INDICE

 

 

 

3 EUDOSSO

Abbiamo visto finora come i matematici greci utilizzavano ragionamenti simili a quelli infinitesimali, ma non rigorosi, per risolvere le questioni non risolubili in termini finiti. Successivamente, però, si giunse ad una sistematizzazione più rigorosa dei procedimenti infinitesimali, conosciuta come metodo di esaustione.

Si ritiene che tale metodo sia dovuto ad Eudosso di Cnido (nato circa nel 408 a.C. e morto circa nel 355 a.C.). Eudosso fu il più importante matematico dell'Accademia Platonica e la tradizione storica lo presenta come il più abile matematico dell'era ellenica.
Egli, con questo metodo, diede un importantissimo contributo alla Matematica. Infatti, il metodo di esaustione si dimostrò fondamentale per risolvere sia il problema del confronto delle superfici di figure a contorni curvilinei e rettilinei sia il problema della quadratura del cerchio, cioè la ricerca di un quadrato di area uguale a quella del cerchio (considerando i poligoni inscritti nel cerchio di due, quattro, otto, …… lati e pensando che la superficie del cerchio venisse così ad "esaurirsi" in quanto era possibile inscrivere in essa un poligono i cui lati, per la loro piccolezza, avrebbero dovuto coincidere complessivamente con la frontiera del cerchio).
Questo ragionamento -che come abbiamo visto si deve anche a matematici greci precedenti- si dimostrò apprezzabile ma non fu conclusovo in quanto mancavano strumenti più potenti (quali la conoscenza del concetto di limite). Infatti, pur utilizzando grandezze infinitamente piccole -per esempio riempiendo sempre più la figura curvilinea con grandezze rettilinee e sommando infine queste grandezze rettilinee- si otteneva una somma di infiniti addendi. Una somma di questo genere avrebbe dato come risultato una grandezza infinita, pur essendo gli addendi piccolissimi? Ma il risultato ottenuto da Ippocrate, con le sue lunule, non dimostrava la possibilità di una quadratura razionale? E, allora, era possibile trovare un numero razionale che esprimesse la superficie del cerchio?

Euclide

Gli storici ritengono che ad Eudosso debba essere riconosciuto il merito di aver affrontato con successo tale questione, introducendo un concetto simile a quello che noi chiamiamo piccolo a piacere e istituendo con rigore logico una sorta di passaggio al limite.
Con il termine esaustione, che fu introdotto nel 1647 da Gregorio De Saint Vincent (è quindi stato coniato in tempi moderni, ma è diventato così comune nella storia della Matematica che continueremo ad usarlo anche qui), si identifica un metodo che consente di dimostrare l'uguaglianza di due aree o di due volumi, senza far ricorso esplicitamente all'infinito, nel caso in cui tale dimostrazione non può essere espletata con la divisione delle due figure in un numero finito di parti a due a due uguali.


L'essenza del metodo di esaustione è nota e fu ampiamente illustrata anche da Archimede. Per dimostrare, ad esempio, che una data figura ha un'area S, si procede per assurdo, supponendo che tale area abbia invece un valore minore o maggiore di S. Considerando poi una serie di figure inscritte nella data (ad esempio poligoni regolari di numero crescente di lati inscritti in un cerchio), si prova che l'una o l'altra ipotesi (area maggiore o minore di S) conducono entrambe a qualche conseguenza assurda e così si conclude che l'area è veramente S.1
Secondo Archimede, fu Eudosso a fornire il lemma che oggi porta il nome di Archimede che serviva proprio come base del metodo. Archimede attribuiva infatti ad Eudosso la prima dimostrazione soddisfacente del fatto che il volume del cono è uguale ad un terzo del volume del cilindro avente stessa base e stessa altezza, affermazione che sembrerebbe appunto indicare che il metodo di esaustione sia stato inventato da Eudosso.
Sulla natura delle dimostrazioni eudossiane, Archimede scrive nel trattato sulla "Quadratura della parabola": dimostrò infatti che ogni segmento compreso fra una retta e una sezione di cono rettangolo [parabola] è uguale ai quattro terzi del triangolo che ha la stessa base e l'altezza uguale a quella del segmento, assumendo per la dimostrazione il lemma seguente: 'date due superfici diseguali, la differenza di cui la maggiore supera la minore è tale che aggiunta ripetutamente a se stessa può superare qualunque superficie preassegnata'. Di questo lemma si sono serviti anche i geometri precedenti. Infatti che i circoli sono tra loro in ragione duplicata dei loro diametri hanno dimostrato servendosi di questo lemma, e che le sfere sono tra di loro in ragione triplicata dei diametri; e, inoltre, che ogni piramide è la terza parte del prisma avente la stessa base della piramide e altezza uguale, e che ogni cono è la terza parte del cilindro avente la stessa base del cono e altezza uguale, lo provavano mediante un lemma simile a quello citato."2 Un'analoga affermazione era contenuta implicitamente negli argomenti di Zenone, ma trovò la sua definitiva sistemazione nella teoria eudossiana.
Il lemma dunque afferma che, date due grandezze nessuna delle quali nulla, è sempre possibile trovare un multiplo dell'una che superi l'altra. Partendo da questo lemma, detto oggi assioma di Eudosso-Archimede, è possibile dimostrare (per assurdo) la seguente proposizione, che troviamo enunciata nel X libro degli Elementi di Euclide: (proposizione 1) "date due grandezze diseguali, se dalla maggiore si sottrae una grandezza maggiore della sua metà, e da ciò che resta una grandezza più grande della sua metà, e se questa operazione si ripete continuamente, alla fine rimarrà una grandezza inferiore alla grandezza minore precedentemente assegnata."
Secondo Eudosso, quindi, possiamo inoltrarci quanto vogliamo nelle quantità piccole a piacere
Euclide osserva che tale ragionamento vale "anche se le parti sottratte siano la metà" .
Siano infatti AB e C3 le grandezze di cui AB > C . Si divida AB successivamente per metà e sia:

Si considerino poi corrispondentemente dei multipli di C , per esempio:


Prendendo n sufficientemente grande in modo che risulti: 2nC>AB (e ciò è sempre possibile "poiché C se viene moltiplicato può diventare maggiore di AB"), si deduce che :

E' evidente poi che tale conclusione vale scegliendo un n sufficientemente grande anche quando C è piccolissima. Per n tendente all'infinito si ha:

Questo corrisponde al fatto già messo in evidenza nei paradossi di Zenone, che nella divisione delle grandezze si può procedere tanto oltre da ottenere grandezze infinitamente piccole.

Pitagora e Euclide in una miniatura del XIV secolo

I greci fecero molto uso di questa proprietà per dimostrare teoremi concernenti le aree e i volumi di figure curvilinee.
Il metodo di esaustione è sostanzialmente il metodo delle classi contigue ancora oggi usato per il calcolo di lunghezze, aree e volumi. Il suo punto centrale -come abbiamo visto consiste nel dimostrare che due grandezze devono essere uguali perché è assurdo che la loro differenza sia diversa da zero.

La prova di tale assurdità si ottiene dal confronto tra classi di altre figure misurabili che racchiudono le due date con differenze via via minori: concezione che implica solo l'infinito potenziale, vale a dire l'illimitata proseguibilità delle classi di figure considerate.
Il metodo delle classi contigue (ancor a oggi usato per determinare, per esempio, l'area del cerchio)è il seguente: si considerano l'insieme dei poligoni regolari F contenuti nel cerchio e l'insieme G dei poligoni regolari contenenti il cerchio. Si indicano con U e V le due classi di numeri reali così formate: nella classe U tutti i numeri reali che sono aree dei poligoni di F e nella classe V quelli che sono aree dei poligono di G. Le due classi sono contigue infatti:

  1. ogni numero di U è minore di ogni numero di V

  2. in corrispondenza ad un numero reale ε >0 arbitrariamente piccolo, è possibile trovare almeno un numero di U e uno di V tali da aversi: v – u < ε.

Esiste allora un unico elemento separatore di tali classi e assumiamo per definizione tale numero come area del cerchio.

Il metodo utilizzato da Eudosso è il principio su cui si basa anche il metodo moderno. L'intento di Eudosso era quello di evitare l'infinito attuale, suddividendo una figura in un'infinità di grandezze infinitamente piccole.
Secondo Geymonat:4 "Eudosso aveva senza dubbio timore, non meno che i suoi contemporanei, delle antinomie connesse alla nozione intuitiva di ‘infinito'; egli ritenne tuttavia (e non a torto) di poterle evitere introducendo, non già l'esplicito termine ‘infinito' (così ricco di suggestioni nel linguaggio comune !), ma alcuni precisi operatori infiniti, validi soltanto in ambito matematico ben circoscritto. La vera innovazione di Eudosso sta essenzialmente quì: non nell'evitare l'appello all'infinito – il che sarebbe logicamente impossibile – ma nel restringerne l'uso, cioè nel circoscriverlo entro un linguaggio speciale regolato da precise leggi operative. Ristretta in questo ambito, liberata dalle pericolose implicanze che essa possiede nel linguaggio comune, la nozione di infinito può e deve essere usata. Essa è anzi l'idea fondamentale della scienza matematica".
Il metodo di cui si serve è artificioso ma logicamente impeccabile e sarà seguito da tutti i più grandi geometri fino alla scoperta del calcolo infinitesimale moderno. Come già scrisse Enriques: " Eudosso insegna ad eliminare sistematicamente il ricorso all'infinito col cosiddetto metodo di esaustione, dove si conclude per assurdo l'uguaglianza di due aree o volumi dimostrando che, se esiste una differenza, questa dovrebbe essere più piccola di qualsiasi grandezza assegnabile. C'è, come si vede, lo spirito della moderna teoria dei limiti."5 Infatti considerando per esempio il problema della quadratura del cerchio, ciascun valore delle aree dei poligoni inscritti di quattro, otto, sedici,…lati rappresenta un valore approssimato per difetto dell'area del cerchio e il difetto diventa tanto più piccolo quanto più si aumenta il numero dei lati del poligono stesso. Il lemma assicura la convergenza, cioè la possibilità di ottenere un valore reale. In tal modo, il sofisma di Antifonte viene corretto da un'argomentazione rigorosa. Si hanno così le condizioni per concludere che il limite della serie stessa, quando il numero dei lati diviene infinitamente grande, è il cerchio stesso, anche se manca ancora il vero e proprio passaggio al limite. Il metodo di esaustione non è un metodo approssimato, ma un metodo rigoroso; non vi è in esso un esplicito processo di passaggio al limite, proprio perchè si basa sul metodo di dimostrazione indiretto proprio per evitare l'uso di un limite.
Per una migliore comprensione di questo metodo consideriamo nel capitolo seguente un esempio in tutti i dettagli.