INDICE

 

 

 

 

L'INTEGRALE

 

Vediamo ora quale è la definizione di integrale che viene data ancora oggi: Sia y=f(x)

una funzione reale di variabile reale x , definita in un intervallo [a,b].
Si divida l'intervallo [a,b] in un numero arbitrario n di parti, mediante i punti x0=a<x1<x2<.<x n=b e si indichi con ci un punto comunque scelto nell'intervallo [xi ,x i+1 ].
Si consideri la somma:

Se esiste un numero finito I tale che tutte le somme S ne differiscano tanto poco quanto si vuole (cioè per il quale, prefissato a piacere un ε>0 , esiste sempre un δ>0 tale che, comunque si suddivida [a,b] nelle parti [x i, x i+1] e comunque si scelgano i punti ci in queste, con la sola condizione che max(x i+1 -x i )δ< , risulta sempre | S-I |<ε allora si dice che la funzione y = f(x) è integrabile secondo Cauchy-Riemann nell'intervallo [a,b]. Il numero I è l'integrale definito della funzione f(x) nell'intervallo indicato. A. L. Cauchy, Résumé des lecons sur le calcul infinitésimal , Parigi 1823). Questo integrale che è dunque, quando esiste, il limite finito della somma S al tendere allo zero di tutte le differenze x i+1 -x i si indica con la scrittura:

Il vocabolo integrale fu usato per la prima volta da Jacques Bernoulli nel 1690; il segno , che è un modo particolare di scrivere la lettera S, iniziale di "somma", fu introdotto da Leibniz nel 1675 e la notazione fu proposta da G.B. Fourier nel 1822.
Non tutte le funzioni sono integrabili secondo la definizione data. Una condizione necessaria per l'integrabilità di f è la sua limitatezza in [a,b]. Una condizione sufficiente è la continuità. Sono integrabili anche le funzioni limitate e generalmente continue. Pertanto tutte le funzioni più semplici e tutte quelle che si presentano ordinariamente nelle applicazioni della Matematica risultano integrabili in ogni intervallo in cui sono limitate. Una condizione necessaria e sufficiente invece è che la sommadove wi rappresenta l'oscillazione di f in [xi,x i+1] , tenda a zero al tendere a zero di tutte le differenze xi+1-x i; in questa forma la condizione fu data da B. Riemann e viene appunto ricordata come condizione di integrabilità di Riemann.