INDICE

 

 

 

 

RIEMANN

Georg Friedrich Bernhard Riemann


Nel 1822, quando Joseph Fourier (1768-1830) pubblicò la sua T héorie analytique de la chaleur, Lord Kelvin definì quest'opera come un grande poema matematico. Fourier vi sviluppava sistematicamente alcune idee e intuizioni che dieci anni prima gli avevano fatto vincere un premio bandito per un saggio sulla teoria matematica del calore. A dire il vero, Lagrange, Laplace e Legendre, che componevano la commissione esaminatrice del concorso, avevano molto criticato il saggio per lo scarso rigore delle argomentazioni. I successivi sforzi di Fourier, volti a chiarificare e rendere rigorose le sue idee, lo inseriscono in quell'ampio lavoro di rigorizzazione di tutta l'Analisi matematica.

Il contributo principale di Fourier consiste nell'idea di associare ad una qualsiasi funzione una serie questa forma:
y= 1/2a0+(a1cosx+b1senx)+(a2cos2x+b2sen2x)+ ……..

Questa espressione, oggi nota come serie di Fourier, offre la possibilità di studiare tipi di funzioni considerevolmente generali. Infatti, una gamma di funzioni piuttosto ampia può essere sviluppata in serie di Fourier. Anche per funzioni, in cui in molti punti non esiste la derivata o addirittura in cui esse stesse non sono continue, la serie di Fourier fornisce un'approssimazione in media quadratica molto utile nelle applicazioni (ad esempio nel campo della Statistica).
Le funzioni quindi non dovevano più necessariamente presentare la forma regolare alla quale i matematici erano stati abituati fino ad allora. Fourier aveva mostrato quale formidabile strumento di indagine fossero le “sue” serie, anche se i metodi da lui utilizzati erano ancora lontani dal soddisfare i criteri di rigore che l'opera di Cauchy aveva finito per imporre in Analisi.

Le affermazioni di Fourier, appunto perché legate ad un'impostazione tanto generale, suscitarono critiche e polemiche profonde. Nel procedimento da lui seguito per la costruzione dei coefficienti, egli ammetteva la sviluppabilità di f(x) nella serie trigonometrica e inoltre operava una integrazione termine a termine, senza una giustificazione. Tuttavia, il metodo di Fourier ebbe grande successo per le numerose e notevoli applicazioni trattate. La difficoltà incontrata per una generale approvazione del metodo aveva una ragione storica, alla quale accenniamo.


Jean Baptiste Joseph Fourier

La rappresentazione classica delle funzioni, mediante un algoritmo infinito, era allora quella espressa mediante la serie di B.Taylor: Σf(n)(x0)(x-x0)n/n!. In tale rappresentazione, la successione dei coefficienti f(n)(x0)/n! è costruita mediante le derivate calcolate nel punto iniziale x0 e quindi mediante un'analisi microscopica, sempre più sottile, dell'incremento Δf nell'intorno del punto x0.

La costruzione richiede una grande regolarità (l'esistenza della derivata finita di qualunque ordine); in compenso assicura la convergenza puntuale almeno nell'intorno del punto iniziale. Fatto altrettanto notevole si può ampliare l'intervallo di rappresentazione con un eventuale prolungamento.
Queste osservazioni pongono in rilievo la prepotente novità della rappresentazione mediante la serie trigonometrica proposta da Fourier. Lo strumento è ancora un passaggio al limite, e cioè la somma di una serie, il cui termine generale ancos(nx)+bnsin(nx) è una trascendente elementare di x. Tuttavia, in questa serie i coefficienti an , e bn sono assegnati mediante delle formule integrali e a costruire il loro valore concorre l'andamento di f(x) nell'intero intervallo (-π,π).
La questione fu ripresa anche da Lejeune Dirichlet, che prese come esempio una funzione dal comportamento "patologico" , cioè la celebre funzione che oggi porta il suo nome.

"La funzione così definita - scriveva Dirichlet1 - ha valori finiti e determinati per ogni valore di x e nondimeno non sarebbe possibile sostituirla nella serie, dal momento che i diversi integrali che entrano in questa serie perderebbero in questo caso ogni significato". La nozione di integrale che Dirichlet aveva a disposizione era infatti quella data da Cauchy, definita per funzioni continue su un intervallo ed estendibile a funzioni al più discontinue in un numero finito di punti. Dirichlet si rendeva ben conto che un esame approfondito dei casi esclusi dalla trattazione generale di Fourier chiamava in causa questione molto delicata come l'estensione dell'integrabilità di una funzione.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Bernhard Riemann (1826-1866) frequentò l'Università di Berlino e seguì i corsi di Dirichlet, che esercitò su di lui una notevole influenza. La sua opera si presenta come una straordinaria sintesi tra risultati noti di teorie diverse e geniali idee nuove, la cui comprensione profonda richiederà gli sforzi di generazioni di matematici.
Nel 1852, quando Riemann preparava la prova di abilitazione a Privatdozent , il primo passo nella carriera per le Università tedesche, Dirichlet trascorse le ferie presso di lui incontrandolo quasi quotidianamente.

Argomento degli studi ed oggetto dello scritto di abilitazione di Riemann, era la rappresentabilità delle funzioni mediante serie trigonometriche.
Nel lavoro che Riemann presenterà alla Facoltà di Gottinga nel 1854 e che resterà inedito fino alla sua morte, egli partiva dalle conclusioni a cui era giunto Dirichlet. I casi non discussi da Dirichlet erano particolarmente interessanti poichè, come aveva lui stesso osservato, erano intimamente legati ai principi del calcolo infinitesimale e inoltre si erano rivelati di grande importanza nella teoria dei numeri.

Il primo passo per Riemann era la precisazione del concetto di integrale definito che, come abbiamo visto, gioca un ruolo cruciale in tutta la questione. Fu proprio in questo contesto che Riemann introdusse la propria definizione del concetto di integrale.
Cosa si deve intendere con ? Per dare rigore a tale concetto suddividiamo l'intervallo di integrazione [a,b] in n parti scegliendo dei punti x1 …..xn ε ]a,b[ in modo da aversi a<x1<x2<x3<……<xn-1<b e, posto per brevità εi=xi-xi-1, consideriamo la somma :

detti a=x0 e b=xn dove εi sono frazioni positive proprie.
La somma S dipende dalla scelta degli intervalli δi di dei numeri εi. Se tuttavia, comunque siano presi δi ed εi S tende ad un limite fissato A al tendere dei δi a zero, tale limite è chiamato integrale

"In quali casi -si chiedeva Riemann2- una funzione è integrabile e in quali no?" La risposta era contenuta in una condizione necessaria e sufficiente che Riemann enunciava richiedendo che la funzione f(x) fosse limitata e inoltre che "l'ampiezza totale dell'intervallo in cui le oscillazioni della funzione sono maggiori di σ, qualunque sia σ, possa essere resa arbitrariamente piccola". Riemann mostrava, in questo modo che, una funzione discontinua in ogni punto razionale, ma continua in ogni punto irrazionale -non integrabile ,dunque, secondo Cauchy- era integrabile secondo la nuova definizione.
Rimanevano tuttavia non integrabili le funzioni come quelle di Dirichlet. Ciò nonostante il campo delle funzioni integrabili si era abbondantemente ampliato. Basti considerare la definizione di Riemann che sostanzialmente estendeva quella di Cauchy. Infatti Cauchy prendeva solo funzioni continue con somma Σf(xii e dimostrava che tale somma convergeva. Differentemente, Riemann considerava prendeva funzioni non necessariamente continue; la somma Σf(ξii, con punti ξi qualunque, non è detto che converga: bisogna dare delle opportune condizioni.