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CAVALIERI


Bonaventura Cavalieri, entrato nell'ordine dei Gesuiti non ancora sedicenne, fu trasferito a Pisa dove aveva seguito le lezioni di Matematica di padre Benedetto Castelli, uno dei primi allievi di Galileo. Di fatto è proprio a Galileo che Cavalieri si rivolge come al proprio maestro, comunicandogli i primi risultati delle sue ricerche geometriche, i progressi compiuti e i dubbi che via via si presentano ,in un fitto carteggio che durò più di venti anni. "Vado dimostrando alcune proposizioni d'Archimede diversamente da lui, et in particolare la quadratura della parabola, divers'ancora da quello di V.S." annuncia Cavalieri al maestro nel 1621.
Cavalieri fu anche stimolato nelle sue ricerche dalla Stereometria doliorum di Keplero in cui erano stati calcolati aree e volumi, suddividendo i corpi in infinite parti infinitesime. La sua fama è legata a uno dei libri più importanti dell'inizio dell'età moderna, la Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, pubblicata nel 1635 dopo esitazioni, riscritture, impedimenti di varia natura e ritardi nella stampa.
Le idee su cui si basa il libro sono essenzialmente quelle di Oresme, Keplero e
Galileo: un'area può essere concepita come formata da linee e che, analogamente, un solido può essere considerato come composto dalle sue sezioni. Notiamo anche che questo era lo stesso ragionamento che Archimede stesso aveva utilizzato nel suo Metodo, che a quella data non era ancora stato scoperto.
Il problema, quindi, è sempre il medesimo: ricavare le proprietà della figura nella sua interezza partendo dalle proprietà delle parti infinitesime che la compongono. Il proposito di
Cavalieri è quello di indicare una strada che, pur introducendo il concetto non classico di "indivisibile", si avvicini il più possibile alla limpidezza argomentativa dei greci.
Continua la lettera di Cavalieri a
Galilei: supponiamo di aver tirata in una figura piana una retta qualunque e poi tutte le parallele possibili1, "chiamo queste linee così tirate tutte le linee di quella figura". Analogamente per un solido si definiscono "tutti i piani di quel solido".
Può confrontare le proprietà di due figure (ad esempio, le aree di due superfici o i volumi di due solidi) sulla base del rapporto fra gli indivisibili staccati dall'una e dall'altra sopra un medesimo fascio di rette parallele o di piani paralleli. Il procedimento consiste cioè nell'accoppiare sistematicamente gli elementi di una configurazione con i corrispondenti elementi di un'altra configurazione. Il metodo generale e la sua apparente plausibilità sono bene illustrati nella proposizione che in parecchi manuali di Geometria solida viene ancora chiamata "il principio del Cavalieri":
Se due solidi hanno uguale altezza, e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in questo rapporto.

Cavalieri però non si preoccupa di definire esattamente quegli indivisibili che costituiscono gli elementi fondamentali sui quali opera, reputando che a lui non convenisse consumare il proprio tempo in questioni e dispute che gli sembravano più filosofiche che geometriche.
Gli indivisibili sono veri infinitesimi riguardo alla figura generata oppure debbono considerarsi come rigorosamente nulli, come sosteneva Zenone di Elea? Sembra che Cavalieri fosse ben conscio che tale dilemma toglie ogni esistenza possibile ai suoi elementi. È per questo motivo che essi rappresentano una comoda finzione.

Comunque Cavalieri tentò di giustificare i suoi principi in due modi diversi: nel primo di questi le figure vengono considerate come fluenti attraverso il moto (flussione) dei loro indivisibili, mentre nel secondo fa appello più direttamente alla nozione di infinitesimo.
Nel primo, le superfici e i corpi possono essere immaginati come generati dal moto di una linea o di una superficie; quindi una figura piana può essere concepita come un tessuto formato da fili o da segmenti rettilinei, tutti tra loro paralleli, e una figura solida come un libro, vale a dire come costituita da tanti fogli paralleli. Quei fili e quei fogli sono appunto gli indivisibili.

Cavalieri dice inoltre di non ricorrere all'infinito attuale, ma su questo punto il suo linguaggio è oscuro.
L'importanza della ricerca di Cavalieri apparve all'autore stesso, che fino dal novembre 1627, quando aveva già compiuto l'opera che doveva essere stampata soltanto nel 1635, scriveva a
Galileo: "ho perfettionato un'opera di geometria…. Et è cosa nova, non solo quanto alle cose trovate, ma anco al modo di trovarle, da niuno adoperate insin'ora, ch'io mi sappi". S'intende che la novità della considerazione di Cavalieri è relativa, come è chiaro per chi conosce la continuità storica del pensiero. Egli stesso riconosce come suo precursore Keplero e, verosimilmente, deve anche qualche cosa alla suggestioni di Galileo, che riflettè a lungo sugli indivisibili sebbene una sua opera su tale soggetto non sia mai venuta alla luce.

Un tema che affiora spesso nelle obiezioni dei puristi e degli archimedei riguarda la struttura delle grandezze geometriche continue (linee, superfici, solidi) a proposito delle quali essi sostengono l'impossibilità che vengano costruite riunendo grandezze aventi una dimensione in meno. Ecco per esempio ciò che scrive Guldino nella sua critica a Cavalieri: "che dunque quella superficie sia , e in linguaggio geometrico possa chiamarsi tutte le linee di tale figura, ciò a mio avviso non gli sarà concesso da nessun geometra; mai infatti possono essere chiamate superficie più linee, oppure tutte le linee; giacche la moltitudine delle linee, per quanto grandissima essa sia, non può comporre neppure la più piccola superficie."2
La tesi di Guldino si collega al risultato più maturo dei punti nodali del pensiero geometrico: "rispondo che il continuo è divisibile all'infinito, ma non consta di infinite parti in atto, bensì soltanto in potenza, le quali [parti] non possono mai essere esaurite".
La conclusione che egli compie di ogni singolo teorema di
Cavalieri è sempre la medesima: "concludiamo dunque dalle cose che abbiamo addotto che questa proposizione sulle figure piane non è stata in alcun modo dimostrata in maniera valida".
Il bersaglio delle critiche dei puristi è proprio il concetto di vicinanza infinita, che ovviamente sfugge ad ogni tentativo di definizione geometrica seria. Supponiamo di avere in qualche modo accolto nel quadro della Geometria la nozioni di "grandezza infinitesima" (quale ad esempio la distanza fra due punti infinitamente vicini), di "infinità in atto", di "totalità delle linee di una superficie". Sorge ora il problema, non più geometrico ma aritmetico, di instaurare un calcolo coerente ed efficace sugli infiniti e infinitesimi. E come fare a considerare il passaggio dagli infinitesimi al finito costruito come un'operazione matematica lecita?

La possibilità di ottenere un risultato finito, sommando infiniti termini sempre più piccoli, era già stata intravista dai greci (per esempio, Zenone che aveva posto il problema di Achille) che avevano studiato le serie, o almeno alcuni casi particolari. Per il pericolo di cadere nell'assurdo, avevano però utilizzato tali metodi con estrema cautela, adoperando laboriosi artifici. I matematici del Seicento non sono più disposti ad una rinuncia del genere, visto che sempre un numero maggiore di esempi mette in luce l'utilità di questo metodo. Cavalieri in particolare, pur rispondendo alle critiche, non per polemica ma per amore di verità e pur non disprezzando gli approfondimenti filosofici, riteneva che i suoi metodi fossero rigorosi, indipendentemente dall'aver risolto certi problemi di base.

Vincenzo Viviani

È vero che non si sa con chiarezza che cosa si debba intendere per somma di infiniti addendi né tantomeno se tali somme continuino a godere delle proprietà possedute nel caso finito. Comunque considerando i risultati di tali operazioni come valori "veri" che possono venire approssimati in misura sempre più esatta sommando i primi n termini, sempre che questo n venga preso opportunamente grande, si ottiene in molti casi una soluzione dei più ardui problemi.

Cavalieri calcolò aree e volumi e nelle Exercitationes geometricae sex (Bologna 1635) invece, seguendo una via diversa, confrontò, non più singolarmente gl'indivisibili corrispondenti delle due figure, ma la somma degli indivisibili della prima figura con la somma di quelli della seconda. Questo ultimo metodo è quello che più si accosta all'uso del moderno integrale definito.

Diamo, come esempio di applicazione del metodo degli indivisibili, la determinazione dell'area racchiusa dall'ellisse. Consideriamo un'ellisse di asse maggiore 2a ed asse minore 2b ed un cerchio avente come diametro l'asse maggiore dell'ellisse. Si osserva che il cerchio e l'ellisse intercettano, sopra rette perpendicolari all'asse maggiore dell'ellisse, segmenti il cui rapporto è a/b.
Per il principio di Cavalieri, allora, un uguale rapporto deve intercedere fra l'area del cerchio e quella dell'ellisse.
Indicando con A l'area dell'ellisse avremo quindi :

πa2 : A = a : b

quindi: πA=ab.
Cavalieri riuscì anche a risolvere l'integrale che in linguaggio moderno scriviamo come: .
Questo problema si era presentato in forma leggermente diversa a
Galileo nella determinazione degli spazi percorsi dai gravi cadenti con velocità proporzionali ai tempi.
La formulazione e la soluzione di tale questione sono, in
Cavalieri, molto diverse da quelle a noi familiari: infatti egli confronta le potenze dei segmenti di un parallelogrammo di base ed altezza uguali ad a, paralleli alla base con le corrispondenti potenze dei segmenti dell'uno o dell'altro dei due triangoli in cui la diagonale divide il parallelogrammo. Tracciamo la diagonale del parallelogrammo AFDC e sia HE un indivisibile del triangolo CFD, parallelo alla base CD. Prendendo poi BC = FE e, tracciando BM parallelo a CD, si può dimostrare che l'indivisibile BM è uguale a HE.


È pertanto possibile accoppiare tutti gli indivisibili uguali contenuti nel triangolo ACF. I due triangoli sono quindi uguali. Poiché il parallelogrammo è la somma degli indivisibili contenuti nei due triangoli, la somma delle prime potenze dei segmenti contenuti in uno dei triangoli componenti è metà della somma delle prime potenze dei segmenti contenuti nel parallelogrammo; in altre parole :

Con un ragionamento simile, ma molto più complesso, Cavalieri mostrò anche che la somma dei quadrati dei segmenti contenuti nel triangolo era un terzo della somma dei quadrati dei segmenti contenuti nel parallelogrammo.
Infatti, invece di riferirsi all'area della parabola y = x2 , Cavalieri preferisce costruire in corrispondenza di ogni valore della x, un quadrato variabile, sempre su di un piano perpendicolare ad un asse fisso. Si ottengono così infinite piramidi che, al variare di x, hanno volumi proporzionali ai cubi degli spigoli omologhi.
Perciò:

Per i cubi dei segmenti trovò poi che il loro rapporto era ¼. Poi estese la dimostrazione a potenze superiori, giungendo finalmente a formulare, nelle Exercitationes geometricae sex del 1647 l'importante generalizzazione che per le potenze n-esime il rapporto è 1/(n+1), cosa che in linguaggio moderno si scrive:

Le opere di Cavalieri, nelle quali fornì la chiave per eseguire le integrazioni più semplici, raccolsero larghi consensi ed ebbero larga diffusione in Italia ed all'estero. Non mancarono però neppure le più aspre critiche, alle quali l'autore oppose la sua profonda persuasione che il suo metodo si ricollegasse completamente a quello archimedeo e più precisamente a quello di esaustione. Tale convinzione era condivisa anche da Blaise Pascal, che scriveva: "tout ce que est demontrè par la veritable règle des indivisibles se demontre aussi a la rigueur et a la manière des anciens", rispondendo evidentemente ai critici non soddisfatti delle giustificazioni di Cavalieri o di Roberval, che ne aveva ripreso le vedute nelle Lettres de Dettonville (1658).
Cavalieri esercitò una forte influenza sui matematici che dopo di lui hanno segnato le vie del calcolo infinitesimale: Newton riprese da lui le nozioni e i nomi di fluenti e flussioni (derivate); Leibniz utilizzò per l'integrale una esse allungata per indicare la somma degli indivisibili, secondo Cavalieri.