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TORRICELLI


Nel 1647, anno della morte di Cavalieri, moriva anche un altro discepolo di Galileo: Evangelista Torricelli (1608-1647), che fu anche allievo di padre Castelli. Per molti aspetti, Torricelli rappresenta la nuova generazione di matematici che fecero rapidi progressi nella costruzione dell'Analisi infinitesimale, che Cavalieri aveva abbozzato in maniera talvolta generica.
Il metodo degli indivisibili proposto da Cavalieri, che aveva trovato in
Galileo un interlocutore attento anche se sostanzialmente poco convinto, doveva rivelarsi infatti nella sua importanza grazie a Torricelli.
Così egli li giudicava, infatti, nelle Lezioni accademiche : "la nuova teoria degli indivisibili va per le mani dei dotti come miracolo di scienza, e per essa ha imparato il mondo che i secoli di Archimede e di Euclide furono gli anni d'infanzia per la scienza della nostra adulta geometria".
Non solo Torricelli accettò il ricorso agli indivisibili ma ampliò questa nozione, includendovi gli indivisibili curvilinei oltre a quelli rettilinei, completò alcuni risultati di Cavalieri e ne aggiunse di nuovi quali, ad esempio la prima rettificazione di curve piane e le formule per la determinazione di certi baricentri. Arrivò anche alla considerazione di quelli che oggi si chiamano integrali definiti generalizzati o impropri e, attraverso riflessioni cinematiche, oltre a pervenire al concetto di integrale indefinito, percepì la stretta relazione esistente tra il problema della quadratura (cioè del calcolo delle aree) e quello delle tangenti. Pur conservando sempre una grande devozione per Galileo, seppe dimostrare nei suoi riguardi la dovuta indipendenza, rettificandone con profonda originalità parecchie vedute. Purtroppo una morte prematura gli impedì di raggiungere quelle altissime vette di cui il suo intelletto era capace.

Tycho Brahe

In una lettera a Galileo, comunica di aver studiato 1 "minutissimamente e continuamente sino al presente giorno il libro di V. S. [i dialoghi] con quel gusto che Ella si puol immaginare" e al tempo stesso afferma di "avere bene praticata tutta la geometria" classica e le opere più recenti di Tycho Brahe e di Kepler, dichiarandosi "di professione e di setta Galileista".

Nelle sue ricerche matematiche Torricelli pervenne, tra l'altro, ad alcuni teoremi sul calcolo delle aree e dei volumi che, non entrati immediatamente nel patrimonio culturale dell'epoca, richiesero tempo e fatica per venire riscoperti dagli analisti stranieri, durante la seconda metà del secolo. La causa va ricercata sia nella forma oscura utilizzata da Torricelli per esporre i propri risultati, sia nell'incompiutezza in cui fu costretto a lasciarli, sia nell'imperizia di chi ebbe il compito dopo la sua scomparsa di riordinarne gli appunti. Solo nel secolo scorso gli storici della Matematica, ricostruendo i suoi scritti, hanno potuto precisare i notevoli risultati da lui conseguiti.

Il principio fondamentale degli indivisibili curvi si può esprimere nel modo seguente: per confrontare due figure, intersechiamo la prima, che è racchiusa da un sistema di curve e la seconda che è racchiusa da un sistema di rette parallele: se ogni indivisibile curvo della prima figura è corrispondente ad un indivisibile rettilineo della seconda figura, cioè se ogni trapezoide infinitesimo della prima figura è equivalente al quadrangolo infinitesimo della seconda, le due figure hanno la stessa area. Il procedimento in pratica corrisponde a confrontare un integrale in coordinate curvilinee con un integrale in coordinate cartesiane.

Come esempio di applicazione di questo metodo calcoliamo l'area compresa tra l'arco di spirale ed il segmento AB.
Traducendo in parte in linguaggio moderno il pensiero di Torricelli, per motivi di semplicità, consideriamo la parabola ABD di equazione y=kx(a-x) e la spirale di Archimede BIEA di equazione: θ=k(a-p) .
Per ogni punto H del segmento AB si ha, ponendo x=h, HL=kh(a-h)
Indicando con I il punto in cui la circonferenza di centro A e raggio h incontra la spirale, si ottiene:

HAI = k(a-h) , HI = kh(a-h)

Confrontando le due si conclude che tutte le ordinate della parabola sono uguali in lunghezza rispettivamente a tutti gli archi HI di circonferenza, dove I è un punto della spirale.
Si conclude allora che l'area del segmento parabolico è uguale a quella compresa fra la spirale ed il segmento AB.
Va però notato che
Torricelli, pur utilizzando largamente gli indivisibili rettilinei e curvilinei, continuò spesso ad applicare il metodo classico.

Si comprende facilmente che i procedimenti degli indivisibili, usati in modo maldestro, potevano condurre all'assurdo. Esempi di uso errato degli indivisibili vennero proposti al Cavalieri e al Torricelli dagli oppositori del loro metodo e vennero escogitati da loro stessi per prevenire obiezioni o per meglio approfondire la natura del loro procedimento.
Le difficoltà nascevano dal fatto che non c'era una base rigorosa. Tuttavia gli scienziati dell'epoca apparivano convinti che c'era una verità, anche se non erano ancora in grado di codificarla rigorosamente. A tal proposito è estremamente significativa la frase di
Pascal che nel 1658 scriveva: "tout ce qui est demontré par les veritables regles des indivisibles se démontrera aussi à la rigueur et à la manière des anciens. Et c'est pourquoi je ne ferai aucune difficulté, dans la suite, d'user ce language".
Questa espressione testimonia il grado di fiducia che Pascal aveva nella ragione umana capace comunque di cogliere la verità anche senza avere la consapevolezza dell'esattezza del metodo (che si avrà in un momento successivo).
Nella produzione matematica di Torricelli, si alternano i lavori eseguiti con il metodo di esaustione degli antichi e quelli eseguiti col metodo degli indivisibili. Tuttavia il suo atteggiamento nei confronti dell'infinito matematico è diverso da quello dei matematici alessandrini: considera infatti, come esistenti nel mondo del pensiero, punti all'infinito.
Un risultato di notevole importanza fu, per esempio, l'estensione del concetto di integrale a funzioni che sono infinite nei punti di accumulazione nel dominio di integrazione oppure domini di integrazione infinitamente estesi. Consideriamo, per esempio, l'iperbole di equazione:

xy=2k2

e la superficie S delimitata da un ramo dell'iperbole, dagli assi cartesiani e dal segmento AB.

Torricelli dimostrò che tale area è infinita, risolvendo l'integrale:

Facendo ruotare la superficie S attorno all'asse delle ordinate, si dimostra che il volume del solido infinitamente lungo così ottenuto è uguale a quello di un cilindro di raggio 2k ed altezza OA. Infatti si considera il solido come la totalità degli involucri cilindrici aventi per asse l'asse delle ordinate, raggio di base x ed altezza y=2k2/x: Gli involucri cilindrici hanno superficie laterale:

Sl=2πxy=4πk2=π(2k)2

Ciascuno di essi ha area uguale a quella di un cerchio di raggio 2k.
Secondo il principio degli indivisibili curvi, il volume del solido considerato è dunque uguale ad S1* OA, cioè a quello del cilindro di raggio di base 2k e altezza OA.
Nel calcolo del volume di questo solido iperbolico, che Torricelli chiama "acutissimo", egli considera gli indivisibili curvi2 "che nelle figure piane sono le periferiche dei circoli, e nelle figure solide, sono superfici sferiche, cilindriche e coniche".
Mediante essi, dimostra quindi che "il solido acuto iperbolico infinitamente lungo, tagliato con un piano perpendicolare all'asse, insieme con il cilindro della sua base, è uguale ad un cilindro retto, la cui base sia il lato verso, ovvero l'asse della iperbola, e la cui altezza sia uguale al semidiametro della base del solido acuto". In termini moderni, abbiamo un primo esempio di calcolo di un integrale improprio e a ragione Torricelli affermava che si tratta di "un problema che, a degli aspiranti geometri, sembrerebbe non solo difficile, ma addirittura impossibile".
La notizia riempì di ammirazione
Cavalieri:3 "Mi giunge la lettera di V.S. M. Rev.do in tempo che io stavo nel letto con febbre e gotta… ho però goduto al dispetto del male dè saporitissimi frutti del suo ingegno, essendomi riuscito infinitamente ammirabile quel solido iperbolico infinitamente lungo, ed uguale a un corpo quanto a tutte e tre le dimensioni finito, ed avendolo io comunicato ad alcuni miei scolari filosofi, hanno confessato parergli veramente meraviglioso, e stravagante, che ciò possa essere".
Torricelli passò poi all'esame delle curve xnyn=cn e stabilì in quali casi superfici e volumi di rotazione di solidi di "lunghezza infinita" risultano finiti, stabilendo così le condizioni di convergenza (o esistenza infinita) dei relativi integrali generalizzati.

Ma, mentre i calcoli di aree e volumi conducono al calcolo degli integrali definiti, la considerazione della relazione che lega la velocità allo spazio percorso porta allo studio dell'integrale variabile in funzione dell'estremo superiore, cioè all'introduzione delle cosiddette funzioni integrali che noi oggi esprimiamo con la formula

(1)

dove s indica lo spazio e v la velocità.
Da ciò si apre il vasto orizzonte del legame tra integrazione e derivazione.4 Occorre ricordare i Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze di
Galileo nei quali rappresenta il moto uniformemente vario mediante il seguente diagramma, tramite il quale riesce a dimostrare che il tempo impiegato per percorrere uno spazio prefissato sarà uguale al tempo impiegato per percorrere lo stesso spazio di moto uniforme con velocità uguale alla metà della velocità raggiunta.

Se pongo in A l'origine, sia E il punto relativo all'istante t, B il punto sull'asse dei tempi di ascissa t, lo spazio percorso dall'istante 0 all'istante t è misurato dall'area del triangolo BAE, cioè s=1/2gt2. Volendo applicare in questo caso la formula data più tardi si scriverebbe:

che corrisponde alla (1) precedentemente vista, qualora il moto sia uniformemente accelerato e la velocità v sia uguale al prodotto dell'accelerazione costante per il tempo t .
Esaminando la dimostrazione data da
Galileo, constatiamo che essa si basa sulla rappresentazione del generico intervallo di tempo mediante un segmento AB, dove ad ogni punto di questo corrisponderà un istante dell'intervallo considerato. Se ora, a partire da ciascun punto di AB, tracciamo un segmentino (perpendicolare ad AB) che misuri la velocità posseduta dal mobile nell'istante corrispondente al punto stesso, ne risulta che tutti questi segmentini riempiranno il triangolo ABE, avente come base il segmento AB (che rappresenta il tempo) e come altezza il segmento BE che rappresenta la velocità nell'istante finale.
Galileo riuscì a dimostrare che il tempo impiegato dal mobile a percorrere uno spazio prefissato sarà uguale al tempo che verrebbe impiegato a percorrere lo stesso spazio da un altro mobile in moto rettilineo uniforme con velocità (costante) uguale alla metà della velocità finale.
La rappresentazione di questo secondo moto sarà data dal rettangolo ABFG avente per altezza BF = 1/2 BE .
Essendo s=vt con vfinale=gt, allora la velocità costante del moto uniforme sarà v=1/2gt da cui, sostituendo, è s=1/2gt2 dove g rappresenta l'accelerazione costante a cui sono sottoposti i gravi in caduta libera.

Isaac Barrow

Le ricerche di Galileo furono proseguite da Torricelli nel De motu gravium pubblicato nel 1644. Considerando i due diagrammi dello spazio e della velocità in funzione del tempo, Torricelli constatò che le ordinate della curva degli spazi percorsi sono proporzionali alle aree racchiuse dalla linea delle velocità, mentre le ordinate dei punti della curva della velocità sono i coefficienti angolari delle tangenti della curva degli spazi.

 

Viene così verificato, da un punto di vista meccanico, il legame tra le operazioni di integrazione e derivazione, noto sotto il nome di teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale.
Barrow, infatti, aveva ideato un metodo per trovare le tangenti ad una curva che era semplicemente la controparte geometrica della ricerca del tasso di variazione. In precedenza erano stati incontrati molti casi in cui l'integrale poteva essere trovato invertendo il processo di derivazione, ma il vero significato non era stato capito. Torricelli si accorse, in casi particolari, che il problema del tasso di variazione era essenzialmente l'inverso del problema dell'area. Ciò era implicito, in effetti, nel risultato di Galileo secondo cui l'area compresa sotto il grafico della velocità in funzione del tempo fornisce lo spazio percorso. Torricelli, però, non si accorse del fatto generale, mentre Barrow nelle Lectiones geometricae presentò la relazione tra la tangente ad una curva e il problema dell'area ma non ne riconobbe la portata.
L'importanza di tale teorema poteva venire valutata pienamente solo dopo la scoperta di regole generali facili per il calcolo delle derivate.

Se dunque Torricelli assimila e fa proprio in maniera geniale il metodo degli indivisibili, "il quale è un vero modo scientifico di dimostrare, diretto, e, per così dire naturale", mostra al contrario scarsa sensibilità per la teoria costruita da Cavalieri, complessa, a volte involuta, continuamente percorsa e animata da esigenze di sistematicità e generalità delle proposizioni enunciate e dimostrate. Così, resta apparentemente senza risposta la richiesta di Cavalieri a Torricelli di "una proposizione generale, che dimostrasse l'egualità di due figure, piane e solide, quando i loro indivisibili curvi, e diversi sono eguali".
A Torricelli basta poter scoprire e dimostrare teoremi con il metodo degli indivisibili che "non è da trascurare, soprattutto perchè si rivela della massima importanza nella trattazione dei problemi più difficili". Tuttavia, "per soddisfare anche il lettore poco amico degli indivisibili", ripete le dimostrazioni alla maniera degli antichi, un modo "il quale è bensì più lungo, ma non per questo, secondo me più sicuro". Non c'è dubbio comunque che "la dottrina degli indivisibili sia la vena e la miniera inesausta delle speculazioni belle e delle dimostrazioni a priori" scrive a Cavalieri nel 1643, e "muove a compassione la vecchia Geometria, la quale non conoscendo oppure non ammettendo gli indivisibili, nello studio della misura dei solidi scoprì così poche verità, che una penosa povertà di idee è perdurata fino all'età nostra".

Torricelli scomparve dopo una breve malattia all'età di 39 anni. I suoi manoscritti subirono una serie di sfortunate vicende e tutto ciò contribuì a diminuire l'influenza delle sue geniali scoperte. Tale influenza sullo sviluppo dell'Analisi matematica fu comunque notevole, tanto che Leibniz scriveva: 5 "della geometria più sublime furono iniziatori e promotori, ed operarono valorosamente in essa Cavalieri, Torricelli; altri poi, giovandosi dei loro soccorsi si fece più innanzi".
Citando Castelnuovo:6 "abbiamo già detto che non esiste un fondatore del calcolo infinitesimale, ma che vari matematici hanno contribuito alla sua scoperta. Potrebbe chiedere il lettore quali tra i molti si siano più avvicinati alla meta prima di Newton e Leibniz. Pur avvertendo che un siffatto giudizio è necessariamente soggettivo, voglio qui segnalare i nomi di
P. Fermat ed E. Torricelli".
Frattanto le idee di Cavalieri erano giunte in Francia e furono utilizzate da Fermat che calcolò l'integrale di x elevato a potenza ennesima riuscendo a darne una interessante trattazione che appare indipendente da quella di Cavalieri e Torricelli. Un ulteriore progresso si ebbe poi con l'Arithmetica infinitorum di John Wallis (1616-1703) pubblicata nel 1655, in cui vengono utilizzate principalmente le serie infinite. Egli estende la formula da n intero a n fratto e dimostra la celebre formula7: