di
Rosa Maria Mistretta

 

Il primo di alcuni capitoli, corredati d'immagini e disegni, per scoprire come la Matematica possa interpretare i fenomeni celesti

 

.

"Nissuna umana investigazione si po' dimmandare vera scienza s'essa non passa per le matematiche dimostrazioni", Leonardo da Vinci

 

LA SPIRALE COSMICA: sezione aurea dell’Universo
La descrizione di un’entità reale attraverso i linguaggi della matematica e dell’astronomia.

 

L’aforisma enunciato da Galileo, dove "il libro della natura è scritto coi caratteri della geometria", conferma che l’armonia del mondo si manifesta nella forma e nel numero. L’anima e la poesia della filosofia naturale s’incarnano nel concetto di bellezza matematica: ciò che è aggraziato e regolare è utile e perfetto. Già nelle antiche culture la perfezione ha destato curiosità ed ammirazione stimolando lo studio dei segreti celati dall’incredibile bellezza.

Osservando la natura si scoprono espressioni d’eleganza e d’armonia: il tratto comune che definisce gli oggetti attraenti è generato da forze rigorose ed inequivocabili, che obbediscono a precise leggi matematiche.

Le forme sono il primo aspetto intuitivo della realtà che l’occhio umano percepisce.

L’esigenza di esaminare ed osservare, ciò che Galileo definiva la "sensata esperienza", è necessaria per cogliere gli aspetti salienti del fenomeno, per descriverlo e rappresentarlo in sintesi. Procedendo passo passo con rigore dimostrativo, come insegnava già l’opera matematica di Eudosso di Cnido  (408 - 355 a.C. approssimativamente), si giunge a formulare regole e postulati delle realtà oggettive della natura. Ovviamente non e' possibile definire qualsiasi processo senza riferirsi all’intuito, all’esperienza e alla sensibilità' dello sperimentatore, doti fondamentali, infatti, per trovare una qualunque relazione in un metodo di ricerca. Si concretizza, così, un modo nuovo di interpretare la natura nella ricerca di una comunanza tra un simbolo terrestre ed uno cosmico, nell’accettazione dell’obbedienza di cielo e terra alle stesse leggi, nella regolarità di strutture tra macrocosmo e microcosmo: necessarie e logiche premesse per scoprire ad esempio, che l’essenzialità di una linea di spirale rappresenta alcuni tipi di galassie, ma è anche riconducibile in modo analogo ai vortici terrestri.

La spirale, quella curva piana che ha la proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno ad un punto, è una struttura onnipresente. Essa è una delle forme geometriche più diffuse in natura: dai fiori del girasole alle corna d’alcuni animali, dal moto dei cicloni alla molecola del DNA, dalle conchiglie alle galassie.


Struttura a doppia elica del DNA

Osservando attentamente il cielo notturno, nella globalità dell’infinito, s’individuano talvolta strutture dall’aspetto quasi nebulare: sono le Galassie. La Terra ed il Sistema Solare appartengono alla Galassia che prende il nome di Via Lattea ed ha forma di spirale. Utilizzando un telescopio s’individuano in dettaglio differenti tipi morfologici di galassie ed in ognuno di essi variano le proporzioni dei componenti, le proprietà fisiche e quelle chimiche. Le galassie sono aggregati di stelle di massa e d’età diverse, di polvere cosmica e gas interstellare, principalmente idrogeno.


Galassia a spirale M51 nella costellazione dei Cani da Caccia . Il nucleo della Galassia ha un diametro di 80 anni luce e una luminosità pari a quella di cento milioni di volte il Sole. Si stima che l’età delle stelle sia all'incirca di 400 milioni d’anni, mentre con uno dei bracci si collega alla Galassia più piccola che appare come trainata, sembra ruotare come un ciclone terrestre in senso antiorario.


Campo profondo: il Cosmo infinito e lo Schema di Classificazione delle Galassie di Hubble (diagramma a diapason)

Il semplice sistema di classificazione galattica, introdotto nel 1926 dall’astronomo americano E.P. Hubble, ottenuta con criteri descrittivi dalla forma rivelata dalle lastre fotografiche, delinea tre grandi categorie: le galassie ellittiche, irregolari ed a spirale. Le galassie ellittiche, indicate con la lettera E, richiamano la figura di un’ellisse, mentre le galassie irregolari (Irr) non hanno forma geometrica ben definita e sono prive di simmetria rotazionale. E' il caso della Piccola e della Grande Nube di Magellano, due piccole galassie irregolari che si trovano a circa 180.000 anni luce dalla Via Lattea. 

Quando si osservano girandole luminose con bracci complanari, composti da gas, polvere cosmica e stelle concentrate maggiormente nel nucleo si tratta di galassie spirali. Sono suddivise in normali, designate con la lettera S, che possono avere sia i bracci piuttosto stretti e il nucleo preponderante, sia i bracci prominenti e il nucleo quasi trascurabile, e barrate, indicate con SB, i cui i bracci hanno origine dalle estremità di una barra rettilinea che attraversa il centro galattico . 


LA GENESI DELLE GALASSIE A SPIRALE

Le prime teorie consideravano i bracci di spirale alla stregua di strutture connesse al disco centrale: eiezioni di materia del nucleo galattico, aventi differente luminosità ed estensione. Ogni galassia spirale ha un movimento rotatorio non uniforme : le regioni centrali, infatti, hanno una velocità di rotazione più alta delle periferiche. Il fenomeno della rotazione differenziale, nella quale le zone esterne hanno una velocità angolare più lenta rispetto a quelle interne, fece sorgere tra gli scienziati il dubbio che nel tempo i bracci più vicini al disco nel tempo si sarebbero avvolti su se stessi, scomparendo definitivamente. A tal risoluzione, nel 1941 fu proposta una teoria che scinde i bracci di spirale dalla cinematica della galassia: è la teoria delle onde di densità, comparabili ad onde di compressione, come le onde sonore che si propagano nell’atmosfera terrestre. Essa prevede che i bracci a spirale si formino dall’interazione tra onde di densità e materia galattica.

Qual è il meccanismo che interessa il fenomeno? Si tenga presente che la materia del disco galattico si muove in rotazione differenziale, mentre l’onda di densità si muove a velocità angolare costante, nello stesso senso della materia del disco. Quando la materia del disco, più veloce dell’onda, raggiunge l’onda stessa, essa altera la propria velocità, rallentando comprimendosi. Successivamente la materia abbandona l’onda, riacquistando velocità e densità. Con l’alternarsi d’interazioni successive, il raggio di curvatura va dunque continuamente aumentando: una linea ipotetica che parte dall’origine diminuisce gradualmente il suo profilo arcuato man mano che si allontana da centro. Si delinea così la caratteristica struttura a girandola delle spirali galattiche.

L’onda d’urto, che investe il gas interstellare, provoca la formazione di nuove stelle: le più massicce e luminose vivono il tempo necessario per attraversare il braccio a spirale (circa 10 milioni d’anni) rendendolo quindi luminoso.


CHE COSA E’ UNA SPIRALE?

Archimede definì la spirale come la traiettoria di un punto che si sposta uniformemente in una semiretta che è in moto rotatorio intorno alla sua origine fissa.

La spirale di Archimede (o uniforme) può essere rappresentata da una fune che un marinaio avvolge sul ponte di una nave: poiché la corda ha spessore uniforme, ogni giro della spirale avrà la stessa altezza di quello che lo precede e di quello che lo segue. In termini matematici, se una semiretta (o vettore radiale) muove uniformemente intorno alla sua estremità fissa, un punto sulla semiretta che allo stesso modo si muove di moto uniforme lungo di essa, descriverà una spirale uniforme.

Se invece di viaggiare a velocità uniforme, il punto che si muove lungo il vettore radiale aumenta la sua velocità man mano che si allontana dal punto fisso, allora esso verrà tracciare una curva a spirale equiangolare (o logaritmica), studiata nel 1638 da Cartesio: "ogni figura piana che proceda da un punto fisso o polo tale che l’area vettoriale di qualsiasi settore sia sempre una porzione aggiunta della figura precedente è detta spirale equiangolare o logaritmica".

Ogni spira che il vettore radiale taglierà sarà più ampia della precedente secondo un rapporto ben definito ed il vettore radiale aumenterà la sua lunghezza in progressione geometrica, man mano che attraversa una serie d’angoli uguali, si ottiene una curva che cresce continuamente.

Se la velocità di crescita dei giri della spirale è lenta, la spirale equiangolare può ricondursi alla spirale di Archimede.

 


LA SPIRALE LOGARITMICA E I NUMERI DI FIBONACCI


Ritratto di Fibonacci

Diversamente dalla spirale d’Archimede, che ha un punto d’inizio, la spirale logaritmica prosegue indefinitamente sia verso l'interno sia verso l'esterno: la curva si avvolge intorno al polo senza mai raggiungerlo. Il centro della spirale logaritmica osservata con un ingrandimento appare costantemente come una spirale infinita, la stessa che si vedrebbe continuando la curva nel verso opposto, che cresce fino a raggiungere e dimensioni di una Galassia. E’ una figura che Aristotele avrebbe spiegato come uno spazio divisibile all "infinito, in quanto il risultato della divisione è sempre una grandezza che, come tale, è ulteriormente divisibile", che non è modificata salvo che per la dimensione: si costruisce 1 figura che, aggiunta ad un’altra qualsiasi, conserva la similitudine tra la figura risultante e quell’originaria.

La spirale logaritmica è legata alla sequenza dei numeri di Fibonacci (Pisa, 1180-1250), la cui scoperta ed applicazione risalgono l’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri a termini interi (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…), posti in relazione poiché ogni termine successivo è uguale alla somma dei due immediatamente precedenti. La particolarità è che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente al numero decimale 0,618:

1:2=0,500 8:13 = 0,615 

2:3=0,667 13:21= 0,619

3:5=0,600 21:34=0,618

5:8=0,625 34:55=0,618

0,618 è definito come il rapporto della sezione aurea, considerata come legge universale dell'armonia. Qual è il significato geometrico della sezione aurea?

Essa è la ripartizione del segmento in 2 parti che stanno tra loro come la maggiore sta al segmento intero , è un numero definito da una relazione di proporzionalità tra le due parti in cui è diviso un segmento e l’intero segmento: "il tutto sta ad una parte, come la parte sta al restante" (Euclide)

Si può esemplificare procedendo nel seguente modo:

si consideri a come la lunghezza del segmento considerato e x la parte maggiore. Il problema si traduce nella proposizione:

a : x = x : (a - x),

e poiché nelle proporzioni il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi si ottiene:

x² = a (a - x)

Se si pone a = 1 , si ottiene l'equazione di 2° grado

x2 + x – 1 = 0

La lunghezza della parte maggiore nella divisione del segmento di lunghezza a (= 1) è data dal valore positivo di x

cioè x = + 0,618.

 


IN QUALE MODO LE SPIRALI DELLE GALASSIE POSSONO RICONDURSI ALLA SEZIONE AUREA?

Tenendo presente i numeri di Fibonacci, attribuendo i rispettivi valori ai rapporti tra i lati dei quadrati utilizzati nella costruzione, si provi a costruirne la spirale logaritmica

Attraverso l’impiego di un rettangolo e di un quadrato secondo la Serie di Fibonacci e di un compasso puntato in un vertice dei rispettivi quadrati è possibile costruire una linea continua allo stesso modo di un braccio di spirale di una galassia. Un semplice rapporto di numeri dà luogo alle proporzioni di forme spirali a dimostrazione che anche i bracci a spirale della Via Lattea e di altre galassie sono prova di fenomeni costanti ed ordinati, riconducibili a schemi precisi.

La sezione aurea è l’espressione matematica della bellezza della natura. Corna, zanne, artigli di alcune specie di animali si avvicinano alla forma della spirale aurea. Il fascino del simbolo grafico è rappresentato dal Nautilus: un mollusco di grandi dimensioni che ha la sezione del guscio come una perfetta spirale logaritmica giacente su uno stesso piano.

Il Nautilus

L'accrescimento biologico di alcune specie, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi in alcuni tipi di fiori come le file dei flosculi in un girasole (sono 34 e 55, a volte anche 89 e 144); e l’accrescimento di una pigna secondo i valori 5 e 8, sono testimonianze di sezioni auree.


Il Girasole

Fin dall'antichità gli studiosi hanno cercato di ricondurre la bellezza e la perfezione della natura a rapporti armonici. Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere una linea in due segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. Nel "Timeo" Platone sostiene che i tre termini di una proporzione divina - la più grande (la linea intera), quella di mezzo (il segmento più lungo) e la più piccola (il segmento più corto) - sono "tutti di necessità gli stessi, e poiché sono gli stessi, non sono che uno". In una progressione di divine proporzioni, ogni parte è un microcosmo, o modello minuscolo, di tutto l'insieme.

Dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande: tutto sembra regolato da perfezioni matematiche, da precisi calcoli predefiniti, applicati dalla piccola chiocciola che vive nel sottobosco all’immensa galassia a spirale che contiene miliardi di stelle.