5 ARISTOTELE E LA DISCUSSIONE SULL'INFINITO


Abbiamo visto come l'introduzione dell'infinito nei ragionamenti matematici presentava delle gravi difficoltà e, proprio su queste difficoltà, gli argomenti di Zenone avevano contribuito a richiamare l'attenzione di matematici e filosofi.
In questo dibattito intervenne soprattutto Aristotele (384-322 a.C.), il quale sostenne con decisione la continuità delle grandezze geometriche insieme alla loro divisibilità infinita.
Particolarmente interessanti sono alcune osservazioni che si trovano nel libro III della Fisica. Va ricordata innanzi tutto la distinzione che egli fa tra infinito in atto e infinito in potenza, intendendo per infinito in atto l'infinito che è e, per infinito in potenza, quello che potrebbe essere ma non è (escludendo poi che una grandezza possa essere contemporaneamente infinita in atto e in potenza).
Consideriamo ad esempio la successione dei numeri naturali o reali o l'insieme dei punti di una retta. Sono insiemi infiniti perchè, fissato comunque un elemento, è sempre possibile trovarne uno maggiore o che segue l'elemento dato. La definizione di infinito potenziale per una successione di elementi è proprio questa: la possibilità di procedere sempre oltre, senza che ci sia un elemento ultimo. Però, considerando l'insieme dei numeri reali o l'insieme dei punti di una retta, in essi -dato un elemento- non ha senso parlare di elemento immediatamente successivo. Tra un punto e un altro che lo segue ci sono sempre infiniti punti; passando da un punto a uno seguente, si ha, una collezione di infiniti punti dati tutti insieme, cioè un infinito in atto e non solo in potenza, un'infinità compiuta e non solo non completabile, esaurita e non soltanto inesauribile.
Un segmento continuo è quindi divisibile in un numero grande quanto si vuole di parti, per esempio con un processo di successive divisioni che non ha termine, ed è quindi infinito nel senso potenziale. Può però anche essere concepito come infinito in atto, cioè come collezione infinita compiutamente data di tutti i suoi punti
Per potenza, secondo Aristotele, si intende la possibilità da parte dell'infinito di assumere una determinata forma; per atto si intende invece la realizzazione di tale capacità. L'atto possiede una priorità rispetto alla potenza in quanto costituisce la causa, il senso ed il fine della potenza.
Aristotele introdusse poi un'altra definizione di infinito: "infinito, in generale, si dice ciò di cui si può sempre prendere qualche cosa, e quel che si prende, oltre che finito, è sempre diverso ".1
Quindi, l'infinito per Aristotele deve essere considerato come un qualcosa che è sempre in via di nascere o di perire, di crescere o diminuire continuamente e che, mantenendosi in ogni suo stato finito, è sempre diverso nei successivi stati. Cioè per Aristotele l'infinito è solo potenziale. Nega l'esistenza di un infinito attuale fisico, così come nega un infinito attuale mentale.

Cerchiamo allora di capire le motivazioni che hanno condotto Aristotele alla scelta dell'infinito in potenza.
Il termine usato per designare l'infinito era , che letteralmente significa senza limiti e quindi illimitato. La difficoltà inerente all'infinito consiste perciò nella sua inesauribilità: ciò che è infinito non può mai essere presente nella sua totalità nel nostro pensiero. L'illimitato non può dunque in nessun caso essere riguardato come un tutto completo: ciò che è completo ha una fine e la fine è un elemento limitante. All'infinito, secondo Aristotele, resta perciò indissolubilmente associata un'idea negativa, espressione della sua incompletezza e potenzialità non attuata e non attuabile ed è proprio questa idea negativa che porta al rifiuto di introdurre l'infinito attuale nella Matematica greca o, almeno, nella visione della maggior parte degli studiosi di questo periodo.
Nel caso particolare delle grandezze geometriche, Aristotele osservò che una grandezza può essere infinita per divisione (o sottrazione) cioè in quanto è divisibile all'infinito, e per addizione poiché può immaginarsi come formata da un numero infinito di altre grandezze (come le serie infinite).
Questa visione è un'accettazione dell'idea di infinito in potenza. Aristotele non accetta l'infinito attuale anche se, in campo prettamente filosofico, sembra quasi costretto ad ammetterlo. D'altra parte nessuno, al suo tempo, avrebbe osato riconoscere come logicamente rigorosa una dimostrazione imperniata sull'infinito. Da qui, la necessità per i geometri greci di possedere un metodo di ragionamento da poter utilizzare nelle questioni relative alle aree e ai volumi e che evitasse, o per lo meno mascherasse, l'uso dell'infinito.

Antifonte, nei suoi tentativi di quadratura del cerchio, sosteneva che fosse possibile inscrivere nel cerchio un poligono con numero di lati molto grande, in modo che i suoi lati siano così piccoli da poter essere considerati archi, se pur minimi, della circonferenza. Tali argomentazioni non ottennero molto credito e si preferì attenersi all'unico significato consentito dal termine : quello potenziale. Anche Aristotele sostenne la completa infondatezza del ragionamento di Antifonte. L'insieme dei poligoni inscritti nella circonferenza è evidentemente un insieme illimitato nel senso che, per ogni poligono con un numero arbitrariamente grande di lati molto piccoli, esiste un poligono successivo con lati ancora più piccoli, che a sua volta non coinciderà con la circonferenza ma ammetterà dopo di sè un ulteriore poligono: chiarissima esemplificazione dell'enunciato aristotelico che descrive l'infinito come qualcosa al di là del quale si trova sempre qualcos'altro. Quindi l'insieme dei poligoni non può comprendere un termine conclusivo che coincida con la circonferenza. Se ciò avvenisse, si ammetterebbe implicitamente l'esistenza attuale dell'infinità dei poligoni. Ciò è assurdo, poichè l' sarebbe in tal caso un infinito attuale e il suo intrinseco significato legato alla privazione e alla potenzialità risulterebbe compromesso.
In realtà -sosteneva Aristotele- i matematici non hanno alcun bisogno di introdurre grandezze attualmente infinite nelle loro dimostrazioni. Nell'esempio descritto è sufficiente ammettere che è possibile, dato un qualsiasi poligono inscritto, trovarne un altro con i lati più piccoli ovvero che è possibile ridurre l'area residua tra poligono e cerchio a una grandezza arbitrariamente piccola senza introdurre un insieme attualmente infinito di poligoni.

Richard Dedekind

Che il riconoscimento dell'inesauribilità dell'infinito non compromettesse i risultati di molte dimostrazioni matematiche era, in realtà, un fatto riconosciuto da quando Eudosso introdusse il metodo di esaustione e fu in realtà esaurientemente provato alla fine del secolo scorso da Weierstrass nell'ambito di una riformulazione rigorosa dei principi dell'Analisi. Solo con Richard Dedekind e Georg Cantor fu risolto il problema dell'infinito in atto, del continuo e fu dimostrato non solo che l'infinito poteva essere inteso nel senso potenziale, ma anche in senso attuale.

Il punto di vista aristotelico rimase sempre rispettato nei procedimenti geometrici di Eudosso, Euclide ed Archimede. Il metodo di esaustione, infatti, fa appunto uso dell'infinito nell'unico modo previsto da Aristotele. Ma un esame approfondito dei metodi utilizzati dai greci consente l'apertura ad una diversa concezione dell'infinito.

Se consideriamo, ad esempio, la successione dei poligoni inscritti nel cerchio, notiamo che essa è orientata, pur nell'illimitatezza, verso un fine rappresentato dal cerchio, che può considerarsi come la causa finale irraggiungibile. Il cerchio è un limite che comprende la successione illimitata dei poligoni, pur non costituendone un termine effettivo; costituisce comunque una soluzione all'indefinita potenzialità di sviluppo della successione, pur sviluppandosi al di fuori di quest'ultima. Ciò significa che è possibile configurarsi concretamente la soluzione finale di un processo illimitato, pur non rinunciando al carattere potenziale di quest'ultimo. L'inesauribilità dell'illimitato resta un fatto irrinunciabile, ma non costringe per questo ad accontentarsi di una semplice approssimazione di ciò che si vuole raggiungere. Pur non uscendo mai dal finito ed essendo anzi di quest'ultimo nient'altro che un'incessante ripetizione, l'illimitato può indicare qualcosa che lo trascenda, prospettare questa trascendenza come segno caratteristico di una completezza attuale e infinita e di conseguenza rifletterne per analogia la natura2. Per esempio, la somma delle serie geometriche utilizzate dai greci costituisce un limite concretizzabile in un ente matematico ben definito che non appartiene alla successione indefinita delle somme parziali che comunque tendono ad esso. Viene raggiunto rinunciando all'analisi indefinita della successione che lo precede, ponendosi in un punto di riferimento esterno.
Nella Geometria di Eudosso e Archimede, si vede qualcosa di simile alla soluzione finale di un processo illimitato, ma resta intatta l'opinione che ciò che si vuole rappresentare è destinato ad un'irriducibile impenetrabilità. Per questo i greci designarono questa impenetrabilità con l'assurdo.

Aristotele interviene anche nella discussione sui paradossi di Zenone: "quattro sono i ragionamenti di Zenone ( ) i quali mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli. Il primo intende provare l'inesistenza del movimento per il fatto che l'oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale: ma questo ragionamento noi l'abbiamo demolito nei discorsi precedenti. Il secondo è il cosiddetto Achille: questo intende provare che il più lento correndo non sarà mai sorpassato dal più veloce: infatti, necessariamente, l'inseguitore dovrebbe giungere prima là dove il fuggitivo è balzato in avanti; sicchè necessariamente il più lento conserva una certa precedenza. Questo ragionamento è appunto quello della dicotomia, ma ne differisce per il fatto che non divide in due anche la grandezza successivamente assunta ( .) Ma in realtà è falso ritenere che ciò che precede non venga raggiunto: infatti, solo fin quando precede, non viene raggiunto; ma tuttavia esso viene raggiunto, purchè si ammetta che viene percorsa una distanza finita." 3
Secondo Aristotele, nella realtà esiste solo il finito, mentre l'infinito è semplicemente la possibilità mentale di aumentare indefinitamente o diminuire indefinitamente una qualsiasi quantità data. Ma se nella realtà esistono solo distanze finite, il movimento raggiungerà la sua meta perchè si compirà in un tempo finito. Infatti è vero che il tratto finito AB può essere indefinitamente scomposto, però tale progressione infinita non può mai superare la quantità finita data AB.
La realtà dei fatti vuole che chi viaggi ad una velocità costante percorra l'unità di lunghezza in un tempo finito T; la successione di intervalli di spazio viene allora percorsa in una successione di intervalli di tempo ½ T + ¼ T + 1/8 T+.. che è ancora infinita, ma il tempo totale di percorrenza non può superare T (infatti anche la somma delle quantità precedenti da 1T).
E' però particolarmente interessante, come emerge nelle obiezioni di Aristotele a Zenone, la distinzione tra infinito per addizione ed infinito per divisione4 . Dividendo per dicotomia l'unità di lunghezza in infiniti intervalli, l'infinità può in qualche modo considerarsi esauribile entro un intervallo limitato di tempo. L'infinità di sottointervalli, in cui è divisibile l'unità, è interamente contenuta in una totalità limitata che può costituire l'oggetto di un'intuizione empirica. Così, una materia assegnata entro i limiti di un corpo finito è visibile e tangibile nella sua interezza, pur implicando l'impossibilità di un'analisi esauriente di tutte le sue componenti.
Ora, poichè l'ipotesi della divisibilità all'infinito è logicamente e matematicamente legittima, la difficoltà dell'argomento risiede proprio nel dover ammettere una sfasatura tra piano logico-matematico e piano fisico-reale. Per questo motivo, alcuni matematici -a partire da Bertrand Russel5 - tendono piuttosto ad esaltare Zenone per aver individuato una difficoltà autentica del pensiero umano. In particolare, si celebra Zenone per aver ammesso la possibilità della divisione all'infinito e quindi per aver posto il concetto che sta alla base del calcolo infinitesimale che, tra l'altro, offre validi strumenti di soluzione all'argomento di Achille (stavolta su base matematica avanzata, diversa da quella aristotelica e tradizionale). Tuttavia, secondo alcuni studiosi, sul piano logico-filosofico, i primi due argomenti, se si ammette l'infinita divisibilità dello spazio, rimarrebbero ancora inconfutati e inconfutabili.