e dy / dt = 0 costituiscono le due rette di equazione ky - ax + g = 0 e lx - by + h = 0.
Il significato di queste due rette è il seguente. Per ogni dato valore di y (l'ammontare degli armamenti di Alterlandia), esiste un valore di x (l'ammontare degli armamenti di Egolandia) che Egolandia considera adeguato alla sua sicurezza, alla sua percezione delle proprie possibilità e al suo grado di animosità verso Alterlandia. L'insieme di questi punti è determinatodall'equazione della retta ky - ax + g = 0. Allo stesso modo, per ogni dato valore di x c'è un livello degli armamenti che Alterlandia considera soddisfacente. Se le due rette hanno un punto in comune, si può pensare che sia possibile un equilibrio delle potenze: entrambe le nazioni sono soddisfatte circa la loro sicurezza, circa il prezzo che stanno pagando per essa e circa il rispetto del loro onore. Tale punto di intersezione delle due rette è un punto di equilibrio.
Le coordinate (x0,y0)del punto di equilibrio in funzione delle costanti
a
,b,k,l,g,h sono date da:

x0 = (kh + bg) /(ab - kl ) (7 )

y0 = (lg+ ah) l(ab - kl ) (8).

Tuttavia non basta che esista un punto di equilibrio, ma occorre anche che tale equilibrio sia stabile (affinché piccole perturbazioni della situazione internazionale non allontanino definitivamente le nazioni dall'equilibrio). Questo dipende dalla pendenza relativa delle due rette.

Si consideri la figura 2.

Qui la pendenza della retta di Egolandia è maggiore di quella della retta di Alterlandia, cioè a / k > l /b ovvero ab > kl .
Supponiamo che, ad un certo istante, gli armamenti di Egolandia e di Alterlandia abbiano i valori x e y rispettivamente. Egolandia, che può controllare i suoi armamenti, può determinare lo spostamento del punto (x,y) nella direzione orizzontale mentre Alterlandia, controllando la variabile y, può determinarne lo spostamento nella direzione verticale. Ciascuna nazione cercherà di condurre il punto verso la propria retta di equilibrio. La risultante di queste spinte sarà verso il punto di equilibrio, qualunque sia la posizione iniziale. Un tale equilibrio si dice stabile. Il punto (x, y), che rappresenta gli armamenti delle due nazioni, tenderà verso di esso. Se (x,y) raggiunge la posizione di equilibrio e successivamente, in seguito a qualche perturbazione accidentale, se ne allontana, tenderà a tornare verso di esso.
Le cose sono molto diverse se è maggiore la pendenza della retta di Alterlandia, come mostrato in figura 3.


Qui si possono verificare due opposte eventualità, a seconda della posizione iniziale del punto rappresentativo; infatti i tentativi dei due Paesi (di portare il punto (x, y) verso le rispettive rette) condurrà a un movimento verso il punto di equilibrio oppure a un movimento di allontanamento del punto dalla posizione di equilibrio. In quest'ultimo caso, il punto può allontanarsi verso l'infinito positivo (crescita illimitata degli armamenti) oppure verso l' infinito negativo (crescita illimitata della cooperazione). Un tale equilibrio sarà chiamato instabile.
L'instabilità si ha perciò quando lk > ab ; al contrario, il regime sarà stabile se lk < ab. In altre parole: nel modello di Richardson, la stabilità è garantita quando la fatica e la spesa di sostenere la difesa (rappresentate da a e b ) superano l'attitudine alla difesa delle due nazioni (k ed l).

Un dilemma morale

Consideriamo il caso in cui k= l = 2 ,a = b = 1, g = -4 e h = 6 . E' un caso in cui Egolandia è soddisfatta, mentre Alterlandia nutre rancori od ha intenzioni aggressive. Richardson sostiene che questa situazione è simile a ciò che accadde negli anni 1931 e 1932, se si considerano x come la Gran Bretagna e y come la Germania. Nella figura 5, nella regione compresa tra le due rette, si ha dx / dt > 0 e dy / dt > 0 ; questa condizione implica che x e y sono crescenti quando il punto rappresentativo si trova in questa parte del piano internazionale. Le frecce indicano le possibili direzioni del moto del punto rappresentativo. Come si vede, se i valori iniziali di x e y fossero positivi, il punto penetrerebbe nella regione compresa tra le rette dando inizio alla corsa alle armi. Questo accadrebbe comunque anche se, per certi valori iniziali, il movimento di Egolandia potrebbe essere inizialmente nella direzione di una maggiore cooperazione.

Leggiamo direttamente le parole di Richardson:

"da questo momento in poi i coefficienti di difesa k ed l sono più importanti dell'iniziale soddisfazione o aggressività. C'è un tragico dilemma morale qui.
Nell'Assemblea delle Nazioni Unite l'aggressione armata è abitualmente condannata come immorale, mentre la difesa armata è riconosciuta come un diritto che, non richiede pretesti e che può essere lodato come virile rispetto di se. Sembra che l'Assemblea delle N.U. riguardi (secondo i nostri simboli) k o l positivi come ordinari, ma g o l positivi come segni di una tendenza malvagia o pericolosa. Noi abbiamo visto nei diagrammi come g ed h ínteragiscono con k ed l. Le ragioni della difesa e dell'attacco facilmente coabitano nella stessa mente; nelle manovre i militari si esercitano sia nella difesa sia nell'attacco; la maggior parte delle armi comuni possono essere usate per entrambi gli scopi; è facile che siano fatte false professioni di non aggressività e perciò, quando sono vere, è facile che non siano credute. Nel complesso, è molto difficile essere sicuri delle intenzioni di chi controlla forze armate. Le conseguenze di un giudizio sbagliato possono comunque essere disastrose. Al momento in cui scrivo, luglio 1951, l'India e il Pakistan si stanno reciprocamente accusando di intenzioni aggressive, mentre l'Unione Sovietica e gli Stati Uniti hanno continuato a farlo per anni. Personalmente penso che molto di ciò che è biasimato come intenzioni aggressive (g o h) è in realtà solo difesa (k o l)".(Richardson, op.cit., p.27)


La corsa alle armi in Europa nel periodo 1909-1914

Vediamo ora in che modo Richardson confronta la sua teoria con i dati, da lui stesso raccolti, relativi alla prima guerra mondiale.

"Un controllo statistico delle idee che stiamo trattando sarà ora fatto per l'Europa nel periodo 1909-14. La Francia era alleata della Russia, la Germania dell'Austria-Ungheria. Né l'Italia né la Gran Bretagna risultavano definitivamente alleate con l'una o l'altra parte. Le due opposte alleanze erano grosso modo equivalenti nelle dimensioni; perciò assumiamo k = l (nota 7) e, per semplicità, poniamo a = b . Le equazioni del moto, allora, sono:

dx / dt =-ax + ky + g
dy / dt = kx - ay + h
(9).

Per addizione, otteniamo:

d(x+y) / dt=(k-a)(x+y) + g + h (10)

che coinvolge un'unica variabile indipendente x + y. Abbiamo visto che una misura obiettiva di x e y non può essere data solo dagli armamenti, ma deve essere più simile a x = (minacce)-(cooperazione). Siano U e V i bilanci annuali per la difesa delle due alleanze, espressi con la stessa unità monetaria. Tentiamo l'assunzione

x=U-U0 e y=V - V0 (11)

dove U0 e V0 rappresentano la cooperazione e, solo per semplicità, assumiamo in via provvisoria che siano costanti. Segue che

d(U+V) / dt=(k-a) {U+V- [U0 + V0- (g+h) /(k- a)]} (12).

Il termine tra le parentesi quadre è costante.


Così, se d(U+V) / dt è tracciato rispetto al contemporaneo U + V nella figura 4, ci aspettiamo di ottenere una retta. L'incremento annuale di d(U+V) / dt è tracciato rispetto alla media di U + V per i due anni usati per stabilire l'incremento. I quattro punti giacciono vicino ad una retta, più vicino (invero) di quanto ci aspettassimo. Nel momento in cui tracciai questo diagramma, che fu mostrato alla British Association a Cambridge nel 1938 e pubblicato su Nature il 29 ottobre di quell'anno, rimasi incredulo per lo stupefacente adattamento. Ma c'è certamente un errore non banale. L'incredulità condusse alla più ampia discussione nel capitolo VIII. La pura e semplice regolarità di questi fenomeni mostra che la politica estera aveva allora una qualità meccanica, a metà strada tra la prevedibilità della luna e la libertà di un giovane scapolo.
Se estrapoliamo le osservazioni sulla retta fino al punto in cui d(U+V)/dt si annulla, troviamo che U+V=194 milioni di sterline. Vale a dire: U0 + V0 - (g+h) =194 (13) .
Come l'amore compensa una moltitudine di peccati (Salomone, Proverbi 10:12), così la buona volontà tra le opposte alleanze avrebbe coperto 194 milioni di sterline di spese per la difesa da parte delle quattro nazioni coinvolte.
La loro spesa nel 1909 fu di 199 milioni di sterline e così cominciò una corsa alle armi che condusse alla prima guerra mondiale.
Considerando le statistiche del commercio estero vediamo che la somma delle importazioni ed esportazioni di un'alleanza (da e verso l'altra alleanza) aveva valori annuali di 172-230 milioni di sterline, che sono vicini alla buona volontà di 194 milioni di sterline."

Note

Si possono fare delle obiezioni al confronto del modello con i dati della prima guerra mondiale.
Per esempio, (Rapoport, 1960, p.42):

o è difficile credere che 5 milioni in più di importazioni ed esportazioni avrebbero potuto scongiurare una guerra costata 10 milioni di morti;

o può essere discutibile l'esclusione della Gran Bretagna e dell'Italia dalla corsa alle armi; la loro eventuale inclusione cambierebbe i valori nelle tabelle dei dati;

o Richardson fa una stima del parametro a considerando il riarmo della Germania negli anni dal 1933 al 1936 e supponendo che questo sia stato provocato dal desiderio di uguagliare la Gran Bretagna; tuttavia questo riarmo potrebbe essere stato provocato da una vera e propria corsa alle armi con la Russia.

Le obiezioni riguardano soprattutto il problema della misura dei parametri e delle variabili del modello, ma è proprio l'esistenza di una teoria ad indicare come effettuare la misura. La debolezza, quindi, o l'impossibilità di validare il modello confrontandolo con i fatti storici, non implica il rigetto del modello ma solo la necessità di ulteriori studi.
A partire dalla pubblicazione di Arrns and Insecurity,la teoria si è sviluppata. Negli ultimi lavori, dove si fa uso del più recente concetto matematico di caos, resta ancora aperto il problema della misura.
Vorrei concludere con le parole di Richardson che, nell'introdurre il suo modello, si rivolge ad un immaginario critico il quale, ironicamente, chiede se forse l'autore pretende di predire la data della prossima guerra.

"No, naturalmente no. Le equazioni sono soltanto una descrizione di che cosa la gente farebbe se non si fermasse a pensare. Perché ci sono tante nazioni che, a malincuore ma costantemente, incrementano i loro armamenti come se fossero meccanicamente costrette a farlo? Perché, io sostengo, esse seguono le loro tradizioni, che sono impianti fissi, e i loro istinti, che sono automatismi perché esse non hanno ancora fatto uno sforzo intellettuale e morale sufficientemente forte per controllare la situazione. Il processo descritto dalle equazioni che seguiranno non deve essere considerato come inevitabile. E' quello che accadrebbe se all'istinto e alla tradizione fosse permesso di agire senza controllo. Relativamente a questo, le equazioni hanno qualche analogia con un sogno. Perché un sogno spesso mette in guardia un individuo delle azioni antisociali che l'istinto condurrebbe a commettere, se egli non fosse sveglio."(Richardson, op.cit., p.12)


Soluzioni del sistema

E' possibile determinare esattamente le soluzioni del sistema formato dalle equazioni (6) e (7), con metodi accessibili agli studenti della scuola secondaria superiore.

Riguardo all'equilibrio, si ottengono le relazioni già discusse sopra tra i parametri a, b , k, l. Si può procedere come segue: si operano le sostituzioni X =x-x0 e Y=y-y0 (ove (x0,y0)è il punto di equilibrio, cfr. (7) e (8)) ottenendo le equazioni:

dX / dt = kY- aX (14)

dY / dt=lX - bY (15) .

Sostituendo y nella (15) si ottiene:
dX2 /dt2 + (a + b) / dX / dt + ( ab - kl )X = 0 (16).
Quest'ultima è un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti. La soluzione generale è data da :

X = A1 e c1t + A2 e c2t Y = B1 e c1t + B2 e c2t (17)

ove c1 e c2 sono le due soluzioni dell'equazione caratteristica :

c2 + (a + b)c + (ab - kl) = 0 (18).

I coefficienti A1, A2, B1, B2 non sono indipendenti, ma valgono le relazioni:

B1 = (a + c1) A1 / k e B2 = (a + c2) A2 / k (19).

Si noti che le costanti a, b, k, l in una situazione politicamente interessante, sono tutte positive. Perciò le radici dell'equazione (18) sono reali e distinte.
Inoltre si ha:

c1 + c2 = -a -b <0 e c1 c2 = ab - kl. (20)

Si hanno allora i seguenti casi (cfr. il paragrafo "equilibrio"):

  • ab > kl. In questo caso c1 , c2 sono negative così che, per t -> +inf, x -> x0 e y -> y0 . Perciò ab > kl indica stabilità.
  • ab < kl. La maggiore delle due radici è positiva così che per t ->+ inf, x ->± inf e y ->± inf. Quindi ab < kl indica stabilità.
  • ab = kl. In questo caso il punto di equilibrio è all'infinito, ovvero nessun equilibrio è possibile.

    Consideriamo ora un esempio per ciascuno dei casi elencati sopra.

    Esempio 1 (ab > kl, equilibrio stabile, fig.2)

    Siano k=l=1,C7;=p=2, g=-4, h=6; in questo caso le equazioni (5) e (6) diventano:

    dx / dt=y-2x-4 ( 21)
    dy / dt=x-2y+6 (22)
    Possiamo calcolare le coordinate del punto di equilibrio (cfr.(7) e (8)): (x0,y0)=(-2/3, 8/3) .
    L'equazione caratteristica (18) diventa: c2 + 4 c+ 3 = 0 e le sue soluzioni sono date da. c1 =-3 e c2= -1. Infine, le soluzioni generali del sistema sono date da:
    x= A1 e -3t + A2 e-t -2/3 e y = A1 e -3t + A2 e-t + 8/3 (23).
    E' evidente che questo è un caso di regime stabile: quando t -> + inf , (x,y) -> (x0 ,y0) indipendentemente dalla posizione iniziale del punto rappresentativo.

    Esempio 2 (equilibrio instabile, fig.3)

    Siano k=/=2, a = b = 1 , g=-2, h=-3, scriviamo le (5) e (6):

    dx / dt=2y-x-2 (24)
    dy / dt=2x-y-3. (25).
    Le coordinate del punto di equilibrio (cfr. (7) e (8)) sono: (x0,y0)=(8/3, 7/3). L'equazione caratteristica (18) è, in questo caso c2 + 2 c- 3 = 0: con le soluzioni c1 =-3 e c2= 1. Otteniamo quindi le soluzioni
    x= A1 e -3t + A2 et +8/3 e y = A1 e -3t + A2 et + 7/3 (26).
    I valori di A1 e A2 sono determinati dalla posizione nel piano internazionale del punto rappresentativo all'istante iniziale. Si può notare che il segno di A2 determina due opposte eventualità: crescita illimitata dell'ostilità (A2 > 0) oppure crescita illimitata della cooperazione (A2 < 0). Nel caso di A2= 0, il punto rappresentativo tende alla posizione di equilibrio, dalla quale però una piccola perturbazione può definitivamente allontanarlo. Ci chiediamo allora quali sia la posizione iniziale (xi,yi) del punto rappresentativo che determina il segno di A2.
    Con t= 0 nelle (26) si ottiene il sistema

    A1 + A2= xi -8/3
    A1 + A2 = yi -7/ 3
    le cui soluzioni sono date da
    A1 = 1/2 (xi- yi - 3) e A2= 1/2(xi + yi - 5) . Si ottiene A2> 0 <=> xi + yi - 5 > 0 ; questo significa che la retta di equazione xi + yi -5=0 costituisce una barriera: a seconda che all'istante iniziale il punto rappresentativo si trovi nell'uno o nell'altro semipiano rispetto alla retta, la situazione internazionale evolverà verso una sempre maggiore cooperazione oppure verso una crescita illimitata degli armamenti. Solo se il punto rappresentativo è inizialmente sulla retta, allora esso tenderà alla posizione di equilibrio percorrendo una traiettoria coincidente con la retta stessa.

 

Paese
1909
1910
1911
1912
1913
Francia
48,6
50,9
57,1
63,2
74,7
Russia
66,7
68,5
70,7
81,8
92,0
Germania
63,1
62,0
62,5
68,2
95,4
Austria-Ungheria
20,8
24,6
24,6
25,5
26,9
TOTALE = U + V
199,2
204,8
214,9
238,7
289,0
D(U + V) /Dt
5,6
23,8
23,8
50,3

Bibliografia