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CAUCHY E LA MODERNA ANALISI

Augustin-Louis Cauchy

Nel Settecento, i matematici non erano riusciti (malgrado i grandi progressi compiuti in sede tecnica) a dare all'Analisi un assetto logicamente rigoroso: i successi erano incontestabili, ma sembrava impossibile trovare alcuna autentica garanzia razionale. La grande svolta verificatasi tra il 1820 ed il 1850 è proprio consistita nella scoperta di questa garanzia, cioè nell'esatta definizione dei concetti-base e della ricostruzione dell'Analisi in forma di edificio perfettamente rigoroso e coerente.
I principali artefici di questa svolta furono il tedesco Karl Friedrich Gauss, il norvegese Niels Henrik Abel, ma soprattutto il grande analista francese Agustin Cauchy (1789-1857). A loro vanno aggiunti Bernard Bolzano (che però rimase sostanzialmente isolato) ed il tedesco Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), formatosi alla scuola di Gauss e a quella francese, che diede un contributo decisivo alla diffusione dell'esigenza rigoristica nelle Università della Germania.

Cauchy fu una delle figure dominanti della Matematica francese: professore di Analisi all' Ecole Polytecnique e di Fisica matematica al Collège de France , si era impegnato in un sistematico lavoro di ricostruzione rigorosa dei concetti fondamentali dell'Analisi e del calcolo differenziale, che esponeva nelle sue lezioni. Sollecitato da Laplace e per maggior utilità degli studenti, nel 1821 pubblicava la prima parte del suo corso di lezioni, l' Analyse algébrique, che impartiva agli studenti del primo anno. Fin dalle pagine introduttive al Cours d'analyse Cauchy esprimeva con grande vigore le concezioni che avevano guidato il suo approccio ai fondamenti dell'Analisi matematica:1 "quanto ai metodi ho cercato di dar loro tutto il rigore che si esige in Geometria in modo da non ricorrere mai ad argomenti tratti dalla generalità dell'Algebra" Questi ultimi erano stati gli argomenti preferiti da Lagrange, ai quali Cauchy contrapponeva invece l'esigenza del ritorno ad un rigore "euclideo", anche se “per mantenermi costantemente fedele a questi principi - aggiungeva - mi son visto costretto ad ammettere diverse proposizioni che sembreranno forse un po' dure a prima vista" . La prima di queste proposizioni era che una serie divergente non aveva somma, cosa che oggi appare del tutto naturale ma che, all'epoca, andava contro una tradizione consolidata, della quale Lagrange era autorevole portavoce. La sua Théorie des fonctions analytiques era stata una delle opere più studiate dal giovane Cauchy. Se concordava con Lagrange sulla necessità di fondare in modo rigoroso l'Analisi, senza limitarsi a giustificarne i metodi con il successo nelle applicazioni o il ricorso all'evidenza empirica dei concetti in gioco, ne prendeva però apertamente le distanze quando si trattava di individuarne i fondamenti: gli argomenti di natura algebrica erano liquidati come delle "induzioni adatte a far talvolta presentire la verità, ma che poco s'accordano con l'esattezza tanto vantata delle scienze matematiche".

 


Niels Abel
Lo strumento che, nelle mani di Cauchy, diventò la chiave di volta per tutte le costruzioni dell'Analisi fu il concetto di limite. Si trattava di un concetto più o meno chiaramente presente ai matematici fin dalle prime discussioni sul calcolo infinitesimale e che D'Alembert aveva individuato come la "vera metafisica" di tale calcolo. Ora, con Cauchy, tale concetto rivelava nella pratica matematica la propria importanza. Si poteva definire in modo preciso sia la tanto controversa nozione di infinitesimo sia quella di infinito.

Era poi possibile distinguere i vari ordini di infinitesimi e infiniti, definendo dello stesso ordine infinitesimi o infiniti il cui rapporto ha limite finito. Per questa via, Cauchy introduceva anche la definizione di funzione continua su di un intervallo.
Il concetto di limite era un concetto particolarmente delicato perché richiede la precisazione del significato da attribuirsi all'asserto che una successione di infiniti valori (infinito potenziale) si approssima infinitamente ad un ben determinato valore o limite della successione stessa. Famoso è, da questo punto di vista, il criterio di convergenza delle serie (somme di infiniti termini) dovuto a Cauchy. In base ad esso, è possibile stabilire quando una serie (che è il più caratteristico degli algoritmi infiniti) determina effettivamente un valore che è da considerarsi la sua somma.
Poichè sia la derivata che l'integrale sono particolari limiti, è chiaro che la precisazione del concetto di limite permise la definizione esatta tanto dell'una che dell'altro e la dimostrazione rigorosa delle loro proprietà. Fu così possibile liberare l'Analisi infinitesimale da quell'alone di mistero che la circondava e farne una scienza in completo possesso della ragione umana.
Nel Résumé des lecons sur le calcul infinitésimal, pubblicato nel 1823, si trovano le definizioni di derivata, differenziale ed integrale in termini di limiti, che Cauchy presentava da alcuni anni agli studenti e che da allora sono divenute classiche. Egli era ben consapevole della novità teorica delle sue idee sui fondamenti del calcolo, radicalmente opposte a quelle lagrangiane. Nell'avvertenza con cui si apre il Résumé, scriveva esplicitamente:" i metodi che ho seguito differiscono per diversi aspetti da quelli che si trovano esposti nelle opere dello stesso genere. Il mio scopo principale è stato quello di conciliare il rigore, che mi ero posto come norma irrinunciabile del mio corso di Analisi, con la semplicità che proviene dalla considerazione diretta degli infinitesimi".

Accanto alle definizioni già viste, nel Résumé, Cauchy dava la nozione di integrale. Tradizionalmente, l'integrazione era stata considerata dai matematici l'operazione inversa della derivazione: nelle parole di Lagrange, la ricerca di una funzione "primitiva" F(x) tale che la sua derivata F'(x) fosse uguale alla funzione di partenza f(x). Il teorema fondamentale del calcolo consentiva poi di introdurre l'integrale definito mediante la formula:

In una Mémoire sur les intégrales définies, presentata nel 1814 all' Institut , il giovane Cauchy aveva però mostrato con una serie di esempi che tale maniera di procedere –di definire l'integrale definito attraverso il così detto “teorema fondamentale del calcolo” portava a risultati scorretti, "se, quando la variabile aumenta di quantità insensibili, la funzione [da integrare] si trova a passare bruscamente da un valore ad un altro" Questi casi, in cui per la funzione da integrare "la legge di continuità è violata", attirarono l'attenzione di Legendre, uno dei commissari predisposti dall' Institut a scrivere un rapporto sulla memoria di Cauchy.
Legendre stava in quel periodo lavorando al secondo volume dei suoi Exercises du calcul intégra l, monumentale opera in tre volumi apparsa tra il 1811 ed il 1817 in cui perveniva, nel calcolo di integrali analoghi, a risultati completamente diversi da quelli di Cauchy. Fu forse a causa delle critiche dei commissari, sulla correttezza dei risultati, che la Mémoire di Cauchy venne pubblicata solo nel 1827, quando i suoi argomenti avevano già trovato consenso. Nel 1823, Cauchy aveva ribadito il proprio punto di vista in una memoria sull'integrazione delle equazioni differenziali lineari scrivendo (nelle "osservazioni generali e aggiunte" che concludevano quel lavoro):2 "noi siamo naturalmente portati dalla teoria delle quadrature a considerare ogni integrale definito, preso tra due limiti reali, come la somma dei valori infinitesimi dell'espressione differenziale sotto il segno che corrispondono ai diversi valori della variabile che sono compresi tra i limiti in questione. Se adottiamo questa maniera di considerare gli integrali definiti, proviamo facilmente che ogni siffatto integrale ha un unico valore finito ogni volta che, essendo i due limiti della variabile finiti, l'integranda si mantiene finita e continua tra questi due limiti. (…) Ora a me sembra che questo modo di considerare un integrale definito debba essere preferibilmente adottato, come io appunto ho fatto, poichè è ugualmente adatto, in ogni caso, anche a quelli in cui non possiamo generalmente passare dalla funzione sotto il segno di integrale alla funzione primitiva. Inoltre ha il vantaggio di fornire sempre valori reali per gli integrali corrispondenti a funzioni reali. "
Anche Fourier nella Théorie analitique de la chaleu r, esprimeva una concezione analoga sottolineando ripetutamente che gli integrali che comparivano tra i coefficienti delle sue serie andavano considerati come delle aree: l'integrale , secondo la notazione dell'integrale definito introdotta proprio da Fourier, esprimeva semplicemente l'area della figura compresa tra la curva f(x) e l'asse x tra i due limiti a e b.
Questo modo di considerare l'integrale, a parere di Cauchy, doveva "essere preferibilmente adottato" essendo adatto a trattare il caso in cui la funzione integranda fosse discontinua o indeterminata per qualche valore x dell'intervallo di integrazione. In questa maniera, Cauchy introduceva l'integrale anche nelle sue lezioni, allontanandosi consapevolmente da una pratica ormai consolidata: "E' sembrato necessario - scriveva nell'avvertenza al Résumé - dimostrare generalmente l'esistenza degli integrali o funzioni primitive, prima di far conoscere le loro diverse proprietà. A questo scopo si è reso indispensabile anzitutto stabilire la nozione di integrale preso entro limiti dati, o integrale definito".

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano

Considerava quindi una funzione f(x) continua in un intervallo [x 0 ,x] e una suddivisione arbitraria di tale intervallo in n parti. La somma S dei prodotti: S=(x1-x0) f(x0)+(x2-x1)f(x1)+ ……… +(x-xn-1)f(xn-1) dipendeva dal numero di parti in cui era stato diviso l'intervallo. Ma se il modo di suddivisione diventava "molto grande", e quindi l'ampiezza di ciascun intervallo molto piccola, il modo di suddivisione diventava ininfluente sul valore di S che, al crescere indefinitamente di n "finirà per essere sensibilmente costante o, in altri termini, finirà per raggiungere un certo limite, che dipenderà unicamente dalla forma della funzione f(x) e dai valori degli estremi x0 ed x attribuiti alla variabile".

"Questo limite è quello che si chiama un integrale definito", concludeva Cauchy. Considerando poi x variabile, anche la somma S(x) era una funzione continua di x, che aveva per derivata f(x). In altre parole era , a meno di una costante, l'integrale indefinito di f(x).
Rendendo quindi rigorosa l'originaria concezione di Leibniz dell'integrale come somma di elementi infinitesimi, Cauchy si allontanò dalla pratica usuale di assumere in primo luogo l'esistenza dell'integrale indefinito e, da questo, far discendere l'integrale definito secondo la formula classica:

dove F'(x)=f(x) .

Naturalmente le cose si complicavano nel caso in cui f(x) era discontinua in un numero finito o in un'infinità di punti, problema che si rivelerà ben presto della massima importanza nelle ricerche sulle serie trigonometriche.
L'integrale venne poi esteso da Cauchy al caso della funzione non limitata o dell'intervallo infinito, con una “naturale” definizione di integrali impropri.

Le concezioni di Cauchy segnarono comunque un punto di svolta e aprirono la via alla moderna teoria dell'integrazione. Si passa dal considerare l'integrazione come l'operazione inversa della derivazione verso una moderna teoria della misura, dove l'oggetto primario di interesse è l'integrale Inoltre, la sua insistenza sulla necessità di dimostrare generalmente l'esistenza degli integrali indefiniti rivelava, insieme ad una grande novità teorica, il ruolo centrale che le questioni di esistenza andavano assumendo in Matematica. Tra queste, in particolare, si segnalerà ben presto il problema dell'esistenza delle soluzioni di un'equazione differenziale (di cui y=f(x)dx rappresentava un caso elementare). La dimostrazione dell'esistenza ed unicità della soluzione, in un intorno di un punto, viene condotta con metodi del tutto analoghi a quelli introdotti nella definizione del concetto di integrale e ancora una volta la nozione di limite si rivelava tecnicamente essenziale.