INDICE

 

 

 

ARCHIMEDE


Archimede in un'incisione del 1740


Questa parte del cammino storico alla ricerca delle origini dell’Analisi infinitesimale culmina con la figura di Archimede che, come sottolineato da Castelnuovo, ha già chiarissima l’idea di integrale definito, idea ripresa più tardi dai matematici del XVII secolo.
Archimede (nato a Siracusa circa nel 287 a.C. e ivi morto nel 212 a.C.) fu uno degli spiriti più ampi di tutti i tempi, caratterizzato da una notevole versatilità, come dimostrato dalla sua vasta opera: studiò, infatti, non solo la Matematica ma anche la Fisica (statica dei solidi e dei liquidi) ed ottenne dei risultati notevoli in particolare nello studio della Geometria. Plutarco scrive di lui: in tutta la Geometria non è possibile trovare questioni più difficili ed astruse , esposte in termini così semplici, e in conformità a principi più chiari di quelli usati da Archimede (…) tanto la via che porta alla dimostrazione è stata resa da lui facile e piana."1
Nelle sue opere tutte le questioni di carattere infinitesimale erano trattate con il metodo di esaustione. Con esso dimostrò infatti importanti risultati che vanno dai risultati riguardanti la ciclometria (Misura del cerchio), alla determinazione della misura della superficie e del volume della sfera (Della sfera e del cilindro), alla quadratura del segmento di parabola e della superficie racchiusa dall’ellisse (Quadratura della parabola), alla cubatura del segmento di paraboloide rotondo (Conoidi e sferoidi), alle proprietà delle spirali (Delle spirali), Archimede inoltre rinnovò il sistema di numerazione greco determinando un procedimento atto a rappresentare numeri grandissimi (Arenario) e, come abile calcolatore, escogitò un metodo per il calcolo del valore di ... con un’approssimazione prestabilita mediante la considerazione dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio. Inoltre "esprimendosi con linguaggio geometrico stabilì quello che per noi in linguaggio moderno si scrive come:
".2


Le sue scoperte in materia di aree e volumi furono rigorosamente dimostrate con l’ausilio del metodo di esaustione e, con il passare dei secoli, furono assunte da tutti i matematici quali esempi tra i più caratteristici di applicazione logicamente impeccabile di tale metodo, anche se questo non può essere considerato un metodo di ricerca o di scoperta ma soltanto un metodo di dimostrazione, utilizzabile quindi principalmente quando si conosce o si intuisce il risultato.
A tali conclusioni giunsero anche i matematici del XVII secolo che, a fronte delle carenti motivazioni alla base dei risultati che Archimede dimostrò con il metodo di esaustione, furono indotti a sospettare che il matematico avesse tenuto segreta la sua particolare tecnica affinché le sue opere fossero ammirate e apprezzate in misura maggiore.
Nel Seicento, infatti, John Wallis scriveva: "[Sembra che Archimede] abbia di proposito ricoperto le tracce della sua investigazione come se avesse sepolto per la posterità il segreto del suo metodo di ricerca".
Archimede, infatti, nell’introduzione al trattato riguardante la quadratura del segmento di parabola, scrive:

busto di Archimede
Napoli, Museo Nazionale

"quando ho saputo che Conone, che era mio amico, era morto, ma che tu eri suo amico e quindi anche esperto di Geometria, mentre da una parte ho sentito dolore per la perdita di una persona che era non soltanto mio amico ma anche un esperto matematico, mi sono proposto di far conoscere a te, così come avrei voluto far conoscere a Conone, un certo teorema geometrico che non era stato dimostrato prima e che ora io ho dimostrato, ma che è stato scoperto da me con i metodi della meccanica e che ora io presento con i metodi della geometria.


Qualcuno dei geometri dei tempi andati ha cercato di dimostrare che è possibile trovare una figura a contorno rettilineo la cui area fosse uguale a quella di un cerchio dato o di un segmento di cerchio dato; e, quando essi cercarono di determinare l’area limitata dalla sezione di un intero cono e da una retta, cercando di introdurre dei postulati che non apparivano evidenti a tutti, si riconobbe da parte di molti che il problema non era stato risolto. Ma non so se qualcuno tra i miei predecessori ha cercato di determinare l’area compresa tra una retta e la sezione di un cono retto, problema del quale ho trovato la soluzione.
Infatti ho dimostrato che un segmento limitato da una retta e da una sezione piana del cono retto è quattro terzi del triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del segmento.
E per dimostrare questa proprietà ho supposto vero il seguente postulato: che la differenza tra la maggiore e la minore di due aree non uguali tra loro, può, aggiunta su se stessa, superare ogni area assegnata.
"
In questo passo Archimede, tra l’altro, enuncia il postulato che viene oggi indicato con il suo nome e dichiara esplicitamente che il procedimento con il quale giunse a scoprire la proprietà che gli interessa è stato di carattere meccanico (mentre la dimostrazione che dà della proprietà è di carattere geometrico).


Frontespizio dell'edizione delle opere di Archimede.
Basilea 1544

Tale mistero poté essere svelato nel 1906 quando il filologo danese J.L. Heiberg scoprì a Costantinopoli un’opera fino ad allora sconosciuta intitolata Metodo di Archimede sui teoremi meccanici. Tale opera, a noi giunta incompleta, si presenta come una lettera al matematico Eratostene ed è stata valutata dagli storici come diversa dagli altri scritti di Archimede in quanto, come osservato da H.G. Zeuthen "lascia vedere dentro la sua officina meccanica".3

In tale scritto si intende chiaramente che Archimede utilizzava tale metodo "meccanico" per ottenere quei risultati che poi dimostrava rigorosamente con il metodo di esaustione. Sì può quindi affermare che una felice combinazione di ragionamenti meccanici (statici attraverso leve in equilibrio e posizioni di baricentri) e infinitesimali rappresenta uno strumento fondamentale per le sue scoperte.

L’idea fondamentale che guida il metodo meccanico archimedeo consiste innanzi tutto nel paragonare due figure di cui una nota e di cui si conosca anche la posizione del baricentro. La natura infinitesimale che è alla base di tale metodo consiste nella comparazione delle due figure mediante la considerazione delle superfici piane che si ottengono dalle loro sezioni; i solidi vengono così suddivisi in elementi o foglietti, come dirà secoli dopo Bonaventura Cavalieri, infinitamente sottili. In ogni figura il numero degli elementi è infinito e, per Archimede, è composta e riempita da tutti i suoi elementi. Così, per esempio, il segmento parabolico è composto di tutte le corde parallele alla base mentre il paraboloide è composto da tutte le circonferenze perpendicolari al suo asse.
Archimede paragona quindi una coppia di sezioni omogenee supponendo che, dotate del proprio peso, agiscano ai due estremi di una leva. In questo modo, studiando i due momenti statici, arriva a scoprire che le figure considerate sono legate tra di loro da una relazione esprimibile mediante una proporzione. Infatti, i due corpi sospesi ai bracci di una leva si fanno equilibrio quando è uguale il prodotto della loro superficie (o volume) per la distanza del baricentro dal fulcro. Tale ragionamento conserva validità se si considerano le sezioni della prima figura e quelle della seconda come riunite nei rispettivi baricentri. Quindi dette V ed U la superficie o il volume della grandezza nota e di quella da determinare e detti b e d le distanze dei baricentri dal fulcro è:

Vxd=Uxb

Da cui si ricava: U=(V x d)/b che è il dato che si voleva conoscere.

Frajese, interpretando gli scritti di Archimede, ritiene che egli giungesse ad una prima conoscenza per via intuitiva alla cui base vi era la convinzione di trovare relazioni matematiche semplici; si passava poi ad una verifica, seppur non rigorosa, con il metodo meccanico; arrivava poi alla dimostrazione rigorosa usando il metodo di esaustione.

Frontespizio delle opere di Archimede

Nel Metodo Archimede scrive: "ma poichè ti riconosco studioso e maestro eccellente di filosofia che sa apprezzare, quando è il caso, le ricerche matematiche, ho creduto bene esporti e dichiararti in quest’opera le particolarità di un metodo mediante il quale ti sarà possibile acquistare una certa perizia per trattare cose matematiche per mezzo di considerazioni meccaniche.
Sono persuaso del resto che questo metodo sarà non meno utile anche per le dimostrazioni degli stessi teoremi.

Infatti a me alcune cose si manifestarono prima per via meccanica, e poi le dimostrai geometricamente, perchè la ricerca fatta con questo metodo non comporta una vera dimostrazione.
Però è certamente più facile, dopo aver così acquistato una certa cognizione delle questioni, trovarne la dimostrazione anzichè cercarla senza avere alcuna conoscenza preliminare.
Per questa ragione, anche in quei teoremi, riguardanti il cono e la piramide, di cui Eudosso trovò per primo la dimostrazione, cioè che il cono è la terza parte del cilindro e la piramide è la terza parte del prisma, aventi la stessa base e altezza eguale, un merito non piccolo dovrebbe attribuirsi a Democrito che per primo enunciò queste proprietà delle figure senza dimostrarle.
…In questa occasione ho deciso di esporre per iscritto il metodo… perchè sono persuaso che non poca utilità esso arrecherà alla matematica; penso infatti che alcuni dei presenti e dei posteri, mediante questo metodo, possano trovare anche altri teoremi che a ma non sono ancora venuti in mente.
"
Una importante considerazione fatta da molti matematici (tra i quali citiamo Rufini e Frajese) è la seguente: l’idea di considerare le figure come composte da un numero infinito di elementi infinitamente sottili (già intuita anche da altri matematici greci come Democrito, per esempio) è una vera e propria anticipazione del calcolo integrale. Tale considerazione è suffragata dal fatto che coloro che prepararono la nascita del suddetto calcolo -come Keplero e
Cavalieri- abbiano usato, come vedremo nelle pagine seguenti, un procedimento assai simile.
L’importanza di tale anticipazione viene così espressa dal Rufini:4 " Perciò quelle espressioni si possono tradurre fedelmente con il simbolo leibniziano, dando a questo simbolo soltanto il significato di sommatoria e di integrale definito (senza attribuirgli alcun cenno al problema inverso delle derivate e delle tangenti e senza connettervi affatto l’idea della funzione primitiva). In questo senso Archimede possedeva il concetto di integrale; e potremo rappresentare la sua maniera di definire le aree e i volumi con gli integrali (riferendoci a coordinate ortogonali)

dove K rappresenta l’ordinata corrispondente ad un certo valore x dell’ascissa, A la superficie della sezione determinata nel solido da un piano condotto per un punto di ascissa x; a, b, essendo gli estremi di integrazione.
Questo concetto adombrato nei predecessori (Democrito, Eudosso) appare in Archimede chiaro e distinto, e mentre prima era rimasto pressoché inefficace, diventa per lui uno strumento potente di ricerca.
".

Sempre Rufini rileva come, per quanto riguarda il "momento statico" di una figura piana o di un solido rispetto ad un punto, Archimede ne faccia un uso ricorrente nei suoi ragionamenti, pur non assegnando un nome a questo prodotto nè introducendolo in modo esplicito. Così Rufini conclude la sua osservazione: "inoltre egli [Archimede] presuppone che il momento di una figura rispetto ad un punto è uguale alla somma dei momenti dei suoi elementi, proposizione che noi esprimiamo affermando che il momento di una figura rispetto ad un punto è data da:

dove dV e dS rappresentano rispettivamente l’elemento di volume o dell’area della figura considerata e la sua distanza dal punto. Questo concetto ricorre anche nella quadratura della parabola; ma è nel Metodo che ne fa una continua e felice applicazione, anticipando l’uso che del medesimo concetto si fece nelle ricerche infinitesimali del secolo XVII, da Guldino, da Pascal e in modo speciale da Torricelli".
Il Metodo ha quindi un’importanza particolare, rivelandoci un aspetto del pensiero di Archimede che non è dato riscontrare altrove. Tutti gli altri suoi trattati sono gemme di precisione logica; nel Metodo, invece, Archimede rende pubblica una descrizione delle indagini meccaniche preliminari che lo hanno portato a fare la maggior parte delle sue scoperte matematiche (anche se riteneva che questo "metodo" mancasse di rigore, perchè basato sull’assunzione che un’area, per esempio, equivalesse alla somma di infiniti segmenti).

Rufini attribuisce ad Archimede l’anticipazione, oltre all’idea che ha dato origine al calcolo integrale, anche della sua effettiva definizione. Infatti, nell’Analisi moderna, l’integrale è un’estensione intuitiva dell’idea di somma di infiniti addendi "continui" che Archimede rese rigorosa tramite l’applicazione del metodo di esaustione, introducendo il concetto di figure inscritte e circoscritte ad una figura data e anticipando così la concezione rigorosa di integrale come elemento di separazione di una coppia di classi contigue di numeri reali. Partendo appunto da tale metodo, si sviluppò nel XVII secolo il calcolo integrale per funzioni dotate di certe proprietà, per poi successivamente allargarsi a classi di funzioni più generali.