"L'angolo di Dendi".

Giorgio Dendi
, campione internazionale di giochi matematici, ci propone oggi un quesito classico, ma sempre divertente.

 

 

 

 

 

 

 

L'ANGOLO DI DENDI

MA QUANTI ANNI HANNO?

Ciao. Mi presento: sono Giorgio Dendi, triestino di 42 anni, appassionato da sempre di Matematica. Vorrei proporre e provare a risolvere con voi qualche problema del tipo di quelli che si incontrano nei Campionati internazionali di Giochi matematici ai quali partecipo.
Intanto vediamo la denominazione. Perché "Giochi"? Perché in genere sono divertenti, sono problemi adattati ad episodi della vita, a differenza di quelli che si trovano nei testi scolastici. Naturalmente, anche se li chiamiamo "giochi", ciò non significa che non siano seri: anche quando giochiamo a pallone o partecipiamo ad un torneo di tressette, dobbiamo impegnarci per ottenere un buon risultato.
Una partecipante a "Chi vuol essere miliardario" ha recentemente vinto 1.000.000.000: era un gioco, un programma a quiz, però con una percentuale di fortuna, una di bravura e una di coraggio, si è portata a casa un bel malloppo partecipando seriamente ad un gioco.

I problemi delle gare, in genere, non danno alcun appiglio; non si sa quale teorema applicare e poi bisogna comunque trovare una scorciatoia, un procedimento che sarà senz’altro diverso da tutti i procedimenti usati per risolvere qualunque altro problema diverso anche di poco da questo.

Cito come esempio un problema che forse vi è già noto, ma calza a pennello in questo discorso.

Due amici matematici si incontrano dopo tanti anni e si salutano. Ecco il loro discorso: A: "Come stai?". B: "Bene, mi sono sposato, e ho tre figli". A: "E quanti anni hanno?". B: "Il prodotto delle tre età è 36". A (dopo aver fatto qualche calcolo su un foglietto): "Scusa, ma non mi basta per trovare le tre età". B: "Sappi allora che la somma delle tre età è uguale al numero di quell’autobus che sta passando ora". A (che ha visto il numero dell’autobus e ha fatto qualche altro calcolo): "Mi dispiace, ma non sono ancora in grado di trovare le tre età". B: "Allora sappi che il maggiore ha gli occhi azzurri". A: "Ma allora è semplice: le tre età sono…" il resto della frase viene coperto dal rumore dell’autobus di prima, che sta tornando indietro. Quali sono le tre età?

A questo punto, se avete piacere, potete fare una pausa e pensare alla soluzione, altrimenti andate pure avanti.

Proviamo a risolvere secondo gli insegnamenti scolastici: abbiamo tre incognite (le tre età x , y e z) e quindi cerchiamo tre equazioni.

x * y * z = 36

x + y + z = n

Già nella seconda equazione abbiamo scritto qualcosa di inutile: è ovvio che la somma dei tre numeri è un "n" del quale non sappiamo il valore, ma come facciamo a scrivere poi che il maggiore ha gli occhi azzurri?

Proviamo allora un’altra strada: scriviamo dapprima le terne di interi positivi che hanno 36 per prodotto; le scriviamo in ordine crescente per le prime due variabili.

X

Y

Z

PRODOTTO

1

1

36

36

1

2

18

36

1

3

12

36

1

4

9

36

1

6

6

36

2

2

9

36

2

3

6

36

3

3

4

36

 

 

 

 

 

 

 

 

Il personaggio A a questo punto non riesce ancora ad individuare le tre età: è ovvio, che non ce la faccia, poiché si trova 8 terne possibili. Analizziamo allora le frasi che parlano dell’autobus e aggiorniamo la tabella aggiungendo la somma delle età.

X

Y

Z

PRODOTTO

SOMMA

1

1

36

36

38

1

2

18

36

21

1

3

12

36

16

1

4

9

36

14

1

6

6

36

13

2

2

9

36

13

2

3

6

36

11

3

3

4

36

10

 

 

 

 

 

 

 

 

Se il numero dell’autobus fosse stato, ad esempio, 38, A avrebbe detto che le età erano 1, 1 e 36. Così pure se l’autobus fosse stato il 21, avrebbe risolto 1, 2 e 18, così via. Ma se A non riesce ad individuare le tre età, significa che si trova di fronte al sistema

x * y * z = 36

x + y + z = 13

ed è indeciso se la terna esatta è 1, 6, 6, oppure 2, 2, 9 e solo quando viene a sapere che il maggiore ha gli occhi azzurri - cioè esiste un fratello maggiore! - scarta la soluzione 1,6,6 ed esclama: "Le tre età sono due, due e nove anni!"

Ho cercato di essere abbastanza prolisso e di fare i passaggi lentamente, in modo che si possa seguire il ragionamento anche se si è giovane e ci si accosta per la prima volta a questo tipo di problemi, spero comunque di non aver annoiato.

Ciao, e alla prossima!

Giorgio Dendi - Trieste