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SVILUPPI DELL'ANALISI CLASSICA


H.Léon Lebesgue

Tra i grandi rami della Matematica fu soprattutto l'Analisi a conseguire nel XIX secolo alcuni fondamentali progressi tecnici. Questi ebbero un'importanza enorme e riuscirono a fare della disciplina in esame un edificio grandioso ed armonico, giudicato dai contemporanei pressochè perfetto. Quando si parla di Analisi classica ci si vuol riferire proprio ad esso e si intende sottolineare, con l'aggettivo classica che tale edificio rappresenta una fase ben più matura e scientificamente valida di quella in un certo senso fantasiosa e turbolenta dei secoli precedenti.

Nel corso del XIX secolo, l'Analisi che era apparsa, in passato, uno strumento utile per lo studio dei fenomeni della Fisica e della Geometria, sotto la spinta di nuove esigenze (Fourier, Dirichlet) mostra i primi segni di quel processo di evoluzione che la conduce poi alla sua attuale configurazione. Tra i moventi di tale evoluzione ci fu senza dubbio l'esigenza di rigore, al quale contribuirono in modo fondamentale Cauchy ( 1789-1857) e Bolzano( 1781-1848), esigenza che si fece sentire ancora più viva nella seconda metà del XIX secolo.
Il trapasso dall'Analisi classica a quella cosiddetta moderna fu contrassegnato da due notevolissimi eventi: la creazione della Teoria degli insiemi e il graduale riconoscimento, da parte dei matematici, della funzione essenziale spettante alla Logica. In seguito alla svolta rigoristica della seconda metà dell'Ottocento, l'Analisi non si accontentò più di ricavare il significato dei propri concetti da intuizioni più o meno vaghe della Geometria o della Meccanica, ma cercò di determinarlo con la massima cura mediante precise definizioni esenti da ogni possibile equivoco. Fu proprio questo nuovo impianto che permise di realizzare una trattazione davvero soddisfacente dei principali capitoli in cui il vasto argomento si era venuto articolando.
Consideriamo a titolo d'esempio la teoria delle funzioni. Cauchy aveva dato un importante contributo all'ampliamento di questo tema con la creazione della teoria delle funzioni di variabile complessa. Ora, nella seconda metà dell'Ottocento, non si assiste solo allo sviluppo del nuovo capitolo ma anche ad una ripresa su basi completamente rinnovate della teoria delle funzioni di variabile reale che, trattata in forma rigoristica, rivela una fecondità imprevedibile. Allo studio di entrambe le teorie, contribuiscono tutti i maggiori analisti dell'epoca ed in particolare il tedesco Karl Weierstrass, che occupa, nella storia dell'Analisi durante la seconda metà del secolo, una posizione dominante (analoga a quella occupata da Cauchy nella prima metà). Per Weierstrass, il raggiungimento di un rigore "assoluto" era un obiettivo decisivo ed irrinunciabile, che sostanziava il programma di lavoro cui si era dedicato dall'inizio del suo insegnamento a Berlino
Nel giro di pochi decenni, lo studio dei nuovi tipi di funzioni costringerà ancora una volta i matematici a rivedere ed ampliare alcune nozioni come quelle di misura e di integrale. Questi argomenti rientrano in quella che chiamiamo analisi moderna. La moderna teoria dell'integrazione (secondo Lebesgue) ci offre uno degli esempi più manifesti di trapasso, senza discontinuità, dall'analisi ottocentesca a quella del XX secolo.
La tendenza alla generalità e all'astrazione è un'altra delle caratteristiche più spiccate del pensiero matematico moderno: una manifestazione notevole di tale tendenza si può riconoscere nell'evoluzione del concetto di spazio. Un problema che si presenta in modo naturale quando si prendono in considerazione gli spazi astratti, è quello di introdurre in tali insiemi una nozione di misura che estenda in modo conveniente la nozione classica, che, almeno per una classe ristretta di figure, ci era suggerita dalla Geometria elementare. Le ricerche condotte a questo proposito, a partire dall'inizio del XX secolo, attraverso fasi intermedie ( Peano, Borel, Lebesgue ), portarono alla definizione di misura negli spazi astratti.
L'evoluzione del concetto di misura è fondamentale nell'Analisi perchè si accompagna ad una analoga evoluzione del concetto di integrazione, rivolta a classi sempre più ampie di funzioni e adatta a rispondere ai problemi più riposti che via via si presentano in una analisi sempre più orientata verso l'astrazione.