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GALILEO


 

Galileo raccolse tutti i suoi studi in due famosi trattati, uno di contenuto astronomico e uno di contenuto fisico: il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (1632) e i Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638). Sebbene nessuna di queste due grandi opere galileiane avesse un carattere matematico in senso stretto, in entrambe vi sono molti ragionamenti in cui si fa appello alla Matematica, e spesso si fa ricorso proprio alle proprietà dell'infinitamente grande e dell'infinitamente piccolo.
Nelle opere di Galileo affiorano più volte argomentazioni di evidente carattere infinitesimale. Ciò accade soprattutto quando affronta le nozioni di velocità istantanea ed accelerazione. Infatti, decomponendo il tempo di caduta di un grave in piccoli intervalli e immaginando in ciascuno di essi il moto come uniforme, giunse alla legge che regola quel fenomeno.
Egli però si rese ben conto della delicatezza del problema. Infatti, nel dialogo della terza giornata dei "Discorsi", fece sollevare l'obiezione che un ragionamento del genere suppone l'esistenza di "infiniti gradi di velocità" cioè di infiniti valori della velocità istantanea i quali, proprio per essere infiniti, "non si consumeranno mai tutti". A questa obiezione, poi, rispose osservando che il corpo in moto può consumarli perché "passa solamente" per ciascuno di tali gradi "senza dimorarvi oltre a un istante".
In realtà, Galileo riuscì ad operare senza errori in tale infinità perché la riportò ad altre più note: all'infinità dei punti del segmento e all'infinità delle corde parallele che riempiono un triangolo o un rettangolo.
Infatti, nella dimostrazione che "se un mobile scende con moto uniformemente accelerato, a partire dalla quiete, gli spazi percorsi da esso in tempi qualsiasi stanno tra loro come i quadrati dei tempi", rappresentò il generico intervallo come un segmento AB dove, ad ogni punto di questo, corrisponderà un istante dell'intervallo considerato. Se, a partire da ciascun punto di AB, tracciamo un segmento che rappresenta la misura della velocità nell'istante corrispondente al punto stesso, tutti questi segmenti riempiranno un triangolo ABE (avente per base il segmento AB utilizzato per rappresentare il tempo, per altezza il segmento BE utilizzato per rappresentare la velocità finale).
Detto ciò Galileo riuscì a dimostrare che il tempo impiegato per percorrere uno spazio prefissato sarà uguale al tempo impiegato per percorrere lo stesso spazio di moto uniforme con velocità uguale alla metà della velocità raggiunta, rappresentata in figura dal segmento BF, dove F è il punto medio del segmento BE che rappresenta la velocità finale.

Notiamo quindi che la stessa Geometria, strumento indispensabile per risolvere i problemi di successione, solleva ovunque questioni di carattere infinitesimale
Il pensiero di Galileo riguardo all'infinito e all'infinitesimo, si collega proprio con le origini dell'Analisi infinitesimale moderna, per la relazione con il metodo degli indivisibili di Cavalieri e Torricelli.
Nel Dialogo sopra i due massimi sistemi si scontrano continuamente le due metodologie: quella della scienza ufficiale di allora, che adottava le categorie ed i metodi della metafisica aristotelica, e quella di Galileo, che voleva che si adottassero i metodi moderni, che le osservazioni fossero più precisamente tradotte in misure e fossero espresse con i simboli matematici, che le deduzioni fossero non ragionamenti, ma più precisamente calcoli o deduzioni geometriche, che infine ogni deduzione fosse confrontata con la realtà mediante altre misure.
A ben guardare si hanno qui delle impostazioni metodologiche le quali vanno ben al di là della semplice affermazione della necessità del metodo sperimentale: si va più al fondo e si afferma la necessità di un certo linguaggio della scienza.

Alla base del lavoro di Galileo c'è sempre fondamentalmente l'intuizione, come nel procedimento che porta a dividere un solido in "fettine" e a ritenere equivalenti due solidi che siano secati da piani appartenenti ad un fascio di piani paralleli in figure di aree uguali.

Il caso tipico dell'applicazione di questo criterio è dato dal procedimento di Galileo per ottenere il volume della sfera, procedimento che porta alla considerazione della figura che viene da lui stesso chiamata "scodella".
Il ragionamento di Galileo, esposto in forma moderna e riferito alla figura, è sostanzialmente il seguente: consideriamo un semicerchio avente per diametro il segmento AB e sia CF il raggio perpendicolare al diametro stesso.
Sia ABDE il rettangolo avente AB come base ed avente il lato opposto ad AB tangente al semicerchio. Facendo ruotare il semicerchio attorno alla retta su cui sta il segmento CF, si ottiene una semisfera di diametro AB. Lo stesso movimento di rotazione fa descrivere al rettangolo ABDE il cilindro avente come asse la stessa retta su cui sta CF. Si suppone di conoscere il volume del cilindro. È chiaro che il volume della sfera sarà noto quando sia noto il volume della "scodella" compresa tra il cilindro e la sfera.
Il procedimento di Galileo per calcolare tale volume è il seguente:

Consideriamo il cono che ha vertice nel punto C, centro della sfera e come cerchio di base quello descritto dal lato DE del rettangolo. Si verifica che la "scodella" ha lo stesso volume del cono e ciò perché se si tagliano il cono e la scodella con un piano perpendicolare all'asse di rotazione, si ottengono delle aree equivalenti. Tagliando il cono si ottiene un cerchio e tagliando la scodella una corona circolare, che ha come circonferenza esterna quella del cilindro e che ha area uguale a quella del cerchio secato dal piano sul cono.
Nei Discorsi e ragionamenti sopra due nuove scienze, Salviati (che nel dialogo impersona Galileo) espone la costruzione della scodella e la dimostrazione del fatto che il cono ha lo stesso volume del solido che si ottiene dal cilindro togliendo la scodella. La dimostrazione è basata sugli "indivisibili" e viene ottenuta sostanzialmente immaginando i solidi come costituiti da "fettine" sottilissime, idea che sarà poi sviluppata nel calcolo integrale moderno con perfetto rigore. Salviati, dopo avere dimostrato che le due aree del cerchio e della corona circolare sono equivalenti (quale che sia il piano secante) non dimostra che i due solidi sono tra di loro equivalenti ma rimanda per la dimostrazione alla1: "duodecima proposizione del libro secondo De centro gravitatis solidorum posta dal Sig. Luca Valerio, nuovo Archimede dell'età nostra [] il quale per altro suo proposito se ne servì, sì perché nel caso nostro basta l'aver veduto come le superficie già dichiarate siano sempre eguali, e che, diminuendosi sempre egualmente, vadano a terminare l'una in un sol punto e l'altra nella circonferenza d'un cerchio, maggiore anco di qualsivoglia grandissimo, perché in questa conseguenza sola versa la nostra meraviglia".

Bonaventura Cavalieri

In altre parole la cosa che meravigliava Galileo era che si potesse avere un'area (quella della corona circolare) che a zero, nonostante che una sua dimensione non si annulli, mentre nel caso del cerchio secato dal piano sul cono la cosa appare evidente perché qui il raggio stesso del cerchio tende a zero.
E' da osservarsi che il problema della valutazione del volume della sfera era già stato risolto da Archimede con un procedimento più rigoroso. La novità dell'atteggiamento di Galileo sta nell'aver adottato dei procedimenti che oggi si chiamerebbero "euristici", cioè adatti piuttosto a scoprire la verità di una proposizione che a garantirne la dimostrazione in modo rigoroso (come già aveva fatto anche Archimede coi procedimenti meccanici).


Anche Cavalieri aveva esposto il suo metodo degli "indivisibili" proprio a Galileo, il quale già da tempo meditava su questo stesso procedimento e scrisse sull'argomento delle postille a un libro di A. Rocco che sosteneva le idee di Aristotele contro appunto il "Dialogo sopra i due massimi sistemi".
In una di queste postille, molto più interessanti delle mediocri pagine del suo avversario, a proposito della frase "sphaera tangit planum in puncto", Galileo commenta che tale detto era stato fino ad allora effettivamente quasi inintelleggibile, mai però falso. Per Galileo, infatti, sussistono entrambe le verità: il continuo consta di parti sempre divisibili e contemporaneamente consta d'indivisibili; anzi, siccome il vero è uno, queste due affermazioni devono esprimere la medesima realtà. Poi dice testualmente2: "aprite di grazia, gli occhi a quella luce stata forse celata fin qui, e scorgete chiaramente che il continuo è divisibile in parti sempre divisibili sol perchè consta d'indivisibili; imperò che se la divisione e suddivisione si ha da poter continuar sempre, bisogna necessariamente che la moltitudine delle parti sia tale che già mai non si possa superare; e sono dunque le parti infinite, altrimenti la divisione si finirebbe; e se sono infinite, bisogna che non siano quante, perché infiniti quanti compongono un quanto infinito, e noi parliamo di quanti terminati; e però gli altissimi ed ultimi, anzi primi componenti del continuo, sono indivisibili infiniti".