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MENGOLI



La mancanza di un assetto logico della teoria degli indivisibili non aveva preoccupato molto Cavalieri, ma aveva fornito ai suoi oppositori un valido argomento di critica. Questo costituì il tormento di un suo allievo:
Pietro Mengoli (1626-1686), successore di Cavalieri nella cattedra dell'Ateneo bolognese, che nella sua Geometria speciosa (Bologna 1959), iniziò contemporaneamente a J. Gregory lo sviluppo di quella teoria dei limiti che è il fondamento indispensabile della moderna Analisi matematica. Per mezzo di essa, pervenne ad una rigorosa definizione di integrale definito per le funzioni continue, definizione che coincide con quella data da Cauchy un secolo e mezzo più tardi.
Mengoli, si propose di fondare su basi rigorose i risultati infinitesimali, senza tuttavia fare uso dell'infinito e dell'infinitesimo attuali e quindi evitando l'uso degli indivisibili. Formatosi sotto l'influsso di Cavalieri e
Torricelli e continuando le loro ricerche sugli indivisibili e sulle aree sottostanti le iperboli, imparò a trattare tali problemi servendosi di un metodo la cui utilità apparve evidente solo allora: l'uso delle serie infinite.
Mengoli nelle Novae quadrature arithmeticae, pubblicate a Bologna nel 1650, si ispirava al modello geometrico fornito dall'iperbole xy=1 nel tentativo di trovare condizioni di convergenza per l'integrale:

e nel corso di queste ricerche giunse a stabilire che la serie armonica

è divergente mentre si rese conto, per esempio, che la somma della serie armonica in cui si alternano i segni è uguale a ln2. Diede il nome alla serie

che viene appunto detta serie di Mengoli che converge ad uno.
Utilizzando questi metodi arrivò a dare la definizione rigorosa di integrale definito. Il procedimento utilizzato è il seguente: innanzi tutto definisce "forma" il trapeziode costituito da tutte le ordinate di una curva y=f (x), avente come lati due segmenti paralleli uno sulla retta x=a ed uno sulla retta x=b, il segmento dell'asse x di estremi A e B e l'arco di curva y=f(x) corrispondente a tale segmento. Divisa in n parti uguali la base del trapezoide sull'asse delle ascisse, siano xi ed xi+1 le ascisse degli estremi di uno di questi intervalli, mi ed Mi il minimo ed il massimo assunti dalla funzione nell'intervallo considerato (dava per scontata l'esistenza del minimo e del massimo della funzione in questi intervalli; infatti studiava solamente funzioni continue; in seguito tale problema verrà risolto dal teorema di Weierstrass).
Abbiamo allora tre figure formate da rettangoli, le misure delle quali tendono alla misura della forma:
area della figura inscripta:

figura circumscripta:

figura adscripta:

oppure:




Mengoli dimostra che:

Essendo:

anche σn tende al limite comune di (sn ) ed (Sn).
Ma anche la forma è compresa tra le figure inscripta e circumscripta, quindi la misura della forma è data dal precedente limite.
Il metodo utilizzato da
Mengoli è sostanzialmente il metodo di esaustione in cui, per calcolare l'area sottostante la curva, si utilizzano delle figure inscritte e circoscritte ma egli, mediante le serie infinite, cerca di introdurre un maggior rigore.
Se per esempio volessimo calcolare l'area delimitata dalla parabola y=x2 e dalle rette y=0, x=0, x=b, con questo procedimento dovremmo suddividere l'intervallo [0,b] in n parti 0=x0<x1<<xn=b. Consideriamo poi l'insieme dei rettangoli "inscritti", ciascuno di essi ha base di lunghezza b/n ed altezza f(b/n) calcolata nel primo estremo dell'intervallo che costituisce la base del rettangolo (infatti la funzione considerata è crescente):


cioé raccogliendo a fattor comune:




Se consideriamo poi l'insieme dei rettangoli "circoscritti", ciascuno di essi ha base di lunghezza b/n ed altezza f(b/n) calcolata però nel secondo estremo che costituisce la base di tali rettangoli:


Raccogliendo a fattor comune:


Se facciamo tendere n ad infinito, sia sn che Sn tendono a b3/3 che è l'area richiesta.