INDICE

 

 

 

 

LA DIFFUSIONE DEL CALCOLO

 


Jacob Bernulli


Johann Bernulli



Le scoperte dei grandi matematici non diventano automaticamente parte della tradizione, a meno che altri scienziati non le comprendano e non si interessino a loro in misura sufficiente da considerarle da diversi punti di vista, chiarendole e generalizzandole e sottolineandone le implicazioni.
Così lo sviluppo del calcolo infinitesimale seguì diverse vie in Inghilterra e nel continente europeo: rigidamente vincolata alla tradizione newtoniana (e al suo infelice formalismo), la Matematica inglese del Settecento sarà incapace di cogliere la straordinaria quantità di risultati e di tecniche che la maggiore flessibilità e fecondità della tradizione leibniziana aveva assicurato ai matematici continentali. Inoltre, Newton comunicava malvolentieri le proprie idee ai colleghi. Di conseguenza, il metodo delle flussioni non fu molto conosciuto al di fuori dell'Inghilterra. Leibniz , al contrario, trovò numerosi discepoli pronti ad imparare il calcolo differenziale ed integrale. Così, a chiusura del suo lavoro1 , scriveva: "questi, invero, sono soltanto gl'inizi di una Geometria molto più sublime, che si estende a qualunque dei problemi più difficili e più belli", con parole che trovarono ben presto conferma nelle ricerche originate dalle sue pagine.

Il XVIII secolo non può dirsi creativo come il precedente ma compie comunque un'opera straordinariamente preziosa, dando una prima sistemazione alle discipline di recente creazione e arricchendole di nuovi strumenti tecnici.
Fra coloro che portarono maggiori contributi, e che applicarono il calcolo integrale alle questioni più varie vanno ricordati i fratelli Jaques e Jean Bernoulli , Giulio Carlo Fagnano, Leonardo Euler, Vincenzo Riccati, Gregorio Fontana, Lorenzo Mascheroni, Giovanni D'Alembert, Giuseppe Luigi Lagrange.

I Bernoulli erano una famiglia di Berna. Jaques ebbe la cattedra di Matematica nell'Università e inaugurò una tradizione familiare nel campo della Matematica e della Fisica, dove una dozzina di Bernoulli di generazioni successive ebbero modo di emergere.
Il calcolo differenziale era stato presentato da Leibniz come una speciale algoritmo per lo studio delle curve e fu applicato proprio in questo modo con successo dai Bernoulli, rivelandosi nelle loro mani uno strumento di straordinaria agilità e duttilità, che permetteva di risolvere facilmente antichi problemi. I contributi matematici dei Bernoulli, come quelli di Leibniz, si trovano prevalentemente in articoli pubblicati su periodici, specialmente sugli Acta Eruditorum .
Fu proprio Jaques Bernoulli che propose di chiamare calcolo integrale il calculus summatorius di Leibniz. Nel suo lavoro sull'isocrona, pubblicato negli Acta Eruditorum nel 1690 usò infatti il termine integrale . Pochi anni più tardi, Leibniz riconobbe che il termine calculus integralis era migliore per indicare l'inverso del calculus differentialis .
L'applicazione del calcolo allo studio delle curve e alla Meccanica aveva lasciato intravedere uno sterminato campo di ricerca -quello dell'integrazione delle equazioni differenziali- che Leibniz formulava in una lettera ad Huygens nel 1691 in questo modo: "se qualcuno potesse dare l'arte di ridurre sempre alle quadrature il problema inverso delle tangenti, darebbe quanto più auspico in questa materia". Lo stesso Leibniz e i fratelli Bernoulli si avventurarono per primi alla scoperta di questo nuovo dominio della Matematica. Nella stessa lettera a Huygens, Leibniz esponeva la tecnica della separazione delle variabili per integrare un'equazione differenziale.


Guillaume Francois de l'Hopital
Alla fine del 1691, Jean Bernoulli (a Parigi) conobbe Guillaume Francois de l'Hopital (1661-1704), che gli chiese di insegnargli il nuovo calcolo leibniziano. Dalle lezioni e dagli appunti che Bernoulli gli consegnò, trasse origine il trattato Analyse des infiniments petits che fu pubblicato nel 1696 e rappresentò la prima esposizione sistematica del calcolo differenziale. Il volume, scritto in maniera chiara e stimolante, ottenne uno straordinario successo, fu uno strumento formidabile per la diffusione del calcolo leibniziano e, su di esso, impararono il calcolo generazioni di matematici.

Cinquant'anni dopo la sua apparizione. Fu pubblicata anche la parte relativa al calcolo integrale, che Jean Bernoulli aveva redatto preparando le lezioni per il suo allievo. Le Lectiones mathematicae de methodo integralium apparvero nel 1742, quando Jean Bernoulli aveva raggiunto una grandissima fama e numerosi studenti accorrevano da ogni parte d'Europa per seguire le sue lezioni. Egli definiva l'integrale come l'inverso del differenziale: l'integrale di un'espressione differenziale è quella quantità da cui, differenziando, si ottiene l'espressione di partenza. Una concezione che si distingueva dall'idea leibniziana dell'integrale come somma di rettangoli infinitesimi. Il problema principale risolto dall'integrazione -scriveva Bernoulli - era quello della quadratura delle figure, ma ampio spazio era dedicato al problema inverso delle tangenti.

In Italia era ancora predominante la tradizione geometrica classica, di cui era stato esponente autorevole Vincenzo Viviani (1622-1703). Un sincero interesse verso i più recenti risultati geometrici animava invece le ricerche di Guido Grandi (1671-1742) professore a Pisa. La sua Quadratura circuli et hiperbolae (1703) riprendeva un argomento largamente dibattuto, ma era comunque notevole il tentativo di dare una presentazione sistematica della materia e dei risultati più recenti mediante il calcolo leibniziano. In appendice era riportata una lettera di Gabriele Manfredi (1681-1761) sulla rettificazione delle curve y=x m . Manfredi si impadronì a fondo dell'algoritmo leibniziano e nel 1707 pubblicò un'interessante opera sulle equazioni differenziali del primo ordine. Nello studio di tali equazioni si segnalò anche Jacopo Riccati (1676-1754).


Jean D'Alembert
Un fitto carteggio tra Leibniz e i matematici contemporanei, tra cui anche gli italiani che abbiamo ricordato, fu uno dei maggiori veicoli che consentirono non solo la diffusione del calcolo, ma l'emergere di nuovi problemi e l'intrecciarsi di soluzioni, non raramente accompagnate da vivaci discussioni sulla correttezza o la priorità dei risultati. I risultati raggiunti nel calcolo infinitesimale, suscitavano un notevole entusiasmo, ma continuava a dominare una certa confusione circa i principi fondamentali.


La fiducia nella potenza della ragione sorregge l'intera ricerca e, se qualche dubbio affiora circa l'esattezza dei fondamenti del grande edificio dell'Analisi infinitesimale, viene messo a tacere osservando che l'ampiezza e compattezza delle conseguenze ricavate è largamente sufficiente a giustificare l'accettazione delle premesse. Questo atteggiamento risulta chiaramente espresso dal celebre motto di D'Alembert: " andate avanti e la fede vi verrà ". mettetevi cioè al corrente dei grandi successi del nuovo tipo di calcolo: la loro imponenza dissolverà ogni vostro dubbio.
D'Alembert, nell'articolo Differential della grande enciclopedia francese scriveva che l'infinito è solo un modo di parlare e che infine il calcolo opera solo su quantità finite. Ma egli stesso riconosceva la manchevolezza dei principi e, ad un giovane studioso di Analisi che gli esprimeva i suoi dubbi, rispondeva appunto con la famosa frase " Allez de l'avant: la foi vous viendra " .

L'Accademia di Berlino presieduta da Lagrange aprì, nel 1764, un concorso sul concetto di infinito in Matematica domandando " una teoria chiara e precisa di ciò che si chiamava infinito in matematica” e in particolare di chiarire" come possano dedursi tanti teoremi veri da una supposizione contraddittoria " (il premio fu conferito a Simone L'Huillier).
E' manifesto che un tal modo di procedere non poteva sviluppare un'autentico rigore.Vi è ugualmente da rimanere stupiti, riflettendo sullo scarso rigore dei processi dimostrativi adoperati, dei numerosi autentici teoremi che (sia pure con qualche inesattezza di formulazione) si riuscì di fatto a scoprire. Di fronte a tali scoperte, si deve ammettere che i matematici del XVIII secolo erano senza dubbio forniti di eccezionali capacità intuitive, mediante le quali riuscivano a farsi un'idea notevolmente esatta della struttura complessiva della materia trattata. La visione globale permetteva loro di cogliere i punti nodali, malgrado le inesattezze e talvolta gli errori compiuti nello svolgimento delle argomentazioni particolari.

Ovviamente un tal modo di procedere non avrebbe potuto proseguire a lungo senza dar luogo a disastrosi inconvenienti. Un merito particolare a questo riguardo va riconosciuto a Lazare Carnot (1753-1823). Nel 1797, pubblicò le Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal , opera che si avvicinava più alla Filosofia che alla Matematica ma preannunciava quell'esigenza di rigore e quell'interesse per i fondamenti che saranno tipici del XIX secolo. In quest'opera Carnot cercò di chiarire i principi generali del calcolo, sulla base di un accurato raffronto con i vecchi metodi di esaustione, degli indivisibili, delle prime ed ultime ragioni e delle flussioni.

Uno dei matematici più acuti di quel periodo fu Lagrange (1736-1813) che pubblicò nel 1797 la Théorie des fonctions analytiques , un volume che raccoglieva in maniera sistematica le idee sul calcolo e che sintetizzava fin dal sottotitolo la sua opera: i principi del calcolo vi erano infatti esposti " liberati da ogni considerazione di infinitesimi, di quantità evanescenti, di limiti e flussioni, e ricondotti all'analisi algebrica di quantità finite "2.
Nell'intento di ricondurre il calcolo ad un fondamento algebrico, Lagrange in primo luogo criticava le antiche concezioni secondo cui la vera metafisica del calcolo infinitesimale consisteva nel fatto che gli errori derivanti dal trascurare nei calcoli gli infinitesimi di ordine superiore erano corretti o compensati dalle procedure stesse del calcolo: “ sarebbe difficile dimostrare che gli errori si compensano sempre. Nè più soddisfacente era stato il tentativo di Euler e di D'Alembert di mostrare, mediante esempi particolari, che le differenze che si suppongono infinitesime devono essere assolutamente nulle e che i loro rapporti, le sole quantità che entrano realmente nel calcolo, non sono che limiti di rapporti tra differenze finite o indefinite "3. Anche più decisa era la critica all'idea di Newton di considerare le quantità matematiche, linee o superfici, come generate dal movimento, " per evitare la supposizione di infinitesimi ". Tale idea era sembrata a molti più chiara -scriveva ancora Lagrange- forse " perché ciascuno ha creduto di avere un'idea della velocità ". Tuttavia " bisogna riconoscere che non si ha affatto un'idea ben chiara di cosa sia la velocità istantanea di un punto, quando questa velocità è variabile " ed è questo il passo decisivo quando si vuole definire la derivata per questa via. Inoltre, vi è un aspetto di carattere metodologico nella posizione di Newton che -a parere di Lagrange- andava seccamente respinto: la presenza di concetti fisici come il movimento nella definizione degli enti fondamentali della Matematica. " Introdurre il movimento in un calcolo che non ha che quantità algebriche per oggetto è un'idea estranea ". Il calcolo deve trovare all'interno della Matematica, in particolare nell'analisi algebrica delle quantità finite, il proprio fondamento. Il Treatise on Fluxions di MacLaurin (1742) -aggiunge Lagrange- mostra assai bene come sia difficile rendere rigoroso questo metodo. Ecco perché nei Principia Newton preferì sostituire alle flussioni il metodo degli ultimi rapporti di quantità evanescenti: un metodo che, come quello dei limiti, ha (secondo Lagrange) gli stessi difetti di oscurità ed imprecisione.
Lagrange introdusse in modo molto generale la teoria delle funzioni suddividendola in due grandi branche: la prima era l'Algebra, che comprendeva lo studio delle funzioni primitive ottenibili dalle ordinarie operazioni algebriche; la seconda, la teoria delle funzioni analitiche vera e propria, che aveva per oggetto funzioni primitive qualunque, insieme alle loro derivate, e abbracciava così le nuove forme di calcolo, anche se il punto delicato di questa teoria consisteva proprio nell'ipotesi che ogni funzione fosse sviluppabile in serie.
Con la sua teoria delle funzioni Lagrange si muoveva in una direzione che diverrà dominante nel corso dell'Ottocento: la liberazione dell'Analisi da ogni riferimento intuitivo all'evidenza geometrica o fisica dei suoi metodi, in modo da percorrere una strada volta a trovare nell'ambito dell'Analisi, ed esclusivamente in questo, il fondamento profondo, la "metafisica"del calcolo infinitesimale. Lo scopo della sua opera -dice Lagrange- è di liberare da ogni supposizione illecita e da ogni metafisica il calcolo differernziale, fondandolo sul metodo delle funzioni primitive e derivate, in modo da dare alla risoluzione dei problemi trattati " il rigore delle antiche dimostrazioni ".


Colin Maclaurin
Gli scienziati inglesi nello, stesso periodo, erano rinchiusi in un ostinato isolamento che li teneva lontani dalla grande cultura matematica europea a causa della diffidenza nutrita dagli inglesi verso i lavori degli analisti continentali che si valevano del simbolismo leibniziano. Malgrado questo isolamento, è doveroso riconoscere che nella prima metà del secolo XVIII operarono anche nella cultura inglese alcuni matematici di indiscutibile valore: fra i migliori analisti, vanno ricordati Brook Taylor (1685-1731) e Colin Maclaurin (1698-1746) che possono essere considerati i migliori continuatori dell'opera di Newton.

Inoltre, se l'influenza di Newton fu determinante per tutta la generazione dei matematici inglesi della prima metà del secolo, non va tuttavia dimenticato che (proprio nei medesimi anni) l'opera di Newton suscitò, anche in Inghilterra, alcune vivacissime e sottili critiche dirette a colpirei concetti basilari utilizzati. Tale polemica costrinse i matematici inglesi ad iniziare sia pure con molta cautela, ma con anticipo rispetto agli analisti continentali, quell'opera di revisione dei concetti di infinitesimo e di infinito che giungerà a piena maturazione solo nell'Ottocento.
Nel 1807 apparve sull' Edinburgh Review un'ampia recensione al Traité de mecanique céleste di Laplace in cui l'anonimo commentatore faceva un confronto critico tra la Matematica inglese e quella continentale. Negli ultimi sessanta anni –osservava- non c'era stato un solo matematico inglese che avesse contribuito in maniera significativa allo sviluppo della Meccanica celeste, né in generale a quello della Matematica. L'isolamento degli scienziati inglesi per un " più che ragionevole rispetto verso Newton " -come scrisse Robert Woodhouse (1773-1827)- aveva portato ad ignorare completamente tutto ciò che avveniva al di là della Manica. Egli sosteneva la necessità di una profonda riforma della concezione della Matematica, che facesse uscire l'Inghilterra dalla desolante condizione in cui stagnava la ricerca. L'influenza delle sue idee portò ad una rivoluzione nella Matematica inglese. Se la notazione newtoniana "a puntini" era il gergo della tradizione, l'adozione del simbolismo leibniziano ostentava una evidente e polemica volontà di cambiamento di cui si fecero promotori un gruppo di matematici fra cui Charles Babbage (1792-1871). I "giovani infedeli" riuscirono a raggiungere il loro obiettivo: la diffusione della notazione differenziale in Inghilterra diventava ormai un processo inarrestabile e, al tempo stesso, con lo sviluppo dell'algebra simbolica, si apriva un'originale via di ricerca ai matematici inglesi.