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Gerolamo Cardano


Dossier pubblicato sul n. 41 della rivista lettera matematica pristem

 


La grande arte
di Romano Gatto

Matematico, fisico, astrologo, filosofo, medico famoso per prodigiose guarigioni, istrione, ciarlatano, spergiuro, plagiario, perseguitato e calunniato per la condotta diluttuosa dei figli, Gerolamo Cardano fu tra gli scienziati più in vista, e, allo stesso tempo, personaggio fra i più discussi del ‘500. Come matematico, il suo nome è indissolubilmente legato alla formula risolutiva delle equazioni di terzo grado, formula che egli ottenne, sotto vincolo di giuramento di non divulgarla, dall’incauto Nicolò Tartaglia e che invece pubblicò nel 1545 nella sua Ars Magna. Le vicende legate a questo avvenimento, le ragioni addotte dall’uno e dall’altro, sono cose assai note, com’è noto che né l’uno né l’altro furono i primi a trovare detta formula, essendo tale merito dovuto a Scipione dal Ferro. Mi asterrò dunque dal riproporle qui, limitandomi, invece, a fare alcune riflessioni di carattere generale sul suo trattato di algebra Ars magna.

Innanzitutto perché chiamare l’algebra la grande arte? Arte a quel tempo aveva un significato più ampio di quello odierno ristretto unicamente alle "belle arti". Con arte si indicava ogni attività umana capace di esaltare il talento inventivo oltre che espressivo dell’uomo. Arte era la scienza della meccanica perché le macchine inventate dall’uomo erano capaci di piegare la natura alle sue necessità. Cardano era consapevole che l’algebra era in grado di spingersi oltre i limiti della stessa immaginazione umana. Nel presentare la sua opera scrisse che la "grande arte" superava "ogni acume umano e ogni magnificenza di ingegno mortale"; era un "dono del cielo, una prova delle capacità della mente umana"; possedeva capacità tali che "chiunque vi si fosse applicato era indotto a credere che non esisteva cosa alcuna che egli non potesse comprendere". Il mezzo della grande arte, cioè l’artificio, erano le equazioni e il calcolo algebrico che consentivano di risolvere agevolmente i problemi più complessi, e non solo quelli di natura aritmetica, ma anche quelli geometrici. Eppure equazioni e calcolo conducevano talvolta a risultati innaturali, ossia a radici negative o immaginarie alle quali non si riusciva a conferire alcun significato fisico reale. All’epoca di Cardano persisteva ancora lo stato di subordinazione dell’algebra alla geometria. I Greci, dopo la scoperta degli incommensurabili avevano dato impulso ad un particolare capitolo della matematica, la cosiddetta algebra geometrica che, riducendo i numeri a linee, aveva trasformato il calcolo algebrico in calcolo geometrico di linee, aree, volumi. L’algebra era così stata costretta nello spazio euclideo; aveva senso considerare equazioni di primo, secondo e terzo grado, potendo rappresentare la potenza dell’incognita solo linee, aree o volumi. In questo contesto i numeri negativi e gli immaginari erano considerati dei puri simboli. Cardano chiamava fittizie le radici negative di un’equazione e sofistiche quelle immaginarie. Sebbene le ritenesse soluzioni impossibili, perché prive di un significato geometrico, egli le determinava comunque (a differenza di quanto farà Viète). Ciò probabilmente perché aveva trovato che il calcolo di questi enti poteva condurre a risultati accettabili. Ben noto era che il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo, e che quindi il prodotto di un numero negativo per se stesso era un numero positivo, ma l’operazione inversa, quella di estrazione di radice quadrata era rimasta limitata solo alla radice aritmetica. Cardano per primo affermò che un quadrato come 9 può ottenersi tanto da 3 che da -3 "perché meno per meno dà più". Sapeva inoltre che le potenze ad esponente dispari conservano la natura della base: sono positive se questa è positiva, negative "ovvero ciò che chiamiamo un debito", se questa è negativa. Anche in questo caso considerava l’operazione inversa spiegando che "un cubo che ha un valore negativo, non può essere ottenuto da un vero numero". La caratterizzazione dei negativi come debiti non era opera originale di Cardano, altri prima di lui avevano adottato un tale riferimento. Questo tuttavia funzionava bene nei problemi aritmetici di ripartizione, dove in modo esplicito le questioni vertevano su somme di danaro o cose da dare o da ricevere.

Quanto agli immaginari, notevole è il problema risolto nel capitolo XXXVII di dividere 10 in due parti tali che il prodotto dia 40. "è manifesto – scrive – che il problema è impossibile", conducendo l’equazione x(10-x)=40 alle radici,. Egli riconosce che tali radici, sebbene impossibili, sono tuttavia corrette essendo il loro prodotto uguale a 25-(-15)=40, come richiesto dal problema. Davanti a questo risultato Cardano non si smarrisce. A conclusione della questione dice che esso è dovuto alle "sottigliezze aritmetiche, il cui fine, come si dice, è tanto raffinato quanto inutile". Inutili ai fini pratici le radici di una tale equazione, ma non inutile trovarle: l’algebra, come aveva affermato all’inizio, assolveva ad una importante compito educativo per la mente umana. Dopo aver fornito la formula risolutiva delle equazioni di 3° grado e dopo aver risolto tutti i possibili casi di equazioni cubiche, Cardano mostrò anche la "regola" per la risoluzione delle equazioni di 4° grado, regola che, egli stesso diceva, era opera del suo allievo Ludovico Ferrari, ma alla quale, come vedremo più avanti, egli aveva dato un importante contributo. Che senso aveva risolvere equazioni di 4° grado se, come egli stesso aveva affermato "sarebbe follia andare oltre" la terza dimensione in quanto "la natura non lo permette"? In realtà considerava la risoluzioni di queste equazioni "quasi voluttà d’ingegno"; un esercizio puramente intellettuale che consentiva alla mente umano di misurarsi con cose non concesse al geometria.

La grande arte, però, non era in grado di legittimare se stessa, era un’arte fatta di "regole" (algoritmi), ma non di dimostrazioni; si faceva apprezzare per la sua capacità di risolvere i problemi, ma lasciava il dubbio che le soluzioni trovate, non legittimate da procedimenti rigorosi, potessero essere veramente accettabili. Era un’arte che, a differenza della geometria, non aveva dei solidi fondamenti: ci si interrogava ancora su che cosa fossero i numeri negativi o gli immaginari di cui essa faceva grande uso. Poteva una tale arte da sola descrivere la realtà? Ecco dunque la necessità del ricorso alla geometria, scienza deduttiva ineccepibile, dai fondamenti saldi, la necessità di conferire alle incognite dell’equazioni e alle loro potenze un significato geometrico: linee, superfici, volumi.

E qui, ritornando alla questione della paternità della "formula" risolutiva delle equazioni di 3° grado, vorrei fare alcune considerazioni sul perché questo algoritmo è passato alla storia come "formula di Cardano" e se tale denominazione può considerarsi legittima. Certamente contribuì non poco a sancire tale denominazione il fatto che la "formula" fu pubblicata per la prima volta nell’Ars Magna. E tuttavia ritengo che vi furono altre ragioni che giocarono a favore di Cardano.

La diatriba tra Cardano e Tartaglia, il clamore dei cartelli di sfida non giunsero soltanto alle orecchie dei contemporanei; quanti in seguito si interessarono di equazioni (e ben pochi matematici sfuggirono a questa tentazione) dimostrarono di essere al corrente della "usurpata" paternità di Cardano. Descartes nella sua Géométrie, dopo aver introdotto "la reigle dont Cardan attribuì l’invention a un nommé Scipio Ferreus", in seguito la citò semplicemente come "reigle de Cardan"; Wallis, che tentò di accreditare come originale la formula risolutiva delle equazioni cubiche trovata da Harriot (identica a quella di Cardano) pure parlò di regola di cardano quando scrisse: "num has Cardani Regula noverit Harriotus, mihi non liquet"; e Leibniz, pur precisando all’inizio del suo De Resolutionibus aequationum cubicarum triradicalium che nel caso della risoluzione delle equazioni cubiche bisognava ricorrere alla "regula Scipionis Ferrei a Tartarea et Cardano pubblicata", in seguito parlò semplicemente di formula cardanica, di radici cardaniche e di irrazionali cardanici. Né diversamente fecero Newton che senza mezzi termini affermò: "[…] ergo formula Cardanica est aequationis cubicae enuntiabilis", e Moivre, che intitolò la memoria nella quale presentò la sua ben nota formula del calcolo delle potenze degli immaginari in forma trigonometrica, Aequationum quorundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae et superiorum ad infinitum usque pergendo in terminis finitis ad instar pro cubicis vocantur Cardani. Resolutio Analitica. Ma chi volesse cimentarsi in una siffatta ricerca troverebbe che non vi fu matematico del ’600 e del ’700 fino a Lagrange e Ruffini che, pur dimostrando di conoscere la vera origine di tale formula, non abbia parlato esplicitamente di "formula di Cardano".

In realtà la formula cardanica pubblicata nell’Ars magna e qui applicata ad ogni tipo di equazione cubica, appariva come una cosa nuova, originale, autentica e rigorosamente vera. Soprattutto rispondeva a un criterio invalso fin dall’antichità presso i matematici, secondo cui vero autore di un teorema non è colui lo ha trovato con un procedimento euristico, ma colui che per primo ne fornisce una dimostrazione geometricamente impeccabile. Era stato questo criterio che aveva guidato Archimede quando, scrivendo ad Eratostene, pur riconoscendo che la formula per calcolare il volume del cono e della piramide era stata trovata per primo da Democrito, ne attribuì la paternità a Eudosso che per primo l’aveva dimostrata. Cardano, rompendo il giuramento fatto a Tartaglia, non si limitò ad interpretare in termini algebrici la filastrocca nei cui versi si nascondeva la "formula", ma per primo ne diede una rigorosa dimostrazione geometrica che di fatto la fece accettare senza riserve alla comunità dei matematici.

Suo merito indiscusso fu quello di estendere i canoni euclidei dell’algebra geometrica alla terza dimensione. Egli aveva compreso che il metodo delle applicazioni delle aree con il quale gli autori medievali avevano risolto le equazioni di secondo grado non poteva semplicemente applicarsi alle equazioni cubiche: bisognava per questo ricorrere a costruzioni spaziali.

Sebbene avesse una fiducia smisurata nelle capacità dell’algebra, egli era consapevole che questa non era in grado di legittimare se stessa; era un’arte euristica che da sola non poteva dare una compiuta descrizione della realtà. Ostacoli di natura epistemologica richiedevano che la geometria corresse in soccorso all’algebra.

Ma anche in questo emerge la tempra di matematico di Cardano: la sua capacità di trovare per ogni algoritmo algebrico una corrispondente dimostrazione geometrica. Così la "formula" risolutiva dell’equazione cubica x3+px=q

era dimostrata facendo ricorso ad un semplice lemma geometrico secondo cui, se a un segmento AC si toglie un segmento BC, allora il cubo di spigolo AB = (AC-BC) risulta uguale al cubo di spigolo AC, meno il cubo di spigolo BC, meno tre volte il parallelepipedo rettangolo di spigoli AB = (AC-BC), AC e BC, ovvero il parallelepipedo di base BC·AB e altezza AC:

AB3 = AC3-BC3-3(AC-BC)AC•BC

lemma che non è altro se non la versione geometrica di quello che noi, algebricamente, chiamiamo cubo del binomio.

Posto, infatti, x=AB=

Se allora u-v=q, il lemma dà proprio l’equazione:x3=q-px

Non meno interessante è l’algoritmo risolutivo delle equazioni di 4° grado, la cui paternità, come prima detto è da Cardano attribuita al suo allievo Ludovico Ferrari. In realtà questo algoritmo si avvale ad un certo punto di un procedimento geometrico, dovuto a Cardano, senza il quale, con le conoscenze del tempo, sarebbe stato arduo alla sola algebra giungere a conclusione. In questo caso non si tratta della legittimazione per via geometrica dell’algoritmo algebrico, ma del soccorso della geometrica ai limiti dell’algebra del tempo. Data l’equazione

x4+ax2+b=cx,

il problema per Ferrari e Cardano consisteva nel ridurre ambo i membri dell’equazione a dei quadrati e nell’estrarre poi la loro radice quadrata.

Per completare il quadrato al primo membro basta sommare ad ambo i membri 2 2x2-ax2. Si ottiene infatti:

x4+2 x2-ax2+ax2+b=cx+2 x2-ax2

ovvero:

x4+2 x2+b=cx+(2 -a)x2

che, posto =q e 2-a=p, si scrive più semplicemente:

x4+2qx+q2=cx+px2 (1)

A questo punto bisogna completare il quadrato a secondo membro facendo in modo che il primo membro continui ad essere un quadrato. È questa l’operazione condotta da Cardano per via puramente geometrica.

Si considera il quadrato ABCD di area x4, ovvero di lato AB=x2; sui prolungamenti di AB e AD si staccano due segmenti BE=DF=q e si costruisce il quadrato AEGF di lato AE. Se si prolungano i lati BC e DC in modo da incontrare rispettivamente FG e EG nei punti I e H si osserverà che il quadrato AEGF è costituito dai due quadrati ABCD=x4 e CHGI=q2, nonché dai due rettangoli uguali BECH e DCIF aventi ciascuno area qx2 . Dunque il quadrato AEGF è dato da x4+2qx2+q2 e rappresenta il primo membro della (1).

Sui prolungamenti dei lati AE e AF si stacchino due segmenti uguali EL=FM=a e si costruisca il quadrato ALNM di lato AL=x2+q+a. ALNM avrà area uguale a (x2+q+a)2.

Prolungando BI ed EG in modo da incontrare MN in Q e R e i lati DH e FG in modo da incontrare il lato LN nei punti P e O, risulta chiaramente che il quadrato ALNM non è altro che il completamento del precedente quadrato AEGF con l’aggiunta dei due rettangoli uguali ELHP e FIQM di area ax2, dei due rettangoli uguali HPOG e IGRQ di area aq, e del quadrato GONR di area a2. Dunque ALNM=(x2+q+a)2 si ottiene da AEGF=x4+2qx2+q2 quando si aggiunga a questo 2ax2+2aq+a2, con che, il primo membro della (1) diviene:

x4+2qx+q2+2ax2+2aq+a2=(x2+q+a)2 (2)

e il secondo membro:

cx+px2+2ax2+2aq+a2 (3)

e quest’ultimo risulterà essere un quadrato perfetto per valori di a tale che il suo discriminante sia uguale a 0, regola antica e familiare equivalente in questo caso a:

c2-4(p+2a)(a2+2aq)=0

che è l’equazione cubica in a:

8a3+4(p+q)a2+8pqa=c2 (4)

Trovato il valore di a dalla (4) con la formula di Cardano, si sostituisce nelle (2) e (3) che, per tale valore di a, risulteranno quadrati perfetti. Estraendo le radici quadrate di ambo i membri si otterrà un’equazione di secondo grado in x che fornisce le radici cercate. Algebra e geometria, insomma, procedevano insieme e, talvolta, come nel caso dell’algoritmo risolutivo delle equazioni di 4° grado si complementavano. Bisognava essere buoni geometri per poter essere degli algebristi. E tuttavia per produrre cose nuove in algebra bisognava "aver fiducia" nella grande arte e sapersi rapportare ad essa con spirito nuovo rispetto a quello dei geometri tradizionali.

Cardano fa scarso uso di abbreviazioni tipiche dell’algebra sincopata (anche se il problema di un’economia nella notazione non è assente nei suoi scritti) e risolve tutte equazioni a coefficienti numerici. Tuttavia queste equazioni sono per lui rappresentative di categorie generali. Per esempio, quando scrive "il cubo e sei volte il lato siano eguali a 20", cioè x3+6x=20, intende tale equazione come tipica di tutte quelle che hanno "cubo e cose uguali a numero", cioè tutte quelle della forma x3+px=q. Sotto questo profilo le equazioni di Cardano rappresentano dei veri e propri paradigmi, cioè degli esemplari che permettono la riproduzione di esempi, ciascuno dei quali potrebbe servire in linea di principio a sostituire il corrispondente esemplare. Oltre l’equazione x3+px=q egli risolve anche i casi x3=px+q, x3+px+q=0, x3+q=px. Ciascuno di essi viene trattato e giustificato geometricamente separatamente, perché, contrariamente a quanto pensiamo noi, queste non rappresentavano la stessa equazione, ma casi diversi in cui dovevano comparire in un’equazione soltanto termini con coefficienti positivi.

Cardano mostra anche come risolvere l’equazione del tipo x3+6x2=100 operando la sostituzione x=y-2 e riducendo quindi l’equazione a y3=12y+84. Fa anche vedere che ponendo x2 = y, si può trattare l’equazione x6+6x4=100 come un’equazione cubica.

Dal punto di vista del calcolo, Cardano fece fare non pochi passi avanti all’algebra. Sebbene ammettesse solo gli interi positivi come numeri veri, (quelli negativi erano numeri fittizi), egli maneggiava con disinvoltura i numeri negativi.

Ma davanti all’immaginario proveniente dall’estrazione delle radici di indice pari di numeri negativi Cardano si arresta; i problemi che conducono a radici siffatte sono problemi "sofistici", non sono veri problemi. Il caso irriducibile delle equazioni di terzo grado, caso in cui le tre radici dell’equazione, tutte reali, sono affette dall’immaginario, resta estraneo alla sua trattazione.

Un risultato immediato, scaturito dalla risoluzione delle equazioni cubiche, fu la prima significativa presa in considerazione di un nuovo genere di numeri, i numeri complessi. Al tempo di Cardano i numeri irrazionali venivano ormai ammessi, anche se non avevano un solido fondamento, giacché potevano essere facilmente approssimati da numeri razionali. Maggiori difficoltà sollevavano i numeri negativi ai quali non si riusciva ad assegnare un preciso significato. Ma se un algebrista avesse voluto negare l’esistenza degli irrazionali o dei negativi avrebbe potuto fare semplicemente come gli antichi greci che dicevano che le equazioni x2=2 e x+2=0 non erano risolvibili. Analogamente gli algebristi erano riusciti a evitare i numeri immaginari semplicemente dicendo che un’equazione come x2+1=0 non era risolvibile. La scoperta del caso irriducibile delle equazioni cubiche mutò radicalmente la situazione. In tal caso, infatti, non si poteva licenziare la cosa dicendo che l’equazione non ammetteva soluzioni trattandosi, invece, di equazioni che ammettevano tutte e tre le radici reali e diverse da zero. Si imponeva quindi una maggiore comprensione dei numeri immaginari.

Ma qui Cardano si arrestò mettendo addirittura in dubbio che, nel caso irriducibile, la "sua formula" non fosse valida.