Pubblichiamo, con la gentile autorizzazione della casa editrice P.U.F. (“Presses Universitaires de France”), la traduzione
del primo capitolo di "Les Jeux mathématiques"
(1997). L’autore del libro è Michel Criton, responsabile
francese del “Championnat International des Jeux
Mathématiques”.

 

Il volume (di prossima pubblicazione anche in Italia) fa la storia dei giochi matematici, dal medioevo fino a considerare
le tendenze più recenti. Chi non ricorda, a questo
proposito, i contributi di Martin Gardner che, nel 1957, iniziò la sua rubrica mensile su "Scientific American"?
In particolare, il capitolo che qui presentiamo dà una prima definizione dei giochi matematici, caratterizzandoli
anche rispetto agli altri giochi (e inserendo alcuni esempi).
Il libro di Michel Criton fa parte della celeberrima (e vendutissima)
“collana” Que sais-je?

 


Ma cos'è un gioco matematico?

Matematica, giochi e giochi matematici


Definire la Matematica, anche nelle sue linee essenziali, è un’“impresa”. Ma possiamo tentarci. È, almeno inizialmente, la scienza dei numeri e delle forme. Nel corso del tempo, a questi elementi si sono poi aggiunti gli insiemi, i grafi, i nodi, le trecce e una quantità di altri oggetti, più o meno astratti e talvolta strani o imprevedibili per i non-iniziati.

È comunque ancora meno facile introdurre formalmente un gioco. Una definizione classica lo presenta come “un’attività gestuale o intellettuale che ha come unica finalità quella di divertire la persona che vi si dedica”.

Questa definizione rimanda evidentemente alla parola “divertimento”, che dovrebbe essere a sua volta definita. Noi non ci spingeremo oltre, in questo gioco di definizioni che non sappiamo dove potrebbe condurci (magari ad un circolo vizioso).
Conveniamo allora che il gioco sia un’attività gratuita, nel senso che non ha finalità serie o utili. La nozione di divertimento si oppone a entrambe queste caratteristiche. Tuttavia malgrado il loro carattere di gratuità, moltissimi giochi hanno come scopo dichiarato la speranza di un guadagno e spesso di un guadagno “sonante”.
Possiamo però considerare questa nuova caratteristica come una degenerazione della vera nozione di gioco (nel suo senso infantile) e, d’altra parte, osservare che, anche nei “giochi di soldi”, spesso il lato utilitaristico - la possibilità di un guadagno – viene dopo il puro piacere del gioco. Ancora, possiamo notare l’uso della parola gioco in alcune espressioni come “giochi olimpici” o “giochi del circo” o “giochi dell’arena”, dove al significato primario si aggiunge uno spirito di competizione(nella prima espressione) o di competizione-spettacolo, a volte con una connotazione tragica.
Il gioco matematico è dunque un’attività matematica ludica, il cui solo scopo è di divertire colui che la pratica o al quale essa è proposta.
Naturalmente, in una tale definizione abbiamo una nozione fortemente soggettiva come quella di divertimento: ciò che diverte una prima persona, non necessariamente ne diverte una seconda. Allo stesso modo, quello che diverte un bambino di otto o dieci anni non sempre divertirà un adolescente o un adulto, che potranno trovare tutto ciò puerile; viceversa, ciò che diverte il secondo potrà essere totalmente incomprensibile per il primo.

Puzzles, enigmi, rompi-capo, tests, problemi: giochi matematici? L’espressione gioco matematico occupa un campo molto vasto e spesso viene sostituita da altre parole.
La parola puzzle(di origine inglese), per esempio, indica nel suo significato primario, un gioco di pazienza che consiste nel ricostruire correttamente una figura o un’immagine partendo dai pezzi in cui è stata scomposta. Lo stesso termine ha acquisito anche un senso figurato, che gli permette di designare qualsiasi compito lungo e difficile che richieda ingegno e grande pazienza. Ecco perché alcuni giochi matematici, la cui soluzione è lunga e difficile, sono talvolta chiamati puzzles matematici.
Gli enigmi sono più tradizionali, con una storia antica come la storia dell’umanità. Essi fanno riferimento a tutte le discipline: ci sono enigmi storici, filosofici, letterari, ma anche matematici e logici. Il termine rompi-capo, se può designare un assemblaggio, ad esempio, di pezzi di legno particolarmente complicato da smontare e spesso più ancora da rimontare, si applica ugualmente a ogni costruzione astratta (sia essa numerica, geometrica o logica) la cui soluzione richiede uno sforzo intellettuale particolarmente intenso e faticoso.
Un ultimo tipo di gioco, che spesso interviene sui giornali, è quello dei test, generalmente orientati verso la psicologia e la misurazione delle capacità intellettuali – talvolta anche puramente logico-matematiche – senza altra finalità.

Ritorniamo adesso all’aspetto più propriamente matematico, chiedendoci quale tipo di attività matematica costituisca un gioco.
Le due principali “occupazioni” di un matematico sono la soluzione di problemi e la costruzione di teorie. Queste due finalità sono certamente interdipendenti. Siamo spinti a costruire nuove teorie per risolvere problemi che non riusciamo a risolvere con quelle esistenti; da questo punto di vista, il più bell’esempio è fornito dal celebre teorema di Fermat (dimostrato da Andrew Wiles più di 350 anni dopo) che, per la sua difficoltà e la sua resistenza a tutti gli sforzi dei più grandi matematici degli ultimi tre secoli, ha permesso un considerevole sviluppo della Matematica. D’altra parte, ogni teoria genera nuove questioni e dunque nuovi problemi, interni a questa teoria.
Nel gioco matematico è evidentemente la risoluzione dei problemi l’attività preponderante, sebbene un po’ di teoria sia talvolta necessaria. Ma quali problemi possono essere considerati dei giochi matematici? Proviamo a descriverli, pur con la necessaria avvertenza che stiamo parlando di un insieme sicuramente flou.
Un prima condizione è che sia accessibile ad un gran numero di persone. Questo elimina tutti i problemi che fanno parte integrante di una teoria matematica particolarmente impegnativa e richiedono di aver precedentemente assimilato la teoria o almeno il suo linguaggio.
Il gioco-problema deve poter essere formulato in un linguaggio corrente, che escluda il più possibile il ricorso a un vocabolario matematico troppo specializzato (eccezion fatta per alcune nozioni elementari conosciute da ogni individuo che abbia frequentato la scuola dell’obbligo).
Ma questa condizione – di accessibilità generalizzata – non è affatto sufficiente. Altrimenti tutti gli esercizi dei manuali scolastici di Matematica sarebbero dei giochi matematici. Evidentemente, il fatto che alcuni di questi esercizi siano alle volte battezzati con il nome di gioco matematico non basta; si sa che l’abito (o l’etichetta) non bastano a fare il monaco… Bisogna allora imporre (almeno) una seconda condizione: perché il problema diventi un gioco matematico, il suo enunciato deve essere intrigante, sorprendere e porre una sfida a colui che lo legge. Insomma, l’enunciato del problema deve suscitare la curiosità e la voglia di saperne di più.
Una terza condizione, infine, è che la stessa soluzione del problema possa divertire, distrarre, e persino stupire chi si cimenta con questi problemi.

Vediamo più in particolare quali sono gli ingredienti che trasformano un problema banale in un gioco matematico... e anche in un buon e persino bel gioco matematico. (Perché non parlare anche del carattere estetico di un problema?). Il suo carattere ludico può essere individuato in alcuni aspetti.
1) Nel suo look, cioè nella sua presentazione. La redazione dell’enunciato può essere divertente, umoristica o
fare riferimento all’attualità. Può anche essere messa in forma poetica o di enigma o anche utilizzare giochi di
parole o calembours.
2) Nel suo carattere curioso (inabituale, sorprendente, strano). I problemi che appartengono a questa categoria sono sempre una prova della creatività senza limiti dell’intelligenza umana e ci portano spontaneamente a domande del tipo: “ma come possono venire in mente certe idee?”
3) Nell’aspetto di “sfida”. I problemi di questo tipo si presentano in generale sotto la forma di un enunciato particolarmente semplice e facile da comprendere, ma che non si sa come affrontare e per il quale non esiste un metodo d’approccio predeterminato. Sono di questo tipo, per esempio, numerosi problemi di découpages.

Ecco un problema-sfida di Paul Erdös (1913-1996): “disponete n punti in un piano, badando che né tre di essi siano mai allineati né che quattro siano mai su una stessa circonferenza e in modo tale che, tra le n(n-1)/2 distanze che essi determinano, ce ne sia una rappresentata una volta, un’altra rappresentata due volte, un’altra rappresentata tre volte… e un’altra rappresentata n-1 volte”. (Si può verificare che n punti distinti determinano effettivamente n(n-1)/2 distanze e che la somma 1+2+3+… +n-1 è uguale a n(n-1)/2).

Questo problema è ancora aperto, in quanto non è stato risolto per n>8. Può essere considerato un gioco matematico in quanto, pur privo di un look particolarmente accattivante, possiede le altre caratteristiche cui abbiamo fatto prima riferimento. L’enunciato è facilmente comprensibile (eventualmente semplificandolo e assegnando a n valori abbastanza “piccoli”). È dunque, una situazione sufficientemente ricca, perché possa essere presentata a diversi livelli.
L’approccio al problema è all’inizio sconosciuto. Il caso n=3 permetterà allo scolaro di familiarizzare con un triangolo isoscele non equilatero. Il caso n=4 (cfr. la figura) permetterà all’alunno di scuola media di lavorare sulle nozioni di asse e di cerchio circoscritto, rispettivamente se partirà da un triangolo equilatero o da un triangolo isoscele (non equilatero). I casi di 5<= n <=8 costituiscono una sfida sia per i liceali che per i professori o gli adulti amanti dei rompi-capo.

Generalmente, i problemi si prestano a una risoluzione lunga e laboriosa. L’interesse consiste allora nel trovare una scorciatoia intellettuale o un’associazione di idee che permetta una risoluzione folgorante, luminosa e miracolosamente semplice e corta.
Vediamo un esempio: “dimostrate che una somma di otto numeri, di cui il più grande è cinque, può sempre essere scritta come la somma di cinque numeri, di cui il più grande è otto”.

Il problema si risolve facilmente, senza fare appello a calcoli complicati, supponendo di scrivere gli otto numeri (sistemati in ordine crescente) in base uno, cioè molto semplicemente con dei bastoncini (un bastoncino per unità). Basta ruotare ogni bastoncino di un quarto di giro per veder apparire, non più otto numeri sistemati in ordine crescente (di cui il più grande è cinque), ma cinque numeri, sistemati in ordine decrescente (da sinistra a destra) e di cui il più grande è otto. Il matematico potrà generalizzare il problema considerando n numeri, di cui il più grande è p.