Due ubriachi e la Cointegrazione

 


Jan Tinbergen
Un aspetto tipico dell'analisi econometrica, presente anche nel problema della correlazione spuria, è l'enfasi sull'analisi del legame fra variabili economiche (ancor prima che lo studio di un fenomeno economico isolato nel tempo). L'Econometria è per elezione votata all'aspetto multivariato dell'analisi statistica. Questa caratteristica, presente negli esempi 1-4 del paragrafo 3, è abbastanza peculiare dell'Econometria (e dell'Economia).

Nelle scienze naturali – in Chimica, per esempio – può essere interessante sapere come si evolve una certa concentrazione in una reazione chimica, inmodo isolato da qualsiasi altro aspetto del fenomeno. In Economia nonè invece possibile definire l'evoluzione del tassodi inflazione in ambiente isolato, perché i prezzi sono generati in un'economia dove si scambiano beni e non possono essere discussi senza le quantità e diversi agenti.
Per introdurre il concetto di cointegrazione, usiamo l'esempio dei due ubriachi "a braccetto".
Si indichino con A e B i due ubriachi e con t = 0, 1, ... il tempo a partire dall'uscita dal bar (corrispondente all'istante t = 0). Siano inoltre zt e st le distanze in linea d'aria rispettivamente di A e B dal bar, misurate nella direzione di casa che si assume sia comune ad A e B. La distanza iniziale dal bar è quindi nulla per A e B, z0=s0=0. Si indichino inoltre con ut e vt gli spostamenti, ossia i "passi", di A e B all'istante t.
Si assuma che l'ubriaco A segua una passeggiata casuale unidimensionale, zt= zt-1+ut e che tenga a braccetto B, attirandolo a sé prima di ogni passo in modo che il punto di partenza di B all'istante t sia proporzionale a quello di A: st= zt-1+vt γ è una costante di proporzionalità. Se, ad esempio è γ=1, i due ubriachi muovono entrambi da zt-1. Si assume nel seguito che e't= (ut, et) sia i.i.d. a media nulla e che la matrice di varianza Ω=E(et e't)=[σij] ,i,j= u, v, sia positiva definita. Le due equazioni possono essere riassunte nella seguente notazione matriciale, detta rappresentazione autoregressiva:

Ossia:

wt=A1wt-1+et

Una simulazione del sistema è riportata nella figura 1.


Si osservi come il processo (5), sia non-stazionario, in quanto zt segue una passeggiata casuale univariata, Σi=1tui+z0 dove z0=0. Si indichi con gti=1tui la passeggiata casuale. Vogliamo ora ricavare come gt sia la componente comune del sistema. Infatti è st=γgt+ (vt–γut) e vale la seguente rappresentazione a trend comuni:

Entrambe le componenti di wt condividono la stessa componente non-stazionaria gt,chiamata pertanto trend comune nel sistema wt (3),(4). Poiché gt è una componente integrata, il sistema w, si dice cointegrato. Essa scompone wt in una parte non stazionaria comune gt (permanente) e nella componente residuale stazionaria (transitoria) e',. Nell'esempio dei due ubriachi gt rappresenta la passeggiata casuale comune ad A e B.
Si osservi che la matrice ξ nella (5) ha rango 1 e può essere annullata pre-moltiplicando per un qualsiasi vettore β appartemente allo spazio nullo di col(ξ). Pertanto, una proprietà caratterizzante di un sistema cointegrato è che: esiste almeno una combinazione lineare delle variabili del sistema che risulta stazionaria; i coefficienti di tali combinazioni lineari si diconovettori di cointegrazione. Nel caso precedente β puo' essere scelto come β=(γ, -1)'.


Richar Stone
Il teorema di rappresentazione dovuto a Granger stabilisce anche la corrispondenza di un sistema cointegrato con un modello a correzione dell'errore. Si consideri nuovamente la rappresentazione autoregressiva (6) e si sottragga wt-1 da ambo i membri. Si ottiene così:

 

o

Δwi=αβ'wt-1+ et.

dove α=(0, 1)' e β=(γ, -1) e Δzt:=zt–zt-1. Questa formulazione è chiamata a correzione dell'errore (ECM). Infatti il termine (β'wt-1 misura la deviazione (errore) di β'wt-1 dal proprio valore atteso 0, interpretato come valore di riferimento. L'eq. (6) esprime la reazione di Δwt a deviazioni dall'obiettivo β'wt-1 mediantei coefficienti di aggiustamento α. Nei termini del β'wt-1=γzt–st rappresenta una distanza (segnata) degli ubriachi, che questi tendono a riportare verso 0, in quanto A attira a sé B prima di ogni passo.
La nozione di cointegrazione ha trovato favore in Economia anche in ragione della possibilità di distinguere relazioni di breve e lungo periodo. Altre teorie economiche sono basate sulla classificazione delle fluttuazioni in permanenti e transitorie.
Questi concetti – i primi di natura economica, i secondi di natura statistica – possono essere messi in relazione fra di loro secondo lo schema della tabella seguente.

Nozionie conomiche

Nozioni statistiche

fluttuazioni permanenti processi non-stazionari
oscillazioni transitorie processi stazionari
equilibri di lungo periodo relazioni di cointegrazione

Le associazioni presentate nella tabella possono essere così giustificate.

  1. I processi (AR) stazionari oscillano attorno al proprio valore atteso piuttosto rapidamente; eventuali scostamenti dalla media sono quindi transitori;

  2. quando una passeggiata casuale (processo integrato) raggiunge un certo livello, non vi è alcuna tendenza a ritornare verso il punto di partenza o a spostarsi verso un diverso livello di riferimento; pertanto per tali processi ogni spostamento è permanente;
  3. l'esistenza di relazioni lineari (relazioni di cointegrazione) fra processi non-stazionari è simile all'idea di equilibrio fra variabili economiche; scostamenti da tali relazionisono processi stazionari, ossia di natura transitoria.

Questa giustapposizione di nozioni di ambito stocastico ed economico ha favorito il diffondersi delle tecniche di cointegrazione ([9], cap. 7, vol II).

Un ubriaco e la passeggiata casuale

 

Uno dei più semplici processi stocastici è costituito dalla passeggiata casuale, che deriva il proprio nome dalla metafora di un ubriaco (di cui si segue la distanza dal bar nel rientro verso casa).

Sia xt tale distanza, dove t indica il tempo che assume valori discreti: t=0,1,2, ... Al tempo 0, ossia all'uscita dal bar, è x0=0. Il primo passo, di intensità ε1, porta l'ubriaco nella posizione x1=x0+ ε12.

L'ubriaco è tale perché l'intensità del passo εt è una variabile aleatoria, con media o. Pertanto, a ogni passo, l'ubriaco può allontanarsi dal bar nelle due direzioni. Il processo t}t=1 è ipotizzato i.i.d. ossia i passi sono indipendenti gli uni dagli altri e hanno la medesima distribuzione. Al tempo 2, l'ubriaco si trova nella posizione x2=x1+ε2t=12εt; al tempo 3 nella posizione x3=x23t=13εt e, in generale:

xti=1tεi

Ciascun passo è cumulato nel valore corrente. Una realizza­zione di un processo così fatto è rappresentata nella figura 2, dove si raffigurano {xt}t=1100 e {εt}t=1100 per εt i.i.d. N (o, i). Si osservi l'erraticità di {εt}t=1100 e la persistenza della passeggiata casuale corrispondente xt. Le passeggiate casuali replicano caratteristiche di persistenza osservate nelle serie storiche economiche.