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EUCLIDE


Euclide scrisse le tredici parti (che chiamò libri, e che oggi diremo capitoli) degli Elementi circa trecento anni prima di Cristo. Questo libro è da annoverare tra i più notevoli della letteratura di tutti i tempi, e, fino al secolo scorso, dopo la Bibbia, il libro più riprodotto che esista nel patrimonio della cultura occidentale. Inoltre, è la più antica opera di Matematica razionale giunta integralmente fino a noi.
Che la Matematica greca abbia potuto esprimere una tale opera trecento anni prima di Cristo, ci mostra che il pensiero matematico a quell’epoca si era sviluppato in modo notevole. Euclide rappresenta il punto di arrivo di tutta una ricerca matematica che era fiorita almeno nei tre secoli precedenti. Personaggi come Talete e Pitagora non hanno lasciato dietro di sè alcuno scritto, mentre in questo periodo, pochi secoli più tardi, si trovano vari documenti del genere, a testimoniare il grande cambiamento intervenuto dagli inizi nella Matematica greca. L ’opera di Euclide costituiva una cosa talmente nuova, talmente vasta, definitiva e inattaccabile da suscitare grandissima sensazione ed, al tempo stesso, da far apparire come inutili le opere dello stesso tipo che erano state scritte prima di questa.
Euclide unificò nel suo libro l’opera di molte scuole, ma anche quella di individui isolati: la sua esposizione costituisce la sintesi della storia della Matematica di un’epoca, raccogliendo il frutto del movimento di revisione dei fondamenti della Geometria ma soprattutto (secondo la via tracciata dalla logica di Aristotele) costruisce la scienza secondo una rigida sistematicità, partendo dalle basi, in modo che una verità derivi necessariamente da un’altra. La sintesi è creata per via puramente deduttiva, mediante un graduale ed ordinato sovrapporsi delle conoscenze matematiche. Secondo Kline: Nessun’altra creazione umana ha dimostrato, più delle centinaia di dimostrazioni di Euclide, in quale misura la conoscenza umana possa derivare dal solo ragionamento; la deduzione di numerosi e profondi risultati insegnò ai greci e alle civiltà successive il potere della ragione. I successori di Euclide appresero come debba procedere un ragionamento perfetto, in che modo si possa distinguere un ragionamento esatto da vaghe declamazioni. E con lo sviluppo della bella struttura e dell’eleganza del ragionamento la matematica fu trasformata dai greci da strumento per il progresso di altre attività in una vera e propria arte. I greci insistettero sulla tesi che le conclusioni matematiche debbano essere stabilite solo col ragionamento deduttivo.
Anche se il parlare di questa opera geniale esula dalla nostra trattazione, ci basta ricordare che per Euclide il concetto di Eudosso era fondamentale: lo vediamo infatti applicato negli Elementi, nella dimostrazione che i cerchi stanno tra loro come i rispettivi diametri per provare che i volumi di due piramidi triangolari di uguale altezza stanno tra loro nello stesso rapporto dell’area delle basi.

Lo spazio geometrico può essere visto come risultato di parti semplici e indivisibili, e si tramuta in un modello indefinito di entità attuali, Whithead1 vede in esso il modello ideale della pura potenzialità, indicando per contrapposizione nell’atomismo il prototipo dell’attualità. Il tentativo di fondare il primo sul secondo, cioè il continuo sulla presunta attualità di componenti puntuali, non si rivelò realizzabile se non con l’esplicito richiamo ad una trascendenza o, per lo meno, ad una libera creazione di entità irraggiungibili con i mezzi della pura razionalità.


Comunque, benché i greci fossero entrati in possesso di un metodo infinitesimale rigorosamente logico, non venne loro in mente di generalizzarlo. Impiegarono al contrario la dimostrazione per esaustione in ciascun caso isolatamente, come appunto negli Elementi, e continuarono a cercare le quadrature e la cubature coi metodi che a loro sembravano più confacenti allo spirito della vera Geometria.
Negli Elementi troviamo quelle caratteristiche di chiusura e finitezza dominanti nel pensiero greco. Per esempio, la linea retta non è mai considerata nella sua interezza, e un segmento di linea "può" essere esteso nelle due direzioni. In tal senso Euclide pensa alla retta non come attualmente illimitata, ma come potenzialmente illimitata nel senso che, a qualsiasi insieme infinito dato (cioè il segmento), si possono aggiungere altri elementi (cioè altri segmenti).