INDICE

 

 

 

 

PRECURSORI DEL METODO
DEGLI INDIVISIBILI


Come abbiamo già detto il procedimento di esaustione era un metodo che si adattava bene per le dimostrazioni dei risultati raggiunti. Non altrettanto bene si prestava per la ricerca di nuove idee. Per questa si prestava meglio il "metodo" che Archimede aveva utilizzato "per acquistare una certa cognizione delle questioni"
1 e con il quale stabiliva, per esempio, l'equivalenza di due figure confrontando i loro elementi infinitesimi.


Nicola Oresme Il libro del cielo e del mondo
Nel tardo Medioevo Nicola Oresme (1323?- 1382), dotto parigino che diventò vescovo di Lisieux, pur occupandosi di Fisica, esercitò un grande influsso sulla cultura matematica del tempo: infatti (a una data imprecisata, ma prima del 1361) ebbe l'idea di tracciare un grafico per studiare la variazione di un fenomeno, cioè ebbe la prima intuizione di ciò che oggi descriviamo come rappresentazione grafica di una funzione. Qualsiasi cosa misurabile -scriveva Oresme- può essere immaginata nella forma di una quantità continua.

Ciò gli permise di tracciare un grafico della velocità e del tempo per un moto uniformemente accelerato.
I termini latitudine e longitudine usati da Oresme equivalgono, grossomodo, alle nostre ordinata e ascissa e la rappresentazione grafica da lui utilizzata precorre la nostra Geometria analitica. L'uso delle coordinate non era nuovo. Già Apollonio, ed altri prima di lui, avevano utilizzato sistemi di coordinate simili. La novità consiste ora nella rappresentazione grafica di una quantità variabile.
Oresme aveva intuito il principio essenziale che una funzione in una incognita può essere rappresentata da una curva ma utilizzò questa intuizione solo nel caso di una funzione lineare. Era soprattutto interessato all'area che si trova sotto la curva. Mentre noi diciamo che il grafico della velocità di un moto uniformemente accelerato è una linea retta, egli scriveva: "qualsiasi qualità uniformemente difforme che termina con intensità zero viene immaginata come un triangolo rettangolo". Ossia, si interessava sia del modo in cui variava la funzione (e ciò era un primo problema di carattere differenziale) sia del modo in cui variava l'area compresa sotto la curva (problema di carattere integrale).


Federico Commandino
Per trovare questa area, Oresme effettuava una semplice integrazione con mezzi geometrici ed è probabile che concepisse l'area come formata da moltissime linee verticali o "indivisibili", ciascuna delle quali rappresentava in questo caso dello studio del moto, una velocità che continuava per un brevissimo intervallo di tempo.


La rappresentazione grafica delle funzioni, nota come latitudo formarum, rimase un argomento molto studiato per tutto il periodo che va da Oresme a Galileo. Nel primo periodo del Rinascimento, infatti, fiorì una Matematica della misurazione, sia da un punto di vista teorico che pratico, basata appunto sul principio di Oresme per cui tutto ciò che era misurabile poteva venire rappresentato da una linea (latitudine).
Si proponevano così all'interesse dei matematici orizzonti nuovi dentro i quali possiamo comunque percepire problemi antichi cui abbiamo fatto cenno e che tornano a suscitare grande interesse sia per quanto concerne la teoria che le applicazioni.

A tal riguardo è significativo il pensiero di
Evangelista Torricelli (1608-1647) il quale intuì che il metodo degli "indivisibili" esisteva già presso i greci, come risulta dal passo seguente2: "veramente non oserei affermare che questa geometria degli indivisibili sia proprio una nuova scoperta. Crederei piuttosto che gli antichi geometri si siano valsi di questo metodo nella scoperta dei teoremi più difficili, quantunque nelle dimostrazioni abbiano preferito un'altra via".
Oggi noi sappiamo che ciò è vero, anche dopo la riscoperta (di cui abbiamo già parlato) della "Lettera sul metodo" di Archimede che nel Seicento non era ancora stata trovata.
Nei matematici del Cinquecento e del Seicento, notiamo una nuova predilezione per l'infinito attuale che non trova riscontro negli scritti precedenti. Questo diverso indirizzo mentale fu provocato -possiamo ipotizzare- essenzialmente da due elementi: lo sviluppo nella pittura della prospettiva, nella quale i punti di fuga corrispondevano a "punti all'infinito" e la concezione dell'infinito nel pensiero religioso di S. Agostino riscoperto nel Rinascimento.

Nel panorama culturale tra la fine del XVI° e l'inizio del XVII° secolo, l'Analisi infinitesimale riceve un notevole impulso grazie alle ricerche astronomiche e fisiche di
Galileo Galilei (1564-1642), di Johennes Kepler (1571-1630) e di Simon Stevin (1548-1620) di Bruges.
A riguardo di quest'ultimo, vogliamo sottolineare che sebbene fosse un grande ammiratore dei trattati teorici di Archimede, le sue opere sono pervase da uno spirito pratico che è caratteristico più dell'età rinascimentale che non dell'antichità classica.
Stevin nella sua Statica del 1586 dimostra nel modo seguente come il baricentro di un triangolo appartenga alla mediana: inscriviamo nel triangolo ABC dei parallelogrammi di uguale altezza con lati paralleli ad un lato del triangolo.
Il centro di gravità delle figure inscritte giacerà sulla mediana (per il principio di Archimede secondo cui figure bilateralmente simmetriche sono in equilibrio). Ma nel triangolo possiamo inscrivere un numero infinito di parallelogrammi del genere: quanto maggiore sarà il numero dei parallelogrammi inscritti, tanto minore sarà la differenza tra la figura inscritta e il triangolo. Poiché tale differenza può essere resa piccola quanto si vuole, allora il baricentro giacerà anch'esso sulla mediana.

Mentre Stevin era interessato alle applicazioni fisiche di un numero infinitamente grande di elementi infinitamente piccoli, Keplero se ne servì per applicazioni geometriche. In particolare, formulò per le coniche quello che noi chiamiamo un principio di continuità, nel senso che "vide" i diversi tipi di sezioni coniche come formanti un insieme privo di interruzioni o salti. Dalla sezione conica formata semplicemente da due rette intersecantisi, nella quale i due fuochi coincidono con il punto di intersezione, si passa attraverso un numero infinito di iperboli via via che un fuoco si allontana sempre più dall'altro senza soluzione di continuità. Quando poi un fuoco è infinitamente lontano, non si ha più l'iperbole a due rami, ma la parabola. Quando il fuoco, continuando a muoversi, "oltrepassa l'infinito" e torna ad avvicinarsi dall'altra parte, si passa attraverso un numero infinito di ellissi fino a che, quando i fuochi tornano a coincidere, si ottiene la circonferenza.
L'idea che la parabola abbia due fuochi di cui uno improprio cioè all'infinito è dovuta a Keplero, così come il termine fuoco (dal latino focus, focolare, derivante dalla proprietà fisica già nota ad Archimede, che la utilizzò contro le navi romane che assediavano Siracusa, per cui uno specchio parabolico concentra i raggi paralleli provenienti dal sole in un punto che è il fuoco geometrico). Inoltre Keplero, nella sua seconda legge planetaria (il raggio vettore che congiunge il pianeta con il Sole copre aree uguali in tempi uguali) concepì tale area come formata da triangoli infinitamente piccoli con un vertice

nel Sole e gli altri due vertici in due punti infinitamente vicini giacenti sull'orbita.
In questo contesto utilizzò un tipo di calcolo infinitesimale non rigoroso, simile a quello di Oresme. L'area di un cerchio, per esempio, viene trovata osservando che le altezze dei triangoli infinitamente "sottili" sono uguali al raggio. Indicando con b1,b2, ... bn,... , le basi infinitamente piccole che giacciono lungo la circonferenza, l'area del cerchio, cioè la somma delle aree dei vari triangoli sarà data da:

S=1/2b1r+1/2b2r+...+1/2bnr+...=
=1/2r(b1+b2+...+bn+...)=1/2rC

Questo teorema, già noto nell'antichità, era stato dimostrato da Archimede in modo più rigoroso; con un metodo analogo Keplero riuscì a trovare l'area della superficie racchiusa da un'ellisse, risultato ottenuto anche questo da Archimede, ma andato perduto.
Mediante un'altra intuizione infinitesimale importante Keplero considerò la sfera come somma di infiniti coni di apertura infinitesima e perciò uguale al prodotto della superficie per un terzo del raggio, mentre nella seconda legge il rapporto dell'area del settore rispetto a quella dell'intera ellisse fu misurato con il rapporto delle somme dei raggi vettori corrispondenti.
Keplero divenne matematico di corte a Praga e, confrontando il metodo di Archimede per i volumi dei solidi con quello usato per calcolare il volume delle botti, calcolò il volume di alcuni solidi di rotazione non calcolati precedentemente. Il suo metodo volumetrico consisteva nel considerare i solidi come composti da un numero infinito di elementi infinitesimali e nel procedere, poi, allo stesso modo, per le aree: in tal caso poteva fare a meno della doppia riduzione all'assurdo usata da Archimede. L'esempio fu poi seguito dalla maggior parte dei matematici fino ad oggi. Inoltre, in quel periodo, nel rinnovato fervore degli studi matematici, tale era la fiducia che riscuotevano i metodi infinitesimali che né Keplero né i suoi seguaci si soffermarono a chiedere al metodo di esaustione la giustificazione logica dei loro risultati, discostandosi a tal proposito da ciò che aveva fatto Archimede quasi venti secoli prima.