INDICE

 

 

 

LA MATEMATICA GRECA

 

Nelle civiltà precedenti a quella greca -in base ai documenti a nostra disposizione- esistevano intuizioni di teorie matematiche, regole pratiche ed anche alcuni aspetti di astrazione e di generalizzazione ma non esiste nessuno scritto che indichi il vero e proprio sviluppo di una teoria razionale.
Secondo la testimonianza di Proclo (nel commento al primo libro degli Elementi di Euclide) fu Pitagora di Samo (580-504 a.C.) che cominciò a dare un assetto razionale ai principi ed una struttura logica alle conoscenze della Matematica e proprio nella sua scuola troviamo per la prima volta il termine matematica , (τα μαθηματικα da μαθημα insegnamento) inteso nel senso di scienza razionale.

Substrato della Geometria e delle figure geometriche era una materia estesa e divisibile, con la quale si identificava il concetto di spazio. La Matematica della scuola pitagorica è invece detta matematica del discontinuo. Si fonda infatti esclusivamente sui numeri interi e su ciò che può venire espresso con loro. Ricollegandosi alla tradizione ionica del problema della materia , i pitagorici avevano cercato di spiegarne la natura immaginando che la sostanza primitiva, origine di tutte le cose, si condensi intorno a dei centri monadici che per ogni specie di materia presenterebbero una certa configurazione caratteristica. In questo senso le cose sono "numeri", cioè gruppi di punti, o corpuscoli, aventi una certa estensione e disposti secondo un ordine geometrico.L’elemento primitivo delle figure geometriche era il punto geometrico che appariva ancora come un punto materiale, esteso ed indivisibile nello stesso tempo. Come tutte le cose erano date da somme di unità, così ogni figura geometrica era l’unione di punti.
Questa concezione filosofica pitagorica, secondo la quale tutta la realtà può essere descritta in termini matematici, anzi mediante i numeri naturali, venne formulata in modo suggestivo, ma sconcertante, nella espressione riferita da ARISTOTELE: i numeri sono gli elementi di tutte le cose. Secondo Carruccio1: "detta espressione, che sarebbe priva di senso qualora si riferisce al numero inteso nel significato moderno del termine, diventa chiara se si interpreta il numero pitagorico come aggregato di monadi disposte secondo un certo ordine geometrico, e tali monadi vengono pensate come corpuscoli dotati di dimensioni molto piccole ma non infinitesime o nulle. La concezione monadica pitagorica conduceva ad una spiegazione matematica dell’universo basata sulla teoria dei numeri naturali, ad una sintesi dell’aritmetica e della geometria. La teoria della misura diventava estremamente semplice: il rapporto di due segmenti costituiti rispettivamente da m e da n monadi risultava uguale al rapporto dei numeri interi m ed n. Tutti i segmenti risultavano così commensurabili".

Talete coia romana da originale greco. Ostia Antica Antiquarium

Un primo nucleo di proposizioni geometriche, razionalmente dedotte da pochi principi evidenti (secondo una attendibile ipotesi dello storico della Matematica ZEUTHEN) venne costituito nell’intento di dimostrare quello che poi fu detto teorema di Pitagora, di cui erano precedentemente conosciuti in oriente casi particolari e verifiche empiriche.
Ma l'ipotesi fondamentale del punto-monade urtò con la scoperta delle grandezze incommensurabili, avvenuta proprio all’interno della stessa scuola pitagorica, scoperta che minacciava di distruggere tutto l’edificio geometrico costruito fino ad allora.

A quanto sembra, i Pitagorici partirono dall’idea di misura per costruire la loro teoria geometrica, dando per la prima volta alla Geometria un ordine deduttivo, per salire dal possesso di casi particolari noti alla verità generale del cosiddetto "teorema di Pitagora". Proprio dal teorema di Pitagora, nel caso in cui ci si aspettava l’ordine massimo, scaturisce che il lato e la diagonale di un quadrato sono incommensurabili. Ma se un segmento potesse essere ottenuto dall’accostamento di una successione finita di punti, allora proprio il punto risulterebbe contenuto un numero intero e finito di volte sia nel lato che nella diagonale. Lato e diagonale avrebbero così un sottomultiplo comune e non sarebbero quindi incommensurabili. La loro incommensurabilità richiede quindi che essi siano costituiti da un numero infinito di punti.

La leggenda racconta che questo fatto fu gelosamente custodito per anni tra i segreti più pericolosi dalla scuola pitagorica, fino a quando fu riferito da Ippaso di Metaponto. Per questa rivelazione Ippaso fu cacciato dalla scuola e i pitagorici gli eressero una tomba come ad un morto. Uno scolio al X libro di Euclide attribuito a Proclo riporta questo passo: "è fama che colui il quale per primo rese di pubblico dominio la teoria degli irrazionali, sia perito in un naufragio, e ciò perché l’inesprimibile e l’inimmaginabile avrebbero dovuto rimanere sempre celati. Perciò il colpevole che fortuitamente toccò e rivelò quest’aspetto delle cose viventi, fu trasportato al suo luogo d’origine e là viene in perpetuo flagellato dalle onde".
L'aneddoto conferma come questa scoperta scuotesse le fondamenta della Matematica e della Filosofia e rappresentasse il sofferto incontro dei greci con i problemi dell’infinito matematico. La ferita verrà riaperta da Zenone di Elea che, con i suoi paradossi, evidenzierà altre difficoltà logiche connesse ai rapporti tra finito(aritmetico) ed infinito(geometrico). Al progresso delle conoscenze geometriche, infatti, si accompagna il progresso della critica: la veduta razionale del "punto" senza dimensioni (non più "punta acuminata" στιυμη, ma "segno" σημειον)e analogamente della linea senza larghezza e della superficie senza spessore, porta a due conseguenze importanti: da una parte, pone il problema filosofico della realtà di "enti puramente intelleggibili", che non possono cadere sotto i sensi; dall’altra, apre la via alla concezione dell’infinito e ai problemi che questa provoca.

Anassimandro frammento di un rilievo Roma, Museo Nazionale

Già Anassimandro di Mileto aveva introdotto il concetto di infinito ma il V° secolo -sia con la scuola pitagorica sia con la scuola eleatica- getta profondi sguardi nel regno dell’infinito. Ciò non toglie il senso di mistero e di inesprimibilità. Resta e si rafforza l’idea di qualcosa di inesprimibile (che non può, per il mondo greco, far parte della scienza razionale) ma i pitagorici stessi, con le loro considerazioni sulle successioni di numeri e la scoperta dei numeri irrazionali, si avvicinarono molto al regno dell’infinito.

L’alogon, l’inesprimibile, venne, ripudiato e respinto: si disse che ad ogni numero corrispondeva una grandezza (un segmento), ma non viceversa: ad ogni grandezza (segmento) non corrispondeva un particolare numero. Ma il numero irrazionale aveva fatto ormai la sua comparsa, anche se non si voleva riconoscergli pieno diritto di esistere tra le categorie del pensiero greco.
Illuminante proprio in questo periodo è l’intuizione a cui giunge Anassagora il quale formula questa acutissima proposizione: "Nel piccolo non vi è un estremamente piccolo, ma qualche cosa di sempre più piccolo (…) così pure nel grande vi è qualche cosa di sempre più grande".


Un primo tentativo di risolvere la crisi si deve a Parmenide, che respinse il concetto di punto-monade di cui si afferma e si nega l’estensione. La sua critica rivedeva i principi su cui l’edificio geometrico era fondato e tese a stabilire che gli enti geometrici non possono definirsi che per astrazione, con un procedimento indefinito di idealizzazione, come limiti del sensibile. Questa affermazione costituisce così il primo riconoscimento del carattere infinitesimale dei concetti della Geometria e può considerarsi, in un certo senso, come l’inizio dell’Analisi infinitesimale.
Un altro passo verso le concezioni e i procedimenti infinitesimali si ebbe sempre nella scuola di Elea, con la critica ai principi della Geometria. La critica eleatica diede il primo attacco alle difficoltà sollevate dall’uso dell’infinito. I paradossi di Zenone di Elea, fra i quali quello di Achille piè veloce che non può raggiungere la tartaruga, (paradossi che vanno considerati non già come semplici sofismi, ma come argomenti per la riduzione all’assurdo delle visioni che potevano apparire ingenue), condussero alla prima conquista nel campo dell’Analisi infinitesimale, cioè alla scoperta della somma della serie geometrica2. Secondo Enriques3: "Zenone di Elea, col suo argomento ‘l’Achille’ scoprì o dette occasione di scoprire la somma della progressione geometrica".
Questi paradossi volevano significare che non è la pluralità lo schema del mondo, ma la continuità. Si hanno infatti due ipotesi: o la grandezza è composta di unità distinte tra loro, indivisibili, o essa è un continuo le cui parti sono indistinte.
Nella prima ipotesi, dato che la grandezza è una somma di indivisibili e agli indivisibili non si può attribuire nessuna estensione perchè altrimenti sarebbero ulteriormente divisibili, si dovrà rispondere che la grandezza, essendo costituita da "un niente" di grandezza, sarà un niente essa stessa. Il che è assurdo. Alla seconda ipotesi, dato che la grandezza è un continuo costituito da parti infinitamente piccole, si dovrà rispondere che essa, risultando da infinite unità piccole quanto si voglia, sarà anche infinitamente grande. Ed è altrettanto assurdo che una cosa reale finita contenga un numero infinito di parti reali, perchè altrimenti diventerebbe grande all’infinito4.
A proposito della critica della Matematica e della contradditorietà del numero, Zenone scrive: "se le cose sono molte devono bene essere tante quante sono, sono in numero limitato. Se le cose sono molte, sono anche infinite: giacchè sempre ce ne sono altre intermedie fra gli enti e di nuovo altre nell’intervallo fra queste, e così gli enti sono di numero infinito(Zenone, framm.3).Se l’unità non avesse grandezza, non esisterebbe affatto: ma se esiste è necessario che ogni [parte del molteplice ] abbia una grandezza e uno spessore determinati, e che l’una sia a una determinata distanza dall’altra. E lo stesso discorso vale per quella che le sta innanzi. E invero , anch’essa avrà una grandezza, e vi sarà qualcosa innanzi a lei. Ma ciò, per la stessa ragione, può dirsi una volta e ripetersi sempre( all’infinito) , poiché nessuna parte di esso( molteplice) è l’ultima, né alcuna senza rapporto con le altre [che le stia innanzi] ( Zenone framm.1).Che [se questa unità]
Fosse aggiunta a qualche altro ente, non lo farebbe per nulla maggiore; e invero, essendo priva di grandezza , aggiunta che sia , non può in alcun modo contribuire alla grandezza, e perciò l’aggiunta sarebbe senz’altro nulla. Ma se, tolta via da un'altra cosa quest’ultima non aumenterà per nulla ,è chiaro che quel che si è aggiunto era nulla, e nulla che è stato tolto via. E quindi, in conclusione, se le cose sono una pluralità, è necessario che siano a un tempo grandi e piccole: piccole si che non abbiano grandezza: grandi, sì da essere infinite
"(Zenone framm.2).

Pitagora copia romana di originale greco. Roma, Museo Capitolino

Una pluralità -ragionava Zenone- doveva essere costituita da unità. Una unità poteva però esistere solo quando si trattasse di qualcosa di indivisibile, ma una cosa indivisibile non poteva avere una grandezza, altrimenti sarebbe stata divisibile. Poichè dunque l’unità non aveva grandezza, era identica al nulla e, moltiplicando quante volte si vuole il nulla, non si ottiene altro che il nulla. Perciò non esisteva alcuna pluralità.

Scrive anche5: "Se esiste è necessario che una cosa abbia una certa grandezza e spessore e che in esse una parte disti dall’altra. Lo stesso ragionamento vale anche della parte che sta innanzi: anche questa infatti avrà grandezza e avrà una parte che sta innanzi. Questo vale in un caso come in tutti i casi: nessuna infatti di tali parti sarà l’ultima e non è possibile che non ci sia una parte a precedere l’altra. Così, se sono molti, è necessario che essi siano piccoli e grandi: piccoli fino a non avere grandezza, grandi fino ad essere infiniti."
Cioè, se l’essere fosse molteplice, esso risulterebbe insieme infinitamente piccolo e infinitamente grande. Piccolo perchè le unità componenti, per essere veramente unità cioè semplici, devono essere indivisibili e tutto ciò che ha una dimensione è divisibile. Quindi le singole parti di cui il molteplice è composto devono essere inestese: ma in questo caso la loro somma non potrà dare che un risultato nullo e il molteplice sarà perciò inesistente. Ma insieme tali parti saranno pure infinitamente grandi poichè, per esistere, devono possedere una qualche grandezza ed essere discoste dalle altre. La separatezza richiede che i corpi separati lo siano da una qualche entità, un terzo corpo: ma tale processo va proseguito all’infinito, per cui una molteplicità finita di grandezze sarà al contempo una molteplicità infinita di grandezze.
In tal senso l’opera di Zenone appare come un sostegno delle tesi del suo maestro Parmenide e le sue argomentazioni testimoniano una grande abilità dialettica e una logica stringente. Secondo Zenone6, essendo assurda l’ipotesi della pluralità, è necessario ammettere la tesi della continuità dello spazio e delle grandezze geometriche.
Aristotele riassume ciò affermando che Zenone riteneva che il punto "non appartenesse agli enti", nel senso che non poteva essere una cosa sensibile, realmente esistente, ma doveva considerarsi come un ente razionale.
Nei ragionamenti fin qui esposti, c’è l’idea di suddividere via via una grandezza ottenendo parti sempre più piccole, senza che vi sia termine a questa diminuzione. Quindi, dalla critica dei principi della Geometria, sembra nascere il concetto di infinitesimo e la prima idea del procedimento infinitesimale. Se suddividiamo un segmento successivamente, per esempio in due, quattro, otto, ….parti uguali, queste parti diminuiscono fino a diventare più piccole di un qualsiasi altro segmento piccolo a piacere e questo principio è alla base del metodo eudossiano.

Democrito: copia romana di originale greco. Napoli Museo Nazionale

Altre forme in cui sono state affrontate le problematiche legate all’infinito sono comunque presenti in questo periodo.
Nel V secolo, ai matematici toccò il compito di ricostruire fiducia verso la loro scienza: si affrontò così il problema di costruire un linguaggio scientifico libero dagli equivoci propri di quello comune. Il ricorso all’infinita suddivisione delle grandezze geometriche venne praticato, almeno in forma intuitiva, da vari matematici per confrontare aree e volumi di figure diverse. Fu soprattutto Democrito d’Abdera (460-360 a.C.), filosofo atomista, che se ne avvalse con successo, cercando di accordare le idee della scuola di Elea con la razionalità dei fenomeni.


Dei suoi studi geometrici sono giunte scarse notizie; Proclo trascura perfino di nominarlo tra i matematici preeuclidei, anche se occupa tra essi un posto importante7. Scrisse libri sulla Geometria e sull’Aritmetica e si occupò in modo particolare di questioni che rappresentano uno sviluppo dei concetti infinitesimali: la teoria degli incommensurabili e la cubatura dei solidi. Riuscì a misurare il volume del cono e del cilindro. Secondo Archimede: "riguardo ai teoremi di cui Eudosso per primo ha scoperto le dimostrazioni, cioè che il cono è un terzo del cilindro, la piramide un terzo del prisma aventi ugual base e uguale altezza, il merito va fatto risalire in buona parte a Democrito, che per primo ha dato, senza dimostrazione, le proposizioni relative a tali figure". Secondo Enriques8: "la dimostrazione euclidea del teorema (modificata secondo lo schema del procedimento d’esaustione di Eudosso) lascia ritenere che questo risultato fosse raggiunto da lui proprio mediante la somma di una progressione geometrica.
Non conosciamo il metodo usato da Democrito, ma non gli erano certo estranee le considerazioni infinitesimali e le prime difficoltà che si incontrano riflettendo su tali argomenti. Il fatto che abbia affermato tali proposizioni senza dimostrazioni, significa che di loro non erano state fornite argomentazioni dotate di tutto il rigore scientifico che si richiedeva. Probabilmente con considerazioni alquanto intuitive, era giunto all’idea di un solido come costituito dalla totalità delle sue sezioni, cioè come somma di un numero infinito di figure parallele o di strati infinitamente sottili. Per stabilire invece l’uguaglianza dei volumi di due piramidi di basi e altezze uguali, considerava presumibilmente per una di esse le infinite sezioni parallele alla base e le confrontava con le corrispondenti sezioni dell’altra piramide. Questo però comportava dei problemi in quanto, se le strisce avessero avuto uno spessore, si otteneva una piramide a gradini.
A tal riguardo -secondo quanto riferito da Plutarco- Democrito si era posto la questione di sapere se due sezioni parallele di un cono, infinitamente vicine, devono essere ritenute fra loro uguali o diverse osservando che, se fossero disuguali, la superficie del cono dovrebbe possedere delle scabrosità e se, invece, fossero uguali, il cono dovrebbe apparire come un cilindro. Non si sa come Democrito risolvesse questo dubbio. In ogni caso nelle sue ricerche, deve aver proceduto con considerazioni infinitesimali proprio per evitare l’inconveniente delle scabrosità, suddividendo il cono in sezioni infinitamente sottili ed anticipando, in qualche modo, la concezione che si presenterà poi nel Metodo di Archimede e in quello degli indivisibili di Cavalieri.

Aristotele:opera attribuita a Lisippo
Vienna, Kunsthistorisches Museum

Metodi di questo genere non potevano essere accettati perché non introdotti con correttezza e rigore. Il metodo infinitesimale rimaneva quindi ancora sprovvisto di una solida base logica.
A questo punto, mentre una parte di matematici era convinta che la misura di superfici o volumi di figure curvilinee dovesse per necessità condurre a risultati irrazionali (cioè sempre approssimati), un’altra parte credeva semplicemente all’insufficienza dei metodi a disposizione: una conoscenza più approfondita avrebbe potuto permettere di ottenere anche risultati razionali. Questa seconda opinione ricevette sostegno e conferma dalla costruzione delle lunule (figure limitate da ogni parte da archi di circonferenza) di Ippocrate di Chio.

Ippocrate, nel V secolo, diede un grande contributo alla soluzione di questi problemi (probabilmente fra il 450 e il 430 a.C.). Si dedicò con notevole originalità alla quadratura (trasformazione grafica del cerchio in un quadrato equivalente) del cerchio e riuscì a quadrare alcune lunule, utilizzando la proporzionalità dei cerchi ai quadrati dei loro diametri. Riuscì a porre le sue lunule in un rapporto strettamente razionale con un triangolo rettangolo (e, per la Geometria di allora, era cosa molto semplice trasformare questo triangolo in un quadrato di area equivalente). In tal modo, si ebbe la prima "perfetta" quadratura di una figura curvilinea. Non si poteva più affermare che l’area di figure di questo genere fosse per sua natura esprimibile solo mediante numeri irrazionali, anche se questi metodi non potevano essere utilizzati per la quadratura del cerchio.
Altri geometri intuirono la vera natura del problema fondandone la soluzione sulle serie infinite, cui danno luogo i poligono inscritti e circoscritti nel cerchio. A quell’epoca, infatti, si sapeva già calcolare la somma di una serie geometrica del tipo:

Anche i sofisti Ippia , Antifonte e Brisone si orientarono su questo problema e il secondo, in particolare, suggerì di giungere alla circonferenza partendo da un poligono regolare inscritto, via via raddoppiando il numero dei lati, supponendo erroneamente però per motivi empirici che questo poligono avrebbe dovuto senz’altro coincidere con il cerchio. Egli "credeva che così facendo continuamente la superficie del cerchio finisse con l’esaurirsi e che in questo modo si potesse inscrivere un poligono i cui lati per la loro piccolezza avrebbero dovuto coincidere con la frontiera del cerchio. Ora per ogni poligono possiamo costruire un quadrato uguale, così saremo in grado di costruire un quadrato uguale a tale cerchio9."
Archimede si limita ad affermare che il ragionamento è falso e che non è suo compito confutarlo, in quanto non è basato su principi. Infatti non è possibile giungere, dopo un numero finito di operazioni, ad un poligono di area uguale a quella del cerchio. Il fatto che questi sofismi furono possibili ed ebbero una certa popolarità sta a dimostrare le difficoltà cui andava incontro l’uso del concetto di infinitesimo, qualora non fosse utilizzato con il dovuto rigore.
Brisone d’Eraclea, contemporaneo di Antifonte tentò la risoluzione dello stesso problema inscrivendo e circoscrivendo simultaneamente nel cerchio poligoni regolari di quattro, otto, sedici, … lati. Sembra che pensasse di poter giungere così a due poligoni -uno inscritto e uno circoscritto- tali che, con la costruzione di un terzo poligono la cui area fosse la media dei precedenti, si avesse la quadratura del cerchio.
A ragionamenti di questo genere, Aristotele negò qualsiasi valore. Alcuni critici moderni, ritenendo che Antifonte e Brisone movessero soltanto da preconcetti empirici, non riconoscono a loro alcun avviamento verso procedimenti infinitesimali. Altri, osservando che alle concezioni razionalistiche si arriva sempre dopo faticoso cammino (che talvolta può scaturire da un opposto atteggiamento di pensiero), ritengono che in uno sviluppo storico dell’Analisi infinitesimale, anche questi tentativi debbano essere convenientemente valutati.