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I CONTINUATORI DELL'OPERA DI ARCHIMEDE

I problemi di carattere infinitesimale, come abbiamo osservato, si presentarono sotto molteplici aspetti nel mondo greco e i risultati migliori si ebbero con Archimede, che giunse ad un notevole grado di precisione e perfezione. Tali risultati sembravano aver quasi esaurita, nel suo tempo, la potenza di tali metodi.
Dopo Archimede, per lunghi secoli, non si ebbero più progressi degni di rilievo.

Se ci chiediamo il motivo per cui la Matematica non fece grandi progressi nel periodo medioevale, siamo inevitabilmente indotti a operare un confronto tra la civiltà medievale e quella romana (ugualmente sterile).
La civiltà romana fu improduttiva (nel campo della Matematica) perchè era tanto interessata ai risultati pratici da non riuscire a vedere oltre. Il periodo medievale fu invece improduttivo perchè non si occupò della civitatis mundi ma della civitatis Dei e della preparazione all'altro mondo. L'una civiltà era troppo legata alla terra, l'altra al cielo.

I continuatori di Archimede e i suoi primi commentatori non aggiunsero, dunque, nulla di importante alle sue scoperte e questo mostra che, molto probabilmente, non avevano compreso tutta la profondità del suo pensiero.

Nicolò Tartaglia

Per ritrovare lo spirito dei procedimenti archimedei e per vedere rifiorire le idee infinitesimali, occorre arrivare fino al Rinascimento e precisamente fino a Tartaglia, Maurolico, Commandino e Luca Valerio che introdusse per la prima volta il concetto di limite.

Nel Seicento, l'Analisi infinitesimale riprenderà il suo sviluppo proprio a partire dall'approfondimento degli studi sulle opere infinitesimali di Archimede note a quei tempi, cioè quelle condotte secondo il metodo di esaustione.

La più antica influenza tendente a trasformare il pensiero e la vita nell'Europa medievale fu infatti l'introduzione delle opere greche. Il primo contatto significativo con queste opere ebbe luogo attraverso gli arabi. Fu così possibile, in poi eseguire traduzioni latine direttamente dai manoscritti greci. Da quel momento in poi, l'influenza del sapere greco sul pensiero europeo fu illimitata.
Tutti i grandi scienziati del Rinascimento riconobbero nei greci la fonte della loro ispirazione e confessarono di avere attinto dalle loro opere anche idee specifiche.

I primi studiosi delle opere di Archimede furono appunto Niccolò Tartaglia (1500-1557), che tradusse le sue opere in latino, Paolo Guldino (1577-1643) del quale ricordiamo i noti teoremi da lui dimostrati in Centrobaryca (1635-1641) relativi all'area ed al volume di un solido di rotazione:


Paolo Guldino
primo teorema di Guldino: l'area della superficie generata da una linea piana che ruota attorno ad una retta del suo piano che non l'attraversa, è data dal prodotto della lunghezza della linea per la lunghezza della circonferenza o arco di circonferenza descritta dal baricentro;

secondo teorema di Guldino: la misura del volume del solido generato dalla rotazione di una superficie piana limitata attorno ad una retta ad essa complanare, che non l'attraversi, è dato dal prodotto dell'area della superficie stessa per la lunghezza della circonferenza o arco di circonferenza descritta dal baricentro della superficie.

Il primo di questi teoremi, in una forma simile, fu enunciato nel libro VII della Collezione ( senza dimostrazione) da Pappo (geometra greco del III sec. D.C.). Così le vie degli antichi venivano ricalcate dai moderni. Alcuni storici sostengono che il secondo teorema di Guldino costituisca un'interpolazione introdotta nel testo originale nel corso della tradizione manoscritta1.


Francesco Maurolico
Pappo era giustamente orgoglioso di questo teorema estremamente generalizzato: come dice infatti nella Collezione esso comprendeva2 "un gran numero di teoremi di ogni sorta concernenti curve, superfici e solidi, i quali venivano dimostrati tutti simultaneamente mediante un'unica dimostrazione." Tale teorema è, infatti, il più generale che si conosca nell'antichità relativamente al campo dell'Analisi infinitesimale. I teoremi di Guldino, rappresentano un notevole progresso dopo il lungo periodo di declino della Matematica.

Un altro matematico che ottenne dei risultati importanti fu Luca Valerio (1552-1618), il quale ebbe il merito di trasformare il metodo di esaustione in un principio applicabile a curve e superfici generali.
Il metodo adottato da Valerio, per quadrare le figure e trovare il baricentro di solidi "senza niente lasciare indietro", era basato sulla dimostrazione di due proposizioni fondamentali "che solo di per sè dovrebbero trovare un posto nella geometria"3 . Nella prima, afferma che se A, B, e c, d, sono quattro grandezze e si possono assegnare due altre grandezze H e K, sempre maggiori (o minori) di A e B rispettivamente e da queste differenti per eccesso (o difetto) più piccolo di ogni grandezza assegnabile e tali inoltre che H : K = C : D , allora sarà A : B = C : D . Una proposizione in cui molti commentatori moderni hanno voluto vedere anticipato un risultato notevole della teoria dei limiti, nel cui linguaggio si lascia tradurre senza difficoltà l'asserto di Valerio.
A questa prima di carattere generale si affianca una seconda proposizione, che Valerio usa sistematicamente in luogo dell'esaustione archimedea nella quadratura delle figure piane e che in sostanza esprime la condizione di integrabilità secondo Riemann.
"Omni figurae circa diametrum in alteram partem deficienti figura quaedam ex parallelogrammis inscribi potest, et altera circumscribi, ita ut circumscripta superet inscriptam minorispacio quantacumque magnitudine proposita". Cioè " ad ogni figura


piana degradante dalle due parti a partire dal diametro si può inscrivere una figura formata da parallelogrammi e circoscriverne un'altra, in modo che la figura circoscritta superi l'inscritta di una qualsiasi quantità prefissata, arbitrariamente piccola". Il segmento DA viene diviso in n parti e per i punti di suddivisione vengono condotte corde perpendicolari che costituiscono le basi di rettangoli inscritti e circoscritti nella figura aventi la comune altezza 1/n AD. E' evidente che la differenza tra la somma dei rettangoli circoscritti e di quelli inscritti è equivalente al rettangolo di base BC e altezza 1/n AD, rettangolo che si può rendere piccolo quanto si vuole.
Luca Valerio, inoltre, con la prima delle due proposizioni trsformò il ragionamento per assurdo che si trova nel principio di esaustione in passaggio al limite, ed il Chisini ne dà la seguente interpretazione: "se una grandezza An maggiore o minore di una prima grandezza A, differendo da questa A per un eccesso o difetto inferiore a qualunque quantità assegnata, ha un dato rapporto k rispetto ad una grandezza Bn, anche essa maggiore o minore, [variando] insieme con An , di una seconda grandezza B, differendo da questa B, per un eccesso o difetto inferiore a qualunque quantità assegnata: allora la prima grandezza A ha rispetto la seconda grandezza B, lo stesso rapporto k".
Tutto ciò, in linguaggio moderno può essere espresso nel seguente modo: se per ipotesi:


allora si avrà:


cioè, se due variabili mantengono rapporto costante, tendendo a due limiti, anche il rapporto dei due limiti sarà lo stesso.
La combinazione di questi due principi pone nelle mani di Valerio uno strumento di grande efficacia ed eleganza per la quadratura di una vasta classe di figure, di cui il segmento parabolico di Archimede rappresenta solo un caso particolare. Così, avvalendosi di questi principi, calcolò nuovi valori di volumi e baricentri di solidi limitati da piani paralleli e da superfici del secondo ordine, tanto che di lui Galileo disse che poteva considerarsi "il novello Archimede dei tempi nostri", richiamandosi a una dimostrazione data da Valerio sul volume della sfera.