Le ali di una farfalla

 Nel 1963, il meteorologo americano Edward Lorenz pubblicò un articolo dal titolo Deterministic Nonperiodic Flow in cui, partendo da un modello dinamico non lineare per la descrizione dei moti convettivi nell'atmosfera, descriveva il fenomeno del caos deterministico. Le conclusioni alle quali giungeva erano simili a quelle descritte da Poincaré 60 anni prima, ma suscitarono un vasto interesse sia perché potevano essere "visualizzate" attraverso figure ottenute numericamente (grazie all'uso del computer) sia perché scaturivano dal contesto delle previsioni del tempo, un argomento al quale l'opinione pubblica è molto interessata. La legge del moto che Lorenz si trovò a studiare era espressa dal seguente sistema di tre equazioni differenziali:

 

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dove x, y e z sono le variabili di stato che servono a descrivere le modalità di movimento del fluido mentre S, R e B sono parametri legati a proprietà del sistema (quali temperatura, viscosità, densità). Lorenz era interessato al tipico problema delle previsioni meteorologiche, che è poi il problema dei sistemi dinamici: note le equazioni del moto e dati i valori delle variabili di stato ad un certo istante (ottenuti, ad esempio, mediante misure da stazioni meteorologiche o da satellite), cercare di calcolare quale sarà l'evoluzione dello stato in tempi successivi.
Se non fosse per i termini xy e yz, le equazioni del moto studiate da Lorenz sarebbero lineari e quindi si potrebbe ottenere la soluzione esatta in forma analitica. Lorenz non si aspettava che la presenza di quelle piccole non linearità avrebbe creato grandi problemi. Ma quando passò a calcolare gli andamenti delle x(t), y(t) e z(t), questi risultarono alquanto bizzarri e caratterizzati da oscillazioni molto irregolari (si veda la figura, dove la traiettoria nera rappresenta l'andamento di x(t) ottenuto con S = 10, R = 28, B = 8/3 partendo da condizioni iniziali x(0) = y(0) = z(0) = 10). Lorenz rimase colpito, e nello stesso tempo affascinato, dagli andamenti ottenuti. La sorpresa fu ancor più grande quando si accorse che, partendo da condizioni iniziali che differivano in maniera quasi impercettibile, le corrispondenti traiettorie si allontanavano fra loro con rapidità esponenziale, per poi avvicinarsi di nuovo e poi riallontanarsi e così via. In altre parole, dopo un breve periodo iniziale in cui i comportamenti erano quasi uguali, quelli di lungo periodo risultavano completamente diversi.
Per descrivere questa proprietà, che sarà poi denominata sensitività rispetto alle condizioni iniziali, Lorenz usò ilseguente esempio: la perturbazione provocata dal battito delle ali di una farfalla a Città del Capo potrebbe provocare, dopo qualche giorno, radicali cambiamenti delle condizioni atmosferiche a Londra. Si confrontino, ad esempio, i due andamenti della variabile x(t) della figura, dove quello in rosso è ottenuto partendo da z(0) = 9.99999, anziché z(0) = 10, ovvero con una differenza di 10-6 (proprio il battito di ali di una farfalla).


Le previsioni del tempo, l'attrattore di Lorenz e l'effetto farfalla

Rappresentando le traiettorie nello spazio delle fasi (x,y,z), Lorenz si rese anche conto che queste andavano a disporsi su una particolare figura che non mutava cambiando le condizioni iniziali. Si trattava di un attrattore caotico che venne chiamato attrattore strano di Lorenz (figura a destra). La sua forma ci dà informazioni di regolarità perché ci dice che, per quanto bizzarre, le traiettorie rimarranno intrappolate all'interno di quella figura. Inoltre, la forma e l'estensione dell'attrattore dipendono dai parametri. Da questo si può dedurre, ad esempio, come un aumento di temperatura possa influire sull'ampiezza delle oscillazioni climatiche, pur non permettendo di fare previsioni a lungo termine circa le condizioni meteorologiche.