Giuseppe Peano (1858 - 1932)
è stato uno dei più importanti matematici italiani della fine dell'Ottocento. Si è occupato di Analisi di Logica, di Fondamenti: gli assiomi dell'Aritmetica, la definizione di area di una superficie, la precisazione del resto nella formula di Taylor, l'introduzione della struttura di spazio vettoriale, la "curva di Peano", il teorema di esistenza per le equazioni differenziali ecc sono solo alcuni dei suoi contributi più noti. Per quanto riguarda la Logica, in particolare, Bertrand Russell ricorderà, come particolarmente significativo per la formulazione del suo programma, l'incontro con Peano (nel 1900) al Congresso internazionale di Filosofia di Parigi.

Come scrive anche H.C.Knnedy nella sua bella biografia (Bollati ed., 1983), "in molte occasioni Peano aveva raccomandato di rendere più interessante l'insegnamento dell'aritmetica nelle scuole introducendo problemi più divertenti e giochi". Così nel 1924, aveva pubblicato un volumetto dal titolo "Giochi di Aritmetica e problemi interessanti". Di questo volumetto riportiamo le prime pagine e la conclusione.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

Per una storia dei "giochi":

Giuseppe Peano

GIOCHI DI ARITMETICA E PROBLEMI INTERESSANTI

In tutti i tempi e presso tutti i popoli, si insegnavano dei giochi per rendere dilettevole o meno noiosa l'aritmetica. Saggiamente questi giochi si trovano nei nuovi programmi delle scuole elementari. Credo far cosa utile agli insegnanti col pubblicarne alcuni.

1. Quadrato Magico
Nel quadrato qui sotto sono scritti i numeri 1,2,3, ...9. Si verifichi che la somma dei numeri scritti su d'una stessa orizzontale, o su d'una stessa verticale, o su una delle due diagonali, è sempre 15, e cioè 2 + 7 + 6 = 9 + 5 + 1 = 4 + 3 + 8 = 2 + 9 + 4 = 7 + 5 + 3 = 6 + 1 + 8 = 2 + 5 + 8 = 4 + 5 + 6 = 15.

2
7
6
9
5
1
4
3
8

 

Sono tutte le scomposizioni di 15 nella somma di tre numeri 1, 2, ...9. I numeri 1, 3, 7, 9 entrano in due somme, i numeri 2, 4, 6, 8 in tre, e il 5 entra in quattro somme. Gli antichi Magi di Persia, che erano anche medici, curavano le malattie applicando sulla parte inferma un quadrato magico, seguendo il principio di medicina, ed anche di didattica: primum non nocère, primo principio: non nuocere. Questi quadrati erano pure noti agli antichi Cinesi, agli Indiani e Arabi verso l'anno 800 ed in Europa verso il 1300. Servono nella scuola come esercizio di addizione.

2.
I numeri da 1 a 16 sono disposti in questo quadrato, in modo che si ottiene sempre 34 sommando i numeri di una stessa orizzontale, o d'una stessa verticale, o d'una diagonale; o anche sommando in altri modi quattro numeri della tabella; per es. 1 + 14 + 7 + 12 = 34; 1 + 6 + 16 + 11 = 34, in 86 modi diversi.

1
14
4
15
12
7
9
6
8
11
5
10

 

3.
Dispongo i numeri da 1 a 6 sui vertici e lati di un triangolo, come nella figura La somma dei numeri che stanno su d'un medesimo lato, vale 11; cioè 2 + 3 + 6 = 2 + 5 +4 = 6 + 1 + 4 = 11. Questo triangolo, come il seguente, dicesi magico.

    2    
  3   5  
6   1   4

 

4.
La somma dei numeri scritti su di uno stesso lato di questo triangolo vale 20. La somma del numero scritto in un vertice coi quattro numeri vicini vale 25. La somma dei due numeri medi di un lato, meno il numero del vertice opposto vale 5. La somma dei quadrati dei numeri d'uno stesso lato vale 126.

     
2
     
   
7
 
1
   
 
3
     
6
 
2
 
9
 
4
 
5

 

 

5. Tavole misteriose
Pensa un numero da 1 a 15, e dimmi in quali delle seguenti tavole esso si trova:

1
3
5
7
9
11
13
15
2
3
6
7
10
11
14
15
4
5
6
7
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15

Il numero pensato è la somma dei primi numeri delle tavole in cui si trova. Le tavole si costruiscono in questo modo: Si scrive 1 in capo alla prima, e 2 in capo alla seconda; poi 3 = 2+1 si scrive nelle tavolette comincianti con 2 ed 1;poi 4 si scrive a capo della terza tavola; 5 = 4 + 1 si scrive nelle tavole comincianti con 4 ed 1; 6 = 4 + 2 si scrive nelle tavole con 4 e 2; 7 = 4 + 2 + 1 nelle tavole con 4, 2, 1; poi 8 a capo di una nuova tavola; e così via.


 

Problemi capziosi

Così si chiamano alcuni problemi, in cui la risposta vera non è quella che prima si presenta alla mente. Sono dilettevoli, ed acuiscono la mente. Molti di questi problemi sono estratti da una raccolta della profa P: QUARRA, in Bollettino di Matematica, del prof. Conti, a. 1919.

6.
Si ha una fune lunga metri 7 e se ne taglia ogni giorno un metro. Dopo quanti giorni la fune sarà tagliata? RISPOSTA: Dopo 6 giorni (e non 7).

7.
Si hanno 14 soldati in fila. La distanza fra un soldato e l'altro è di metri 3. Quale è la distanza dal primo all'ultimo soldato?
RISPOSTA: m. 3 x13. Il problema è simile al precedente.

8. Importanza dello zero.
Un tale scrive ad un venditore di animali: "mandatemi 1 o 2 gatti". Dopo qualche giorno si vede arrivare una grossa gabbia, piena di gatti, accompagnata da una lettera del venditore che diceva: "per ora vi mando 58 gatti; la settimana prossima manderò gli altri 44".
Donde è nato l'equivoco?

9.
Una lumaca si arrampica lungo un muro alto 5 metri. Ogni giorno sale tre metri e ogni notte discende 2 metri.
Dopo quanti giorni la lumaca avrà raggiunto la cima del muro?
RISPOSTA: Dopo 3 giorni ( e non dopo cinque).

10.
In uno scaffale erano disposti per ordine i tre volumi di Dante, ognuno di 100 fogli. Un tarlo cominciò a rodere il primo foglio del primo volume e procedendo diritto, finì col rodere l'ultimo foglio dell'ultimo volume. Quanti fogli egli rose?
RISPOSTA: 102, perché i volumi sono ordinati da sinistra a destra, e i fogli dei volumi risultano ordinati da destra a sinistra; il primo foglio del primo volume è adiacente al secondo volume, come pure l'ultimo foglio del terzo volume.

11.
Ogni minuto dal centro di una città parte una vettura che va alla stazione in 7 minuti e poi ritorna. Una vettura che va dal centro alla stazione quante vetture incontrerà?
RISPOSTA: 13 ( e non 7 né 14); poiché 14 sono le vetture che fanno servizio, e una di esse incontra le altre 13.

12.
Si stima che la superficie del capo umano portante capelli è di 775 cm2 e che ogni cm2 contiene al massimo 165 capelli. Dimostrare che in una città di 150 000 abitanti vi sono due persone che hanno lo stesso numero di capelli.
RISPOSTA: Il massimo numero di capelli che può avere una persona é 775x165 = 123 875 < 150 000.

13.
Due fratelli avevano insieme 40 soldi; se li divisero; il primo con 20 soldi compera delle uova ad 1 soldo l'uno e le vende a 2 soldi; il secondo compra delle uova a 2 soldi l'uno e li rivende a 1 soldo; poi rimettono insieme i loro soldi. Hanno guadagnato? RISPOSTA: Guadagnarono 10 soldi. Questo problema, con altri seguenti, trovasi nel General Trattato di numeri et misure, di TARTAGLIA, illustre matematico, nato a Brescia nel 1506, morto a Venezia nel 1557.

14.
Due piroscafi A e B sono partiti insieme per un viaggio di 6000 miglia all'andata e altrettanti al ritorno. Il piroscafo A mantiene una velocità di 8 miglia all'ora nell'andata e 12 miglia all'ora nel ritorno; il piroscafo b mantiene una velocità costante di 10 miglia all'ora. Arrivano essi insieme al luogo di partenza?
RISPOSTA: B precede A di 50 ore.

15.
Una fruttivendola vende 30 pere a 3 per un soldo e poi 30 pere a 2 al soldo. Un'altra vende 60 pere a 5 per 2 soldi. Chi ha ritirato di più?
RISPOSTA:Ha ritirato di più la prima, la quale ritirò 25 soldi, mentre la seconda ne ritirò 24.

16.
Di due commessi, l'uno riceve £ 1000 alla fine di ogni mese con l'aumento di £ 20 dopo ogni mese di servizio. Un altro riceve £ 500 alla quindicina con l'aumento di £ 5 ogni quindicina. Chi guadagna di più?
RISPOSTA: Il secondo guadagna 5 lire al mese di più del primo.

17.
Due viaggiatori, uno dei quali ha 5 pani e l'altro 7 pani, ne incontrano un terzo affamato, che li invita a dividere seco lui la loro provvista. I tre viaggiatori mangiano insieme ed il terzo sopraggiunto, accomiatandosi dalla compagnia, lascia come retribuzione di quanto è stato a lui ceduto, 12 monete. Come dovranno essere divise le monete fra i due compagni?
RISPOSTA: Le monete si dovranno ripartire in parti proporzionali ai numeri 1 e 3. Questo problema, con altri simili, si trova nel Liber Abaci di LEONARDO PISANO, filio Bonacii, anno 1202, pag. 283.

18.
Un Arabo morendo lasciò ai suoi tre figli 17 cammelli in eredità e ordinò che la metà di essi fosse data al primo figlio, la terza parte al secondo, e la nona al terzo figlio. I tre figli si rivolsero per la divisione al cadì, il quale enne con il proprio cammello, che unì agli altri. Diede la metà dei 18 cammelli, cioè 9 al primo, un terzo, cioè 6 al secondo, un nono, cioè 2 al terzo figlio, e poi, ripreso il suo cammello se ne andò ringraziato dai tre figli, ognuno dei quali aveva ricevuto più di quanto gli spettava. Spiegare l'enigma.
RISPOSTA: Infatti, 1/2 + 1/3 + 1/9 < 1, cioè quel padre non distribuì tutta l'eredità.

19.
Le tre Grazie portando pomi, ognuna lo stesso numero, incontrano le nove Muse, e con loro dividono i pomi, sicché tutte hanno lo stesso numero di pomi. Quanti erano i pomi?
RISPOSTA: 12 o un suo multiplo. Questo problema è estratto dall'Antologia greca; questo libro, dei tempi dell'imperatore Traiano, morto nell'anno 117, contiene in versi greci vari problemi, alcuni antichissimi.

20.
Le nove Muse, portando ognuna lo stesso numero di corone, incontrano le tre Grazie e loro distribuiscono delle corone, e tutte ne hanno lo stesso numero. Quante corone?
RISPOSTA: un multiplo di 9 e di 12, cioè di 36.. Dall'Antologia greca.

21.
Una contadina porta delle uova al mercato. Sa che contandole a 2 a 2 ne avanzava 1, contandole a 3 a 3 ne avanzava 1, a 4 a 4 ne avanzava 1, a 5 a 5 ne avanzava 1, a 6 a 6 ne avanzava 1 e contandole a 7 a 7 aveva un numero esatto. Quante uova?
RISPOSTA: 301, ovvero 301 più un multiplo di 420. Così Leonardo Pisano, pag. 281.

22.
Una donna porta delle uova al mercato; ad un primo compratore vende la metà delle uova più mezzo uovo, ad un secondo vende la metà delle uova rimaste più mezzo uovo, ad un terzo vende la metà delle uova rimaste più mezzo uovo; così ha venduto tutte le uova che possedeva. Quante uova possedeva?
RISPOSTA: 7 uova. Se, in una scuola, questo problema, od altri, è troppo difficile, si inverte: " Una donna portò 7 galline al mercato; ad un primo compratore vendette la metà delle galline più mezza gallina. Quante ne sono rimaste? ecc.".

23.
Una comitiva di 7 viaggiatori si presenta ad un albergo, e domanda un letto per ogni viaggiatore. L'oste risponde: ho solo sei letti, distinti colle lettere A, B, C, D, E, F. Ma guarderò di aggiustarvi. Perciò destinò due viaggiatori a dormire nel letto A, poi uno nel letto B, e fa tre; poi uno in C, e conta quattro; poi uno in D, e conta cinque; poi uno in E, e conta sei; poi prende uno di quelli che erano in A e lo conduce in F, e conta sette. Così i 7 viaggiatori dormono in 6 letti, uno per letto.
Come ha fatto? Chi fa il gioco, rappresenta i letti con sei carte, e procede rapido, onde l'uditore non si accorga che un viaggiatore è stato contato due volte.

24.
In un bicchiere si trova del vino, e in un altro dell'acqua. Si prende un cucchiaio di vino dal 1° e si versa nel 2°, si mescola questo, poi si prende un cucchiaio del liquido del 2° bicchiere e si versa nel 1°.
La quantità di vino che si porta dal 1° nel 2°, è più grande o più piccola di quella dell'acqua portata nel 1°?
Molte persone rispondono che la prima quantità è più grande. Invece sono uguali. Invero, essendovi dopo l'operazione, la stessa quantità nei due bicchieri, è necessario che tanto sia passato dal 1° nel 2°, quanto dal 2° al 1°.

25.
Due persone hanno una botte con 8 litri di vino; e due botti vuote capaci di 5 e 3 litri. Vogliono dividere gli 8 litri in parti uguali.

Nelle tre botti, capaci di litri 8 5 3
Sonvi all'inizio litri di vino 8 0 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 5 0 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 5 3 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 2 3 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 2 5 1
Verso il 2° nel 1°; ho litri 7 0 1
Verso il 3° nel 2°; ho litri 7 1 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 4 1 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 4 4 0
Che è la soluzione data da Tartaglia, libro 16, N. 132.

26. Problema del lupo, della capra e del cavolo. (TARTAGLIA, libro 16, N. 141)
Un tale ha con sé un lupo, una capra e un cavolo; e deve traversare un fiume, con una barca, in cui può portare un sol oggetto per volta. Egli vuole traversare col cavolo, ma la capra gli dice: non lo fare che il lupo mi mangia. Egli vuol traversare con il lupo, ma il cavolo gli dice: non lo fare che la capra mi mangia. Come farà?
Traghetta la capra, poi il cavolo, e riporta la capra, traghetta il lupo, e infine la capra; e così ha salvato capra e cavolo: "e da questo è nasciuto un certo proverbio fra gli huomini, dicendo in qualche proposito, egli ha salvato la capra e i verzi (cavoli) ".

27.
Un negoziante aumenta del 20 per 100 i prezzi segnati sulle sue merci; poi mediante un avviso, dice di concedere ai suoi avventori lo sconto del 20 per 100 sui prezzi segnati. Quale sconto egli fece sui prezzi primitivi?
RISPOSTA: Il 4 per 100.

28.
Pietro, che possiede 1024 lire, si mette a giocare alle pari cioè, se vince, guadagna una somma pari alla puntata. Egli gioca 10 partite, e punta sempre la metà del denaro che possiede. In fine egli ha guadagnato 5 partite e perdute 5. Avrà egli guadagnato?
RISPOSTA: Egli ha perduto 781 lire, oltre il tempo.

 

 

Conclusione

L'insegnante di buona volontà potrà combinare problemi simili e migliori dei precedenti, onde rendere attraente lo studio. La differenza tra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò, che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell'insegnante che non sa spiegare. Né vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi così come sono, richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l'insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro sé e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento. Ognuno si fabbrica la sua fortuna, buona o cattiva. Chi è causa del suo mal, pianga sé stesso. Così disse Giove, e lo riferisce Omero, Odissea I, 34. Con questi principi, caro lettore e collega, vivrai felice.