INDICE

 

 

 

 

4 LA DIMOSTRAZIONE DELLA PROPORZIONALITA' TRA L'AREA DEL CERCHIO E IL QUADRATO DEL DIAMETRO


Riportiamo qui la dimostrazione della proposizione 2 del libro XII degli Elementi di Euclide data da Eudosso, come esempio di utilizzo del metodo di esaustione..

Proposizione 2: le aree dei cerchi stanno le une alle altre come i quadrati dei rispettivi diametri.

PRIMA PARTE:

Data una circonferenza è sempre possibile inscrivere in essa un poligono con un numero sufficientemente grande di lati, tale che la differenza tra il cerchio ed il poligono sia minore di un'altra superficie qualunque, piccola a piacere.
Infatti, considerato un arco qualunque di cerchio sotteso dalla corda AB, per il punto medio C dell'arco si tracci la tangente e si proiettino in D ed E i punti A e B.

La figura ABED è un rettangolo di area maggiore di quella del segmento di cerchio ACB; l'area della sua metà, cioè del triangolo ACB, è maggiore di quella della metà del segmento stesso. Detto ciò, un quadrato inscritto nel cerchio ha un'area maggiore dell'area del cerchio stesso; quindi l'area R1,che è la differenza tra le aree del cerchio e del quadrato, è minore della metà del cerchio.
Dimezzando gli archi delimitati dai lati del quadrato inscritto si costruisca l'ottagono. La somma delle aree dei triangoli formati da due lati dell'ottagono e da un lato del quadrato è maggiore della metà della somma delle aree dei segmenti circolari circoscritti ai triangoli stessi.
Quindi sottraendo dal cerchio l'area dell'ottagono si ottiene una differenza :

R2<R1/2

Proseguendo la costruzione dei poligoni regolari inscritti nel cerchio si troverà un poligono che sottratto dal cerchio lascerà come differenza un'area più piccola di un'area qualunque precedentemente ottenuta (ad es. R1, R2,ecc…).


SECONDA PARTE:

Siano ora X ed X' le aree dei due cerchi, d e d' i loro diametri. Allora, se non è:

d2 : d'2 = X : X', sarà:
d2 : d'2 = X : S

dove S è un'area maggiore o minore di X'. S> X' oppure S<X'
Si suppone S < X' e si inscriva in X' un poligono T', la cui differenza dal cerchio sia minore della differenza tra il cerchio stesso ed S; cioè tale che :

S < (poligono inscritto) < X'
ovvero: S < T' < X'


Si inscriva quindi in X un poligono simile a quello inscritto in X', chiamandolo T. Allora:

d2 : d'2 = (poligono in X) : (poligono in X')

ovvero: d2 : d'2 = T : T'

X : S = (poligono in X) : (poligono in X')

ovvero: X : S = T : T'


e permutando i medi: (poligono in X) : X = (poligono in X') : S

ovvero: T : X = T' : S

Ma (poligono in X) < X , in quanto esso è inscritto nel cerchio, quindi anche (poligono in X') < S.
Ma questo è assurdo perché per costruzione è (poligono in X') > S.
Quindi è impossibile che S < X'

TERZA PARTE:

Si supponga allora S > X' . Vale anche che: d2 : d'2 = X : S . Se T è un'area di un poligono inscritto in X, tale che :

S : X = X' : T


sarà anche:

d2 : d'2 = T : X'

Essendo nella precedente S > X' si dovrebbe anche avere X > T. Ma ciò è impossibile, come si può dimostrare in maniera analoga a quella adoperata nel primo caso.
Quindi è impossibile che S > X'.
Dunque deve essere S = X', e quindi:

d2 : d'2 = X : X'.

Notiamo che, utilizzando l'indefinita riducibilità dell'area compresa tra il cerchio e i successivi poligoni inscritti (in apparente conformità col metodo di Antifonte), si deduce S = X' per il solo fatto che la differenza tra S ed X' risulta più grande dell'area compresa tra X' e un poligono inscritto con un sufficiente numero di lati. Se non fosse possibile trovare un tale poligono il postulato di Eudosso-Archimede sarebbe falso e bisognerebbe dedurre che la proporzione ipotizzata per assurdo è vera solo al patto che S differisca da X' per un infinitesimo1 attuale. Concetto quest'ultimo non "dominabile" dai matematici greci. Tuttavia nel corso della dimostrazione l'infinitesimo non è mai nominato e neppure la proporzionalità tra i cerchi e i quadrati costruiti sui diametri è indicata in modo esplicito come il limite di un processo illimitato di configurazioni intermedie applicate a poligoni.La dimostrazione è ugualmente rigorosa, proprio perchè, utilizzando il metodo di dimostrazione indiretto, evita un esplicito processo di passaggio al limite.
Questo metodo, però, come tutti i ragionamenti per assurdo, ha il torto di convincere ma non di illuminare. Inoltre, richiede che il risultato, al quale si vuole pervenire, sia già conosciuto e manca di quella agilità e di quella possibilità di larghissime applicazioni che sono il vanto dei procedimenti infinitesimali di cui dispone oggi l'Analisi. Nonostante ciò, l'uso di questo metodo condusse i geometri greci, e specialmente Archimede, a risultati notevolissimi e rese possibile la dimostrazione rigorosa di fatti acquisiti per via non geometrica.