"Zero elevato alla zero"… una discussione tra matematici…

Abbiamo trovato davvero "gustosa" sia per la diversità dei linguaggi usati che per la varietà dei punti di vista espressi la discussione svoltasi nei giorni scorsi , via e-mail, tra alcuni matematici iscritti alla lista Pristem su una questione posta da Guido Osimo.
Riportiamo fedelmente i testi di domande e risposte, nell’ordine con cui sono "comparsi" in rete, perché crediamo possano stimolare altri matematici e "altre discussioni".

Il nostro primo" LO SAPEVATE CHE" – anno secondo…si i ammanta quindi di nuovo …

Tutto ha inizio grazie alla domanda di Guido Osimo:

Qualcuno in lista sa dirmi quali problemi ci sono a definire: zero elevato alla zero uguale uno?
Credo che in molti testi si preferisca dire che zero elevato alla zero non e' definito, ma mi pare che vi siano alcuni argomenti a favore della definizione che ho riportato sopra.
Anzi, ricordo (mi pare di ricordare...) di avere incontrato in una indicazione bibliografica il titolo di un articolo, mi pare che fosse in inglese, che suonava proprio "Perchè è giusto definire zero elevato alla zero uguale uno", o qualcosa del genere...
Qualcuno sa essermi utile?
Grazie. Guido Osimo

La prima risposta non si fa attendere, è di Bruno Firmani


L'espressione 00=1 è continuamente usata in matematica (al pari della 0!=1).
Essa e' utilizzata nei polinomi e nelle serie di Taylor quando si assume x=x_0 e quindi il primo termine dello sviluppo diventa: f(x_0) (x_0-x_0)=00/ 0! e questa espressione è posta uguale a f(x_0). Il problema di definire sempre 00=1 e' dato dalla funzione h(x,y)=xy che è definita nel rettangolo (0,+` )X(-` ,+` ) e per x=0 e y>0.
Se ponessimo h(0,0)=1 avremmo che la funzione h(x,y) sarebbe definita anche nell'origine, ma non sarebbe, in quel punto, continua.
Spero di essere stato, almeno un po', convincente. Rimango comunque in attesa di conoscere l'opinione di altre persone.
Cordiali saluti. Bruno Firmani

Ecco l’intervento di chi è "un esperto" di strumenti di calcolo:
Michele Impedovo

Quanto fa 00?
Mathcad, Derive, la calcolatrice di Windows rispondono 1.
La TI-89 e la TI92 rispondono 1 dando però il messaggio "Warning: 00 replaced by 1.
La calcolatrice di Cabri, Maple, Excel danno messaggio di errore.
Secondo me è coerente definire 00=1, perchè il limite di xx, per x tendente a 0+, è 1.
In molte situazioni algoritmiche fa molto comodo avere 00=1, e risulterebbe assai fastidioso il contrario. Per esempio, se voglio il polinomio di 2°grado che passa per 3 punti (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), posso costruire rapidamente la matrice M dei coefficienti mediante il comando

for i, 1, 3
for j, 0, 2
M[i, j]:=xi^j

Se una delle ascissa è 0 occorre proprio calcolare00, e il coefficiente corrispondente al termine noto è comunque 1.
Michele

Attenzione!! Si muove il POLITECNICO di Milano con

Federico Lastaria

Un possibile modo di vedere la questione di come definire 00viene dalla considerazione della categoria degli insiemi finiti e funzioni. Se m e n sono interi non negativi, definiamo mn (m elevato a n) come il numero delle funzioni da un insieme con n elementi a un insieme con m elementi.
Da questa definizione segue che 00=1 (dall'insieme vuoto all'insieme vuoto c'è un'unica funzione, l'identita' del vuoto). Più in generale, per ogni intero non negativo m, abbiamo m0=1 (dall'insieme vuoto a un qualunque insieme c'è un'unica funzione).
Se n è positivo, 0n=0 (non ci sono funzioni da un insieme non vuoto all'insieme vuoto).
Federico Lastaria

..e ..Claudio Citrini


Quando si estende una definizione, bisogna stare attenti agli scopi dell'estensione, e a che cosa si rinuncia con quella estensione. Il principio guida dovrebbe essere -secondo Frege - il "principio di
permanenza delle proprietà formali". Dunque e' a priori diverso se si parla di interi o di reali (in
particolare, è l'esponente che conta).
Nel caso di esponenti interi, mi pare, a una rapida scorsa, la posizione 00=0 farebbe decadere la proprietà an/am = an-m per n=m . Le altre mi pare funzionerebbero.
Il fatto che formule del tipo potenza del binomio vadano bene con la posizione 00= 1
- quando c'è ak bn-k - rafforza la convenzione. Anche la risposta di Lastaria è interessante, ma sempre nello stesso ambito, se pur non nella stessa ottica.

Se però gli esponenti sono reali o complessi, la faccenda cambia aspetto. Da analista, infatti, concordo sostanzialmente con Firmani. Nelle serie di Taylor va bene, perchè l'esponente è intero, e quindi il problema della continuità non si pone se non sulla base, dove è coerente con il prolungamento 00=1, che però viene da z0, non da zt.
Chi vuole salvaguardare la continuita' non puo' definire00. Il ragionamento di Michele Impedovo per xx, non funziona: altrimenti dovremmo porre anche
0/0 = 1, perche' x/x -> 1....

Cosi' ho dato un colpo al cerchio e uno alla botte, ma mi conforta il Poeta -
con la P maiuscola:

E questo ti sia sempre piombo ai piedi
Per farti mover lento com’uom lasso
E al sì e al no che tu non vedi:
chè quelli è tra gli stolti bene a basso
che sanza distinzione afferma e nega
così nell’un come nell’altro passo.

Saluti a tutti. Claudio Citrini

C’è chi tenta di fare ..il punto.., a questo punto: Guido Osimo

Grazie a Citrini, Firmani, Impedovo, Lastaria.
Io la vedrei (un po' banalmente) cosi':
1) se voglio vedere 00come caso particolare di x0, è giusto porlo =1
2) se voglio vedere 00come caso particolare di 0x, è giusto porlo =0
3) non posso usare tutte e due le definizioni, e vi sono alcuni contesti matematici (per esempio: serie di Taylor, permanenza delle proprietà formali delle potenze, e anche - grazie, Federico - la nozione di oggetto iniziale in teoria delle categorie) che fanno preferire la prima definizione alla seconda.


ma rilancia

Il dubbio che mi rimane è: se uso la prima definizione in tutti i contesti, vi sono contesti in cui sorgono problemi gravi? Se l'unico problema è quello della continuità di xy in (0,0), che mi pare sia una versione più elegante del fatto che il caso particolare di x0 e il caso particolare di 0x non possono essere definiti allo stesso modo, mi pare che si possa reggere il colpo...
Per concludere: nessuno riesce a confortare il mio ricordo di avere incontrato da qualche parte il titolo di un articolo in inglese, che suonava proprio "Perchè è giusto definire zero elevato alla zero uguale uno"?
Grazie ancora. Guido Osimo

Questa domanda, per ora, è ignorata; la discussione su 00 riprende
con
Mauro Cerasoli
(http://space.tin.it/scienza/maurocer/)

Riguardo 00 vorrei solo aggiungere che sn è il numero di modi di mettere n biglie distinguibili in s scatole pure distinguibili. In altri termini è il numero di funzioni da un n-insieme ad un s-insieme. Pertanto, in quanti modi si possono mettere 0 biglie in 0 scatole?
Ciao a tutti. Mauro Cerasoli

…e con Sergio Invernizzi

Mauro Cerasoli ha portato il tema 00 sulla cardinalità (per insiemi finiti). Cerco di dare la risposta alla sua domanda "In quanti modi si possono mettere 0 biglie in 0 scatole": in 1 modo, nel modo vuoto. Cioè formalmente esiste una ed una sola applicazione vuoto ® vuoto, il cui grafico è vuoto. Cioè, in una teoria degli insiemi tipo ZF, in termini di cardinalità si ha 00 = 1.
Cari saluti a tutti.
Sergio Inv.

…concludendo, come si è tentati di dire, quanto fa 00?