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IL PENSIERO MATEMATICO NEL XVII SECOLO

 

Nel XVII° secolo il materiale da cui partire era ormai abbondante, costituito dalle ricche scorte del sapere greco rimasto intatto per quasi un millennio e riscoperto via via nei secoli precedenti. Da questo, gli europei avevano derivato un nuovo spirito, nuovi ideali e una nuova visione dell'universo. Le opere greche restituirono fiducia nel potere della ragione umana e incoraggiarono l'uomo del Rinascimento ad applicare tale facoltà ai problemi che si ponevano in questo periodo.
I nuovi capitoli che si aggiungono al sapere matematico sono la Geometria analitica e l'Analisi infinitesimale. Il loro ingresso nella Matematica può essere considerato come l'inizio della Matematica moderna.
Molti problemi particolari -per esempio di Meccanica e di Geometria- imponevano ai matematici del Seicento di affrontare le nozioni di infinitesimo e di infinito che la Matematica greca aveva accolto con grande e motivata cautela. L'abbandono della tradizione classica portò in un primo momento a costruzioni che dovevano rinunciare ampiamente e fortemente al rigore totale ma, nonostante questo, la graduale elaborazione del calcolo infinitesimale si rivelerà estremamente feconda, dimostrando la validità della via intrapresa.

I più grandi matematici di questo periodo possono essere suddivisi in tre gruppi, a seconda che appartennero alla cultura italiana, francese, inglese. Un discorso a parte merita Leibniz - tedesco- di cui parleremo più avanti.

 

Galileo Galilei

Iniziando dal gruppo italiano, occorre innanzi tutto ricordare Galileo e osservare che gli altri matematici di questo periodo furono tutti suoi discepoli, diretti o indiretti, il che conferma quanto sia stata profonda l'impronta da lui segnata nella cultura del nostro Paese.
Per Galileo i principi matematici sono i caratteri con cui Dio scrive il mondo. Senza il loro aiuto, è impossibile intenderne umanamente parola e ci si aggira invano in un oscuro labirinto.

A differenza dei greci, per i quali erano fondamentali gli oggetti e le loro forme, mentre lo spazio interessava solo in quanto designava il limite o confine di un oggetto, il nuovo scienziato sceglie lo spazio in sè come concetto soggiacente a tutti i fenomeni e in cui gli oggetti esistono o si estendono e si muovono. L'essenza degli oggetti materiali è lo spazio; gli oggetti materiali sono parti di esso. Concesso questo principio, la materia può essere descritta matematicamente attraverso la Geometria dello spazio. Un altro concetto fondamentale è il tempo: gli oggetti, oltre che nello spazio, si muovono ed esistono nel tempo. Galileo sottolineò che il tempo può essere espresso matematicamente, poiché gli istanti di tempo non sono altro che numeri e come i numeri si susseguono l'uno all'altro. Così l'estensione, o la figura nello spazio, e il moto nello spazio e nel tempo sono la fonte di tutte le proprietà e sono le realtà fondamentali. Per usare le parole di Descartes, "datemi l'estensione e il moto e io vi costruirò l'universo."1

Discepoli di Galileo, che si occuparono in particolare del calcolo infinitesimale, furono Bonaventura Cavalieri (1591-1647) membro dell'ordine religioso dei Gesuati e che diventò professore di Matematica a Bologna nel 1629, Evangelista Torricelli (1608-1647), Vincenzo Viviani (1622-1703), Michelangelo Ricci (1619-1683).

Passando poi al gruppo francese, occorre innanzi tutto ricordare Pierre Fermat , René Descartes e Blaise Pascal che diedero un contributo notevole allo sviluppo della scienza del loro secolo.
Descartes, accettando il principio che la Matematica "è uno strumento di conoscenza più efficace di qualsiasi altro che ci sia stato lasciato in eredità da altri uomini", cercò di ricavare alcuni principi generali destinati a fornire il metodo per ottenere una conoscenza esatta in tutti i campi o, come lo chiamò, una " mathesis universalis ".
Nel suo famosissimo trattato, il Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences , annunciava il suo programma di ricerca filosofica: attraverso il dubbio sistematico, sperava di giungere ad idee chiare e distinte, dalle quali sarebbe stato poi possibile dedurre innumerevoli conclusioni valide. In tal modo, Descartes si proponeva di generalizzare e di estendere i metodi usati dai matematici al fine di renderli applicabili a ogni tipo di investigazione. Sostanzialmente, il metodo sarebbe stato una costruzione assiomatica; deduttiva per ogni pensiero; le conclusioni sarebbero stati teoremi derivati da assiomi.

René Descartes

Inoltre, partendo dal metodo e tentando di eliminare gli inconvenienti che si avevano nella Matematica greca a causa della mancanza di un formalismo comune ai vari scienziati (e anche per il fatto che la Matematica classica si era sviluppata fino ad allora secondo un indirizzo puramente geometrico), introdusse l'uso sistematico degli assi coordinati che permettono di rappresentare i punti come coppie ordinate di numeri reali e le relazioni tra loro come relazioni algebriche.

Con Descartes , riprendendo anche le posizioni di Aristotele e di S. Agostino, è presente l'affermazione del valore prioritario dell'Algebra sulla Geometria. I tempi erano infatti maturi per fare si che una tale applicazione riguardasse non solo le dimensioni delle figure, ma anche le posizioni di queste e dei punti nello spazio, e che risolvesse i problemi relativi con quella generalità, semplicità e potenza di metodo caratteristica dell'Algebra, giunta oramai ad un notevole grado di sviluppo. La Geometria divenne in tal modo una scienza essenzialmente analitica, in cui ogni problema -se ben formulato- diviene risolubile attraverso passaggi algebrici. Mediante la Geometria analitica, la quale traduce in termini algebrici le nozioni di punto, retta, piano ecc., la trattazione dei problemi geometrici diviene così chiara ed uniforme e si arriva finalmente ad una tappa importante e del tutto nuova rispetto alla Matematica greca che si era limitata a risolverli caso per caso, con ingegnosi accorgimenti, senza dubbio efficaci per le singole questioni, ma di portata circoscritta per quanto riguarda aree e volumi.
Descartes risolve problemi di carattere infinitesimale senza ricorrere ad infinitesimi potenziali od attuali, o ad un passaggio al limite vero e proprio, ma utilizza procedimenti puramente algebrici. Tutto ciò si può porre in relazione con le idee da lui espresse sull'infinito matematico. Nei Principia Philosophiae scrive: " così mai ci affaticheremo in discussioni intorno all'infinito. Infatti veramente, dato che siamo finiti, sarebbe assurdo che noi stabilissimo alcunché su tale argomento e tentassimo in tal modo quasi di renderlo finito e impadronircene. Non ci cureremo dunque di rispondere a coloro che domandano se, dandosi una linea infinita, la sua metà sarebbe anche infinita, oppure se il numero infinito è pari o dispari, o pongono altre questioni del genere: poiché intorno a tali argomenti, sembra che debbano riflettere soltanto quelli che ritengono la propria mente infinita. Noi invece non affermeremo invero che sono infinite tutte quelle cose di cui sotto qualche aspetto non potremo trovare una fine, ma le riguarderemo come infinite. Così, poiché non possiamo immaginare un'estensione tanto grande da non comprendere che ve ne può essere ancora una maggiore, diremo che la grandezza delle cose possibili è indefinita. E poiché non si può immaginare un così grande numero di stelle da credere che Dio non ne abbia potuto creare di più, supponiamo anche indefinito il numero di quelle; e così negli altri casi analoghi. E diremo indefinite quelle cose piuttosto che infinite, sia per riservare il titolo di infinito a Dio solo, poiché in Lui soltanto da ogni parte, non solo non conosciamo alcun limite, ma anche positivamente comprendiamo che non ve ne sono; sia anche perché non comprendiamo positivamente nello stesso modo che le altre cose da qualche parte mancano di limiti, ma negativamente soltanto dichiariamo che i loro limiti se ne hanno, non possono venir trovati da noi".
La posizione speculativa di Descartes , decisamente agnostica nei confronti dell'infinito matematico, ci spiega il suo atteggiamento negativo di fronte alle geniali considerazioni di Galileo sull'infinito e sull'infinitesimo attuale, così pure sulla Geometria degli indivisibili di Cavalieri.

E' impossibile non citare poi tra i matematici francesi Pierre de Fermat (1601-1665) che studiò i grandi matematici dell'antichità -in modo particolare Apollonio e Diofanto- e pervenne a risultati che resteranno famosi, malgrado il carattere frammentario delle sue opere. Egli non riconobbe alla Geometria analitica alcuna funzione di autentica rottura, in quanto già gli antichi avevano compiuto dei passi notevoli in questo senso. per esempio, secondo Fermat -nelle Sezioni coniche di Apollonio si ritrovano già quasi tutti i principi e gli accorgimenti propri della Geometria analitica, né la validità di questi accorgimenti e principi può venire stabilita a priori, ma essa risulta provata dagli effettivi successi conseguiti. I contributi di Fermat al calcolo infinitesimale furono di primo piano, benché messi un po' in ombra da quelli di Newton e di Leibniz.

 

Pierre Fermat

La Geometria analitica influì sullo sviluppo generale di tutte le teorie dell'epoca, ivi inclusa l'Analisi infinitesimale. La svolta più importante fu la precisazione della nozione di curva. I greci avevano difficoltà nel considerare come curve quelle definibili soltanto per via meccanica, cioè descrivibili mediante il movimento. Ora invece le equazioni algebriche in due variabili, stabilendo una corrispondenza tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali, determinano un profondo legame tra curve ed equazioni. Ed è proprio questo legame che fornisce un modo nuovo di studiare le curve e che permette uno sviluppo dell'Analisi matematica infinitesimale, che sarebbe inconcepibile altrimenti.

La Geometria analitica, dando una nuova nozione di curva, fornì quindi all'Analisi il necessario supporto e permise che problemi di calcolo di aree e volumi, per esempio, vennero risolti con strumenti algebrici.
Questo studio era fondamentale in quanto, nella prima parte del Seicento, la Matematica era ancora sostanzialmente un corpo di Geometria con appendici algebriche e la parte fondamentale di questo corpo era il contributo di Euclide .
La geometria euclidea si limita a figure formate da linee rette e da cerchi. Nel Seicento, però, i progressi della scienza e della tecnica avevano prodotto il bisogno di operare con molte figure nuove quali ellissi, parabole, iperboli che divennero importanti in quanto, per esempio, descrivevano la traiettoria dei pianeti.
Descartes accetta la costruzione delle curve mediante determinati strumenti meccanici, osservando tra l'altro che anche la retta e la circonferenza vengono descritte mediante strumenti: la riga e il compasso. Pertanto, non vi è motivo di respingere l'uso di strumenti atti a descrivere curve di ordine superiore. Tuttavia Descartes non prende in considerazione nella sua Geometria le curve trascendenti e ciò contribuisce a trattenerlo solo sulla soglia del calcolo infinitesimale. Ciò ha fatto si che il calcolo infinitesimale si sviluppasse inizialmente in modo non analitico, ma il simbolismo ideato in seguito da Leibniz si armonizzerà perfettamente con quello algebrico di Descartes.

Prima di chiudere queste brevi note, conviene ricordare un altro importantissimo matematico della scuola francese, Blaise Pascal , il cui contributo è fondamentale anche se abbandonò gli studi matematici per dedicarsi poi alla teologia. Pascal lasciò un'impronta profonda in vari settori scientifici tra cui quello dell'analisi infinitesimale: si occupò, infatti, di rettificazione di archi, calcolo di aree e volumi di rotazione, determinazione di baricentri.
Studiando per esempio una formula che permettesse di calcolare la somma delle m-esime potenze dei primi n interi consecutivi, e generalizzandola, ottenne la nota formula del calcolo integrale:

Tale formula venne data, come al solito, da Pascal verbalmente e non con la notazione moderna2 . Il metodo seguito per la determinazione dei suoi risultati non sembra esattamente determinato, oscillando spesso tra le due posizioni degli innovatori e dei fedeli di Archimede . Pascal si trovò disarmato di fronte alle obiezioni sollevate da più parti contro l'uso matematico dell'infinito. Nel suo Traité des sinus du quart de cercle del 1658, nel corso di una integrazione della funzione seno, giunse ad un passo dalla scoperta del calcolo infinitesimale, al punto che più tardi Leibniz avrebbe scritto che proprio leggendo quest'opera aveva avuto una improvvisa intuizione.
Scrive L. Brunschvigc3: "la nozione dell'infinito è così semplice, così chiara e così distinta quanto può esserlo quella del finito, di cui l'algebra consente di sviluppare le proprietà analitiche seguendo l'ordine della ragione. Dopo Pascal c'è una geometria dell'infinito, che è irriducibile alla geometria cartesiana; ma i principi non possono essere esplicitati nel linguaggio della comprensione, essi sono l'oggetto di intuizioni sui generis; le conclusioni ne costituiscono uno scandalo per il senso comune, per la ragione ragionante dei logici: Lo scopo di Leibniz è stato quello di dare alla geometria di Pascal, alla geometria degli indivisibili, la forma dell'analisi cartesiana. Dopo Archimede, o almeno dopo Cavalieri , i procedimenti di integrazione non erano più da scoprire, ne dopo Fermat i procedimenti di differenziazione; ma restava da comprendere tali procedimenti nell'unità di un sistema intelleggibile….Proprio là dove Pascal si trovò gli occhi sbarrati come per una specie di fatalità, Leibniz scorge la possibilità di una nuova generalizzazione che implicherà essa stessa la necessità di esplicitare ciò che l'intuizione sottintendeva, di tradurre gli elementi infinitamente piccoli in dei simboli analitici. Leibniz si pone allora alla scuola di Descartes".


Blaise Pascal
Questo brano è la più significativa conclusione di quanto espresso a riguardo dei grandi matematici che hanno caratterizzato questo periodo. Tuttavia è doveroso ricordare gli altri matematici della scuola francese che si occuparono del calcolo infinitesimale. I principali furono Gilles Personnes, detto Roverbal (1602-1675), Guillaume Francois de l'Hopital (1661-1704), Michel Rolle (1652-1719) che si oppose energicamente all'algebra degli infinitesimi, Pierre Varignon (1654-1722), convinto difensore dell'analisi infinitesimale e protagonista di una vivace polemica con Rolle.

Passando infine al gruppo dei matematici inglesi ricorderemo: John Wallis (1616-1703), autore della celebre Arithmetica infinitorun , studioso di Analisi infinitesimale, oltre che di Algebra, Geometria e Logica e che intrattenne una fitta corrispondenza con Newton (che gli espose in due celebri lettere i principi del calcolo delle flussioni); Isaac Barrow (1630-1677) che fu maestro di Newton. Barrow intuì in forma generale, ma espose molto oscuramente, il cosiddetto teorema di inversione, che risolveva il problema di determinare il legame esistente tra il calcolo delle derivate e quello degli integrali. Tale teorema fu anche enunciato da Torricelli limitatamente però ad alcuni casi particolari. La scoperta di tale teorema e la chiara formulazione di esso costituirà uno dei meriti fondamentali di Newton e segnerà un'autentica svolta nella storia di questo capitolo della Matematica.
Le notizie molto sommarie, qui riferite, che verranno poi sviluppate nei capitoli seguenti, possono essere importanti per darci un'idea del fervore di ricerche, spesso molto acute ma anche assai disorganiche, che si andavano sempre più diffondendo con l'avanzare degli anni intorno ai problemi dell'infinito e dell'infinitesimo. Oggi vengono considerate dagli storici della matematica come costituenti la prima fase del calcolo infinitesimale, fase che verrà conclusa da Newton e Leibniz, ai quali non si può quindi attribuire il merito di avere inventato tale calcolo ma solo quello, peraltro importantissimo, di avergli fornito una solida sistemazione.
La complessa situazione è chiaramente descritta da Paul Tannery: "Nel momento in cui Newton e Leibniz cominciarono ad occuparsi di matematica, si può dire che un metodo infinitesimale era già stato costruito, nel senso che i principali geometri si erano abituati a maneggiare gli infinitamente piccoli (almeno quelli del primo ordine), sia come elementi di somma, sia come elementi di rapporti. Per il primo caso (quadratura) essi possedevano nel processo di riduzione all'assurdo imitato dagli antichi un metodo di dimostrazione rigoroso, fondato implicitamente sulla nozione di limite." Ciò che mancava era l'uniformità dei simboli: "ogni geometra aveva le sue notazioni personali e la sue abbreviazioni, che il più delle volte riservava per se". Proprio questa è la lacuna che verrà colmata in modo pressoché definitivo dai due cosiddetti "inventori" dell'Analisi infinitesimale.