L'articolo è già stato pubblicato sul n° 48 di Lettera Matematica PRISTEM

 

di Stefano Leonesi, Carlo Toffalori e Samanta Tordini

Gli autori fanno parte del Gruppo di Logica matematica del
Dipartimento di Matematica e Informatica dell'Università di Camerino.
La loro attività di ricerca riguarda principalmente la Teoria dei
modelli e le sue applicazioni all'Algebra.
Carlo Toffalori ha scritto in collaborazione con Patrizio Cintioli un
testo di "Logica Matematica" per McGraw Hill (2000) e, con Annalisa
Marcja, una "Introduzione alla Teoria dei modelli" (Pitagora, 1998)
la cui versione inglese, riveduta e ampliata, è uscita di recente per
la Kluwer.

 

LA CACCIATA DALL'EDEN

Kurt Gödel (vedi [3] per una ricostruzione dettagliata della vita e delle sue opere) era nato nel 1906 a Brunn (l'attuale Brno); si era iscritto nel 1924 all'Università di Vienna con l'intenzione di laurearsi in Fisica ma dopo due anni (come talora capita) si era trasferito a Matematica, ottenendo infine il suo dottorato i1 6 febbraio del 1930 con una tesi sulla completezza della logica del primo ordine. Aveva dunque raggiunto un risultato di primissimo piano, e pur tuttavia, per intraprendere la carriera universitaria, doveva ancora superare un ulteriore esame - l'Hlabilitation - che richiedeva, tra l'altro, la redazione di un lavoro di maggiore importanza (l'Habilitationsschrift).
A tale proposito, il problema di Hilbert di una dimostrazione finitaria della coerenza dell'Aritmetica costituiva ancora argomento stimolante e fascinoso. Gödel vi si dedicò. Come egli stesso ebbe a rivelare molti anni dopo, la sua intenzione originaria era quella di contribuire alla realizzazione del programma hilbertiano. Ma, esaminando la questione della coerenza e sviluppando in particolare una delicata riflessione sui mezzi necessari per dimostrarla, giunse, a risultati devastanti, di segno completamente opposto alle aspettative e tali da affondare le speranze di Hilbert.
Gödel considerò infatti un sistema formale S con le seguenti proprietà:

a) S ammette un insieme umanamente accessibile (decidibile) di assiomi;
b) S è capace di trattare l'Aritmetica e in particolare la Teoria elementare dei numeri;
c) S è privo di contraddizioni.


Kurt Gödel
Esempi di sistemi S con queste proprietà sono (e lo erano anche ai tempi di Gödel) l'Aritmetica stessa di Peano opppure, in un contesto meno specifico ed allargato all'intero fondamento della Matematica, la Teoria degli insiemi ZF assiomatizzata da Zermelo-Fraenkel (eventualmente estesa, ad includere anche il controverso Assioma della scelta) per la quale però il requisito c) della coerenza è ancora da dimostrare, oppure anche il sistema Principia Mathematica di Russell e Whitehead.

Per dirla con le parole stesse di Gödel, "si potrebbe congetturare che questi assiomi e regole di inferenza siano sufficienti a decidere ogni questione matematica che possa essere formalmente espressa. nei relativi sistemi (...) ma non è così, al contrario esistono nei sistemi menzionati problemi relativamente semplici della teoria dei numeri che non possono essere decisi sulla base degli assiomi".
In effetti il primo fondamentale risultato che Gödel pubblicò nel 1931 (in un articolo apparso su Monatshefte fur Mathematik und Physik ed intitolato "Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e di sistemi affini") afferma proprio:

1 ° Teorema di incompletezza di Gödel. In ogni sistema formale S con le proprietà a), b) e c) sopra descritte, si possono costruire proposizioni che il sistema non riesce a decidere: non possono essere dimostrate, né rifiutate, sulla base degli assiomi e delle regole di deduzione del sistema.

L'idea basilare che Gödel adopera nella dimostrazione è semplice e brillante: ogni proposizione P del sistema viene etichettata tramite un numero naturale n(P) allo stesso modo in cui, in una biblioteca, ogni volume viene catalogato con un suo codice. In questo modo le affermazioni relative al sistema (in particolare quelle che riguardano i numeri naturali) diventano esse stesse numeri naturali, oggetto del proprio stesso interesse. A questo punto, possiamo costruire una proposizione P che riesce ad affermare: "P non si può dimostrare in S" (riprendendo la situazione di vecchi e classici giochi logici e paradossi, come quello che chiede se chi afferma: "Sto mentendo" dica o no la verità). Si conclude che P si può dimostrare se e solo se non si può dimostrare in S e che comunque P è vera ma non dimostrabile in S. In conclusione, il nostro sistema S non può essere completo, se per completezza si intende la capacità di dirimere ogni questione al suo interno c dunque di dimostrare vera oppure falsa ogni proposizione che lo riguarda.
E' evidente che il 1° teorema di incompletezza infligge un pesante colpo al metodo assiomatico e, in particolare, alle convinzioni di Hilbert. È vero che il programma hilbertiano metteva il suo accento principale non sulla prerogativa della completezza, ma su quella della coerenza (autocertificata). Tuttavia Hilbert era convinto della possibilità che una Matematica ben fondata e organizzata potesse realmente rispondere ad ogni possibile questione. Come lui stesso affermava in una conferenza tenuta al Congresso internazionale dei matematici del 1928, "non ci sono limiti alla comprensione matematica, in Matematica non ci sono Ignorabimus". Il primo teorema di Gödel contraddice questa cortezza.
Ma un secondo risultato di Gödel va a minare anche la proprietà qualificante della coerenza, provocando così il crollo del programma di Hilbert.

2° Teorema di incompletezza di Gödel. Nessun sistema formale S che includa la Teoria Elementare dei Numeri e sia privo di contraddizioni sarà capace di autocertificare (quindi dimostrare al suo interno partendo dagli assiomi ed usando le regole di deduzione) la propria coerenza.


Abraham Fraenkel
Il risultato si applica anche all'Aritmetica di Peano e alla Teoria degli insiemi ZF (ammesso che ZP sia coerente). In questi casi, ed in ogni altra situazione che ne condivide le ipotesi, il sistema S avrà bisogno di una garanzia esterna per confermare la propria assenza di contraddizioni e dunque, in fin dei conti, la propria autorizzazione a trattare coerentemente ciò che sta trattando.
Vale forse la pena di ricordare che Gödel presentò preliminarmente questi risultati in occasione della Conferenza sull'Epistemologia delle Scienze Esatte, che si tenne a Kònigsberg dal 5 al 7 settembre del 1930. La comunicazione di Gödel ebbe luogo nel pomeriggio del 6, ma pochi dei presenti afferrarono la vera portata dei suoi risultati. Forse l'unica eccezione fu costituita da von Neumann, che rimase letteralmente affascinato dai teoremi di incompletezza. L'ironia del destino volle che in quei giorni a Konigsberg passasse anche Hilbert ma, come riferito dallo stesso Gödel, non ci fu mai nessun contatto diretto o epistolare tra i due, né in quella occasione né in altre.

I dettagli delle dimostrazioni di Gödel si possono trovare nei suoi articoli originali [4], [5], inclusi nella raccolta di tutte le sue opere, o in successive esposizioni quali [6], [7]. Un approccio molto elementare e naif si trova anche in [8]. Per una bella introduzione sull'argomento si veda [9]. Questi riferimenti propongono anche l'enunciato preciso dei due teoremi e dunque correggono certe imprecisioni che le nostre note fatalmente contengono, in ragione dei loro confini di spazio e del loro tono discorsivo. Noi ci limitiamo ad alcuni commenti conclusivi.
Dobbiamo premettero che i risultati di Gödel si prestano facilmente a riflessioni assai superficiali, che spesso trascurano la loro difficoltà e profondità e non sanno cogliere a pieno ogni loro sfumatura. Ciò premesso, dobbiamo anche dire che c'è chi comunque li interpreta da un punto di vista filosofico (e forse metafisico) asserendo che essi dimostrano che l'uomo è un essere limitato ma consapevole del suo limite. Non è capace di comprendere i fondamenti della Matematica, formulandoli in modo definitivo e completo; sa tuttavia accorgersi di questa sua incapacità, al punto da dimostrarla in modo matematicamente rigoroso. In questo senso, i teoremi di Gödel possono anche intendersi, alla stregua della siepe di leopardiana memoria, come il segnalo di un limite che ci impedisco ma non ci si nasconde, un'autorevole prova scientifica di una realtà che. trascende la nostra dimensione. Del resto, Blaise Pascal aveva osservato con il suo limpido stile nel Pensiero 188-267: "l'ultimo passo della ragione è riconoscere che vi sono in,finite cose che la superano".
Ovviamente, né Gödel né la Matematica possono chiarirci che cosa sia questa realtà che ci trascende, se una divinità, o il caos o altro ancora. Ma, a proposito di queste (controverse) interpretazioni, vale la pena di citare il commento (scherzoso) di un grande matematico come André Weil, che diceva che i teoremi di Gödel dimostrano l'esistenza tanto di Dio quanto del demonio, "Dio perché la matematica è coerente, il diavolo perché non possiamo comunque dimostrarne la coerenza".
Torniamo al nostro tema principale e alla Matematica dell'Infinito. In definitiva, dobbiamo prendere atto che l'uomo non può dominare completamente la Matematica e comprenderne i fondamenti in modo tale da ridurla ad un puro e semplice gioco di deduzione al computer. Questa incapacità si registra già nel (l'apparentemente docile) contesto dei numeri naturali e cioè dei cardinali finiti. La Matematica dell'Infinito (e la speranza hilbertiana di una sua autocertificata coerenza) devono condividere la stessa imbarazzante situazione. Questo tuttavia non esclude lo studio e l'approfondimento né dei naturali né dei cardinali infiniti. Progressi sostanziali, spesso fascinosi e stimolanti, sono stati raggiunti nell'uno e nell'altro campo negli ultimi anni (inclusa la famosa soluzione dell'Ultimo Teorema di Fermat). Ma i risultati di Gödel restano ancora un punto di riferimento fondamentale sulla vera natura della Matematica e dell'essere matematico: un recente libro di Doxiadis (vedi [10]) descrive, in tono vagamente surreale, gli imbarazzi e i turbamenti che la loro conoscenza può ancora provocare ai matematici praticanti.