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AREA DI UN SEGMENTO PARABOLICO

 

Abbiamo visto come Archimede risolse alcuni problemi riguardanti la determinazione delle superficie e dei volumi applicando alle questioni geometriche ragionamenti analoghi a quelli che adoperava nelle questioni meccaniche. Nell’analizzare le sue dimostrazioni, inoltre, si nota subito come i ragionamenti di cui egli fa uso nel "metodo" si traducono immediatamente e senza artificiosità alcuna in formule di calcolo integrale. Basta a tale scopo riprendere in esame le proposizioni che lo compongono e sostituire il simbolo di integrale alle equivalenti perifrasi verbali. Ad Archimede infatti, ovviamente, mancava il simbolo di integrale, non il concetto ad esso corrispondente.

Un primo risultato importante fu la quadratura del segmento parabolico. Di esso Archimede diede subito comunicazione ai matematici alessandrini, esponendo il procedimento meccanico con cui l’aveva ottenuto, corredandolo inoltre di una rigorosa dimostrazione per esaustione.
Riportiamo qui alcune parti delle sue dimostrazioni per illustrare a quale punto di precisione matematica era giunto il suo Metodo.

Sia ABC un segmento parabolico; sia D il punto medio di AC e si conduca la retta DBE parallela al diametro principale (o asse della parabola ) e si traccino le rette AB e BC.
Si conducano da A la retta AF parallela a DBE e da C la retta CF tangente alla parabola in C.

Si prolunghi CB fino in K e sia KH uguale a CK. Ma CD è metà di CA, corda coniugata al diametro BD (infatti CF è la tangente); quindi EB=BD.
Sia ha EB=BD perché la sottotangente di un punto P qualsiasi è divisa per metà dal vertice ed essendo
FA // MO // ED è anche MN=NO ed FK=KA.
Ma siccome CA:AO=MO:OP (questo si dimostra partendo dalla proprietà fondamentale della parabola provata in "quadratura della parabola" , lemma che doveva essere scritto al margine e poi sparito; è infatti:

BD : BQ = AD2 : PQ2

ed è interessante notare che questa proporzione corrisponde all’equazione della parabola).
Conduciamo nel triangolo ACF per un punto qualunque di ascissa x una retta MO//AF; per una qualunque retta così condotta abbiamo detto che è CA : AO = MO : OP e posto:

AC = 2a
CO = x
AO = 2a–x
PO = y
OM =y’

è: 2a:(2a –x)=y’: y

Siccome i centri di gravità della y’ sono tutti sulla retta CK, che passa per i loro punti di mezzo, da questa relazione si ricava che ogni segmento y del segmento parabolico sospeso per il suo punto di mezzo sulla CK alla distanza 2a da K fa equilibrio corrispondente segmento y’ del triangolo situato al suo posto.
Ora il segmento parabolico si può immaginare composto di tutti i segmenti y che si possono condurre nel modo detto per i punti di AC, e quindi come somma di tanti elementi ydx; similmente, il triangolo ACF è composto da altrettanti elementi y’dx. Avremo quindi che il segmento parabolico sospeso con il suo centro di gravità in H (KH=2a) fa equilibrio al triangolo sospeso con il suo centro di gravità in X (essendo KH=2a/3 ).

Quindi:

Ora il segmento parabolico si può immaginare composto da tutti i segmenti y che si possono condurre nel modo detto per i punti di AC, e quindi come somma di tanti elementi ydx; similmente, il triangolo ACF è composto da altrettanti elementi y’dx. Avremo quindi che il segmento parabolico sospeso con il suo centro di gravità in H




Ossia, essendo

Se inoltre osserviamo che:

si ha

e quindi:

infatti:

Cioè l’area del segmento parabolico è i quattro terzi dell’area del triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del segmento.