INDICE

 

 

 

 

NEWTON E LEIBNIZ

 


Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz

 


Mentre si gettavano le basi del calcolo integrale, altri problemi, di natura diversa da quello del calcolo delle aree e dei volumi, venivano affrontati con procedimenti infinitesimali. Descartes, Fermat, Torricelli, e altri ancora, si ricongiungevano alla nozione di infinitesimo per risolvere il problema delle tangenti a una curva, quello della velocità di un punto mobile e quello dei massimi e minimi di una funzione. Il calcolo differenziale iniziava così con l'introduzione di quella operazione di derivazione che Torricelli prima, e Fermat e Barrow poi, videro in intima relazione con quella di integrazione, essendo le due operazioni l'una l'inverso dell'altra. In tal modo, il calcolo delle aree e dei volumi poteva giovarsi dei risultati relativi alle derivate.
Il calcolo integrale e quello differenziale potevano segnare la loro data di nascita, la quale è indissolubilmente unita ai nomi di
Isaac Newton (1642-1727) e di Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). La polemica sulla priorità delle scoperte dell'uno o dell'altro dei due sommi scienziati non tocca il loro grande valore. La scienza è ad entrambi debitrice per essere stata dotata di uno degli strumenti più potenti di indagine. Tuttavia la forma che è giunta a noi del nuovo calcolo è quella assegnatale da Leibniz il quale, con una scelta di simboli più che felice e un insieme di regole facili e generali, seppe abilitare il ricercatore a ricondurre il calcolo di una qualunque derivata a quello delle derivate di poche funzioni semplici, dando così anche il modo di sfruttare opportunamente ( nel calcolo degli integrali) il teorema di Torricelli-Barrow. Questo stesso procedimento fece passare in seconda linea il problema delle quadrature, conferendo maggiore importanza alla ricerca dei cosiddetti integrali indefiniti. Lo sviluppo algoritmico di tale ricerca occupò i matematici di tutto il secolo XVIII.


Newton è senza dubbio uno dei maggiori scienziati. La Matematica occupa cronologicamente il primo posto tra le sue diverse attività. Studiò gli Elementi di
Euclide e la Geometria di Descartes e l'incontro con Barrow fu determinante per lui. Fu l'origine del suo immediato interesse per la Matematica. Fu proprio Barrow nelle Lectiones geometricae del 1670 a mettere in evidenza il legame tra il problema inverso delle tangenti e il problema delle quadrature.

L'Analisi infinitesimale studiata da Newton si inquadra nelle sue ricerche dirette alla costruzione del sistema del mondo nei Philosophiae naturalis Principia mathematica (Londra, 1686). Tuttavia, in quest'opera, Newton si serve ancora dei laboriosi procedimenti infinitesimali utilizzati dagli antichi, per mettere al sicuro i risultati ottenuti nel campo della Meccanica.
A proposito del pensiero di Newton sull'infinito, ecco quanto scrive Buffon nella prefazione della traduzione francese del 1760 del Metodo delle flussioni di Newton: "non appena si muovono i primi passi nel campo della Geometria si trova l'infinito.

Gli studiosi di Geometria l'hanno intravisto fin dai tempi più remoti: la quadratura della parabola e il trattato De numero Arenae di Archimede provano che quel grande uomo aveva già l'idea dell'infinito, anzi proprio l'idea giusta; quell'idea è stata ampliata e manipolata in diversi modi ed infine si è trovato il modo di applicarvi il calcolo. Ma la base della metafisica dell'infinito non è mutata e, soltanto in questi ultimi tempi, alcuni studiosi di Geometria hanno espresso sull'infinito idee diverse da quelle degli antichi, idee così lontane dalla natura delle cose che neppure le loro opere sono riuscite a renderle attendibili: da qui tutte le opposizioni e le contraddizioni che il calcolo infinitesimale ha dovuto subire e subisce ancora; da qui tutte le dispute fra scienziati sul modo di usare questo calcolo e sui principi da cui esso trae origine. Siamo rimasti stupiti dai prodigi operati da questo calcolo; ma allo stupore è seguita la confusione. Abbiamo creduto che l'infinito producesse tutte queste meraviglie; abbiamo immaginato che la conoscenza di questo infinito, negata a tutti gli altri secoli, fosse riservata al nostro; infine abbiamo costruito su tutto questo sistemi che hanno valso soltanto a confondere i fatti e a rendere meno chiare le idee. Prima di continuare, diciamo dunque alcune parole sulla natura di questo infinito, che illuminando gli uomini sembra averli accecati. Abbiamo un'idea chiara della grandezza; vediamo che generalmente le cose possono essere aumentate o diminuite. L'idea di una cosa, diventata più grande o più piccola, è per noi altrettanto presente e familiare della cosa stessa. Se ci mostrano una cosa qualsiasi o se soltanto la immaginiamo, ci rendiamo conto che si può renderla più grande o più piccola; nulla arresta o distrugge questa possibilità. Si può sempre concepire la metà della più piccola cosa immaginabile e il doppio della più grande. Possiamo anche capire che essa diventi cento, mille centomila volte più piccola o più grande. L'idea esatta dell'infinito consiste proprio in questa possibilità di aumentare e di diminuire illimitatamente. Questa idea ci viene dall'idea del finito; una cosa finita è una cosa con un termine e dei limiti; una cosa infinita è la stessa cosa finita cui sono stati tolti il termine e i limiti. Così l'idea dell'infinito non è altro che un'idea di privazione e non ha un oggetto reale. Non è questo il luogo adatto per dimostrare che lo spazio, il tempo e la durata non sono infiniti reali; ci basterà provare che non esiste attualmente numero infinito o infinitamente piccolo, o più grande o più piccolo di un infinito ( …).
Si deve dunque considerare l'infinito, sia in piccolo che in grande, soltanto come privazione e riduzione dell'idea di finito, di cui ci si può servire come di una supposizione -utile in certi casi- per semplificare le idee e per generalizzarne i risultati nella pratica delle scienze. Tutto si riduce alla capacità di usufruire di questa supposizione, cercando di applicarla ai soggetti esaminati. Tutto il merito sta dunque nell'applicazione, cioè nell'uso che se ne fa.


René Descartes
Prima che Descartes applicasse l'Algebra alla Geometria, i principi e la metafisica della Geometria erano perfettamente noti ed evidenti. Tuttavia questa applicazione ha enormemente aumentato le nostre conoscenze scientifiche, e si è estesa a tutte le operazioni di questa scienza. Anche gli antichi conoscevano l'infinito e la metafisica dell'infinito era loro familiare. Ma l'odierna applicazione del calcolo a questo infinito ci ha posto al di sopra degli antichi, e ci ha procurate tutte queste nuove scoperte.

Archimede, Apollonio, Viviani, Gregorio di Saint-Vincent hanno conosciuto l'infinito. Ne hanno tratto i loro metodi di approssimazione e di esaustione e se ne sono serviti per quadrare e rettificare alcune curve. Me queste conoscenze dell'infinito, senza l'applicazione del calcolo, hanno dato soltanto alcuni metodi, spesso confusi e sempre limitati a casi abbastanza semplici. Soltanto il calcolo poteva dare un metodo generale, perchè comprende tutto e tutto permette. E la Geometria, che precede il calcolo, è diventata ora meno necessaria e forse è stata un po' troppo trascurata.
Gli antichi studiosi di Geometria hanno considerato le curve come poligoni composti da lati infinitamente piccoli e hanno inscritto e circoscritto, attorno alle curve, figure composte da parti finite e note di cui hanno aumentato il numero e diminuito la grandezza all'infinito. Sono stati così in grado di poter misurare alcune curve.
Cavalieri e, venti anni dopo di lui, Fermat e Wallis sono stati i primi ad applicare le idee di calcolo a questa Geometria dell'infinito. I loro metodi di addizionare sono diventati i primi germi del procedimento del calcolo, sviluppatosi in seguito. Tuttavia Cavalieri non aveva seguito la via esatta benchè avesse idee che, ridotte al calcolo reale, avrebbero dato i loro frutti. Cavalieri considera la retta come una parte indivisibile della superficie, la superficie come una parte indivisibile del solido e cerca la misura delle superfici e dei solidi attraverso infinite somme di rette e di superfici. I risultati del suo metodo sono buoni, anzi si tratta di un metodo generale ma pur con questo vantaggio non riesce ad andare più in là degli antichi, non dà nulla di nuovo. Egli stesso riconosce al suo metodo il solo merito di accordarsi perfettamente con la verità della Geometria antica.
Fermat fece un gran passo avanti: trovò il modo di calcolare l'infinito e diede un metodo eccellente per la ricerca dei massimi e dei minimi, metodo che -salvo qualche differenza di annotazione- è quello usato oggi e che sarebbe diventato il calcolo differenziale (se il suo autore l'avesse generalizzato).
Wallis seguì un'altra via: applicò realmente l'Aritmetica alle idee dell'infinito e ridusse in successioni infinite le frazioni composte. Si servì anche, con risultati abbastanza soddisfacenti, delle successioni aritmetiche per la quadratura e la rettifica delle curve. Tuttavia progrediva a tastoni e, per mancanza di un calcolo sufficientemente efficace e generale, si serviva delle combinazioni, delle qualità particolari e individuali dei numeri ecc. Brouncker e Mercator utilizzarono le teorie di Wallis, ampliando il suo metodo; anzi, per primi, osarono avanzare su quel terreno tracciando la via esatta. Brouncker quadrò l'iperbole mediante una successione infinita, interamente composta di termini finiti e noti; Mercator ne diede la dimostrazione, con la divisione infinita alla maniera di Wallis, come del resto fece James Gregory (quasi nello stesso periodo). Questa è l'epoca della nascita dei nuovi calcoli. Sembra strano che questi studiosi, dopo aver trovato la successione particolare dell'iperbole, non siano arrivati al metodo generale. Se si fossero soffermati a riflettere, avrebbero potuto ottenere, con lo stesso metodo, la quadratura dell'ellissi e del cerchio. Tuttavia non solo non l'hanno trovata, ma sembra che non abbiano neppure usato la teoria delle successioni infinite per scopi diversi da quelli della quadratura dell'iperbole. Ma è anche vero che Newton non diede loro il tempo."

Le idee di Newton sul nuovo calcolo furono pubblicate per la prima volta nei Principia, pubblicati nel 1687. All'inizio del libro, sono indicate chiaramente le sue idee sul calcolo differenziale ed integrale nel metodo delle "prime e delle ultime ragioni", metodo che usa talvolta al posto di quello degli antichi, certamente assai preciso, ma anche molto complesso. Soltanto nel 1711 Newton farà stampare il saggio "De analysis per aequationes numero terminorum infinitas" (scritto nel 1669) mentre il Tracatus de quadratura curvarum del 1676 uscirà in appendice alla prima edizione dell'opera sull'Ottica. Quanto al Metodo delle flussioni e delle serie infinite, scritto già in lingua latina nel 1676, sappiamo che sarà pubblicato in edizione inglese soltanto nel 1736, dopo la morte dell'autore.


John Wallis
La differenza tra la concezione newtoniana del calcolo e quella del metodo degli indivisibili, risulta chiaramente da uno scolio al capitolo dei Principia 1 sul moto dei corpi: "… si sarebbero ottenute dimostrazioni più corte di quelle da me date, facendo uso del metodo degli indivisibili: Ma poichè l'ipotesi degli indivisibili è molto discutibile, e perciò il metodo che ne deriva è poco geometrico, mi è parso preferibile dedurre le mie dimostrazioni col metodo delle prime ed ultime ragioni (…).

E quando, in seguito, considererò delle quantità come composte di particelle determinate - così se prenderò per rette delle piccole porzioni di curva - non intenderò che tali quantità siano indivisibili ( …) [perchè] la natura non conosce limiti (…), ma bensì delle quantità divisibili evanescenti; e per somme e rapporti non intenderò somme e rapporti determinati, ma limiti di somme e rapporti".
Le sistemazioni che Newton ideò per il calcolo infinitesimale furono due: il cosiddetto calcolo delle flussioni e quello delle prime ed ultime ragioni. Malgrado la maggior speditezza di quello rispetto a questo e sebbene proprio il calcolo delle flussioni abbia costituito il primo risultato delle ricerche matematiche giovanili di Newton, è comunque degno di nota che nei Principia egli abbia posto a fondamento della sua trattazione meccanica il metodo delle prime ed ultime ragioni. Questo metodo, infatti, sembrava più accettabile anche dai matematici più ligi alla tradizione classica (in quanto situato, per così dire, a metà strada tra la via moderna e quella archimedea) e Newton non voleva compromettere il successo delle proprie concezioni meccanico-astronomiche legandole ad un tipo di trattazione matematica troppo innovatrice.
Dal punto di vista storico, va comunque riconosciuto che anche il metodo delle prime ed ultime ragioni conteneva non poche novità. Se sotto l'aspetto del calcolo non reggeva il confronto con il metodo delle flussioni, molto più agile, sotto l'aspetto concettuale era ricco di idee altrettanto profonde. Va in particolare rilevata la consapevolezza critica dimostrata da Newton nel definire i concetti stessi di "prima" o di "ultima" ragione.
Scrive nella sezione prima del primo libro dei Principia: "si obietta che non esiste l'ultimo rapporto di quantità evanescenti, in quanto esso, prima che le quantità siano svanite, non è l'ultimo, e allorchè sono svanite non c'è affatto. Ma con lo stesso ragionamento si può giustamente sostenere che non esiste la velocità ultima di un corpo che giunga in un certo luogo, dove il moto finisce. La velocità, infatti, prima che il corpo giunga nel luogo non è l'ultima, e quando vi giunge non c'è. La risposta è facile: per velocità ultima si intende quella con la quale il corpo si muove, non prima di giungere al luogo ultimo nel quale il moto cessa, nè dopo, ma proprio nel momento in cui vi giunge: ossia quella stessa velocità con la quale il corpo giunge al luogo ultimo e con la quale il moto cessa. Similmente, per ultime ragioni delle quantità evanescenti si deve intendere il rapporto delle quantità non prima di diventare nulle e non dopo, ma quello col quale si annullano. Del pari, anche la prima ragione delle quantità nascenti è il rapporto col quale nascono (…). Si può anche obiettare che se vengono date le ultime ragioni di quantità evanescenti, saranno date anche le ultime grandezze, e in tal modo ogni quantità sarà costituita da indivisibili, contro quanto Euclide dimostrò circa gli incommensurabili nel decimo libro degli Elementi. Questa obiezione però si basa su una falsa ipotesi. Le ultime ragioni con cui quelle quantità si annullano non sono in realtà le ragioni delle ultime quantità, ma i limiti ai quali le ragioni delle quantità decrescenti si avvicinano sempre, illimitatamente, e ai quali si possono avvicinare per più di qualunque differenza data, e che però non possono mai superare, nè toccare prima che le quantità siano diminuite all'infinito".
Nel Tractatus de quadratura curvarum (Londra, 1704) compaiono i concetti fondamentali di fluenti e di flussioni; le fluenti sono grandezze funzioni del tempo e le flussioni sono le loro derivate rispetto al tempo. Nel Tractatus 2, Newton scrive: "considero in questo lavoro le grandezze matematiche, non come costituite da parti piccole a piacere, ma come generate da un moto continuo (…). Considerando dunque che quantità generate, crescendo in tempi uguali, riescono maggiori o minori secondo la velocità maggiore o minore con cui crescono, ho cercato un metodo per determinare le grandezze dalle velocità dei moti o degli incrementi con cui si generano; chiamando flussioni queste velocità di accrescimento e fluenti le quantità generate, giunsi a poco a poco negli anni 1665 e 1666 al metodo delle flussioni, del quale qui faccio uso nella quadratura delle curve".
Per indicare le flussioni, Newton adotta un simbolismo che è rimasto nell'uso in Meccanica razionale per indicare le derivate rispetto al tempo. Detta per esempio s la grandezza fluente, indica con s con un punto posto sopra il simbolo la sua flussione o velocità con cui cresce, quantità che diventerà poi la nostra derivata.
Sorgono poi, subito, due problemi fondamentali: calcolare il valore delle flussioni, o più esattamente il loro reciproco rapporto, quando si sa che le fluenti sono legate l'una all'altra da certe equazioni algebriche, e viceversa calcolare il valore delle fluenti quando sono note le relazioni esistenti fra le loro flussioni. Si tratta cioè dei due ben noti problemi che oggi indichiamo come calcolo delle derivate e calcolo degli integrali.
Newton vede esattamente il legame che intercede tra derivazione ed integrazione e comprende che, mentre la flussione è perfettamente determinata allorchè è data la fluente, la fluente ricavata da una flussione è invece determinata soltanto a meno di una costante arbitraria.
Newton determina quindi diverse curve che si possono quadrare determinando funzioni di cui l'integrale sia già noto.


Gottfried Wilhelm Leibniz
Consideriamo ora la prima Memoria del calcolo differenziale, opera di Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus.3 In questa Memoria, pubblicata nel 1684 a Lipsia, si espone per la prima volta il calcolo differenziale, sostanzialmente nella stessa forma e con le stesse notazioni in uso anche oggi. Successivamente viene introdotto da Leibniz anche il simbolo di integrale sotto la forma attualmente usata. Secondo Leibniz "ai simboli è da richiedere che essi si prestino alla ricerca; ciò succede principalmente quando esprimono in modo coinciso e quasi dipingono l'intima natura della cosa, perché essi allora risparmiano mirabilmente lo sforzo del pensiero".

Leibniz ha fissato soprattutto in maniera sistematica la regole della derivazione (derivate del prodotto, del quoziente, della funzione di funzione e della funzione inversa, nonché derivate delle funzioni più semplici) usando un simbolismo espressivo che è stato adottato dopo di lui dai matematici del continente ed ha finito poi coll'imporsi anche in Inghilterra, dove si era conservata per circa un secolo la tradizione del linguaggio newtoniano. La derivazione della funzione y=f(x) viene considerata come quoziente di due "differentiae" o (come si è detto in seguito, secondo Bernoulli) di due differenziali: dy/dx cioè dell'incremento infinitesimo della funzione fratto quello della variabile indipendente. Se questi infinitesimi vanno intesi soltanto in senso potenziale, cioè come quantità variabili evanescenti, oppure staticamente come infinitesimi attuali, non appare chiaramente. Sembra che Leibniz comprendesse che l'infinitesimo potenziale è sufficiente alla costruzione del calcolo ma, d'altra parte, ragioni metafisiche portavano nella sua mente l'infinito e l'infinitesimo attuale: "je suis tellement pour l'infini actuel qu'au lieu d'admettre que la nature l'abhorre, comme l'on dit vulgairement, je tiens qu'elle l'affecte patout pour mieux marquer la perfection de son Createur".
In assenza di una più rigorosa descrizione dei risultati dell'Analisi mediante l'idea di "passaggio al limite", Leibniz continuò a parlare degli infinitesimi dx come di "finzioni" utili all'arte dell'invenzione matematica, come entità immaginarie non corrispondenti per necessità a cose attualmente esistenti al di fuori della mente che le concepisse. Invece degli infinitesimi -scriveva- si sarebbero potute utilizzare espressioni del tipo "piccolo quanto occorre affinchè l'errore sia più piccolo di qualsiasi errore assegnato" ovvero, all'infinito attuale che interveniva nei procedimenti matematici coinvolgenti l'infinitesimo, era sostituibile l'infinito potenziale delle dimostrazioni per esaustione di
Eudosso ed Archimede. Lo stesso Leibniz era consapevole di certe anomalie e ambiguità connesse con l'uso di incrementi infinitamente piccoli. "Tali incrementi -osservava- non possono essere esibiti da alcuna costruzione. Io sono in effetti in accordo con Euclide (5 def del libro V) che solo quelle quantità omogenee sono raffrontabili, di cui l'una può diventare più grande dell'altra se moltiplicata per un numero, cioè un numero finito. Io asserisco che le entità la cui differenza non rientra in questa specie di quantità sono uguali (…). Ciò è precisamente quello a cui alludo dicendo che la differenza è più piccola di ogni quantità assegnata".
Nella monografia di Leibniz del 1684, si trova il metodo per differenziare ogni specie di funzioni razionali, irrazionali, intere e frazionarie. Nel 1786, in una seconda monografia, si trovano le regole fondamentali del calcolo integrale. Bisogna aggiungere che, se Leibniz fino dall'inizio delle sue ricerche era riuscito a identificare il problema inverso delle tangenti con quello della quadratura, cioè della integrazione, ciò era pure una diretta conseguenza della sua idea del calcolo differenziale.
Il suo metodo di integrazione non era quello della sommazione diretta ma un metodo sinottico che, ad ogni linea del quadro delle derivate (calcolate direttamente) faceva corrispondere, mediante la lettura immediata, l'integrale corrispondente, indefinita o primitiva. La sua notazione dell'integrale, il segno , che suggerisce la definizione geometrica di sommatoria, è giunta a noi col successo che conosciamo.
Questo simbolo fu ideato per rappresentare la somma di tutti gli indivisibili che riempiono un'area (in un primo tempo aveva provato ad utilizzare una notazione che poi abbandonò: omn abbreviazione del termine omnes lineae utilizzato da
Cavalieri, cioè tutti gli indivisibili). Quindi se l è l'ordinata di una curva, ne dà la quadratura; il simbolo aumenta di uno il numero delle dimensioni della quantità su cui si opera. Egli scrive in un manoscritto del 1675:4 "Dato l e la sua relazione con x trovare . Ciò è da ottenersi dal calcolo inverso, cioè in altri termini dal supporre = ya. Sia l = ya/d ; allora così come aumenterà, d diminuirà le dimensioni. ma significa una somma e d una differenza. Da y dato possiamo sempre trovare y/d, cioè la differenza delle y". Qualche tempo dopo sostituirà il primitivo simbolo y/d con dy giacchè: "dx e x/d sono la stessa cosa, cioè la differenza tra due x prossime tra loro".

La sistemazione dei simboli fu per la Matematica veramente essenziale e fu uno dei principali contributi di Newton e Leibniz allo sviluppo dell'Analisi. Tale sistemazione era un compito tutt'altro che facile: comportava tutta la riorganizzazione generale della materia, l'esatta enunciazione delle regole da usarsi per le varie operazioni, la precisazione delle analogie e differenze fra i simboli della nuova disciplina e quelli dell'algebra delle grandezze finite. La storia dell'Analisi infinitesimale ci dimostra che il primo passo per il costituirsi di una nuova disciplina è la sua sistemazione simbolico- operativa. Ciò che merita di venire sottolineato è che Leibniz fu subito ben consapevole dei vantaggi di una notazione sistematica, mentre Newton sembra averle attribuito poca importanza, quasi che abbia introdotto tali notazioni solo per comodità personale.