L'articolo che qui presentiamo compare nel numero doppio ("speciale Atti
Convegno") di CABRIRRSAE, n.35-36, aprile-luglio 2003, a cura dell'I.R.R.E.
dell'Emilia Romagna. Ringraziamo gli organizzatori del Convegno e il
Comitato di redazione per la cortese autorizzazione e collaborazione

 

Vinicio Villani

 

 

L'INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA OGGI E DOMANI

Geometria senza Software Geometrico

di Vinicio Villani Università di Pisa


I. PREMESSA
Ogni innovazione comporta un inevitabile processo di assestamento fra il nuovo e il vecchio. Sarebbe sbagliato rifiutare il nuovo; sarebbe sbagliato buttare a mare il vecchio; sarebbe ugualmente sbagliato limitarsi a giustapporre acriticamente il nuovo al vecchio.
Occorre trovare nuovi equilibri, sulla base delle specificità del vecchio e del nuovo. Esempi emblematici di questi processi di assestamento (per la verità non sempre ben riusciti) possono essere:
- l'evoluzione tecnologica della mobilità individuale: a piedi, a cavallo, in bicicletta, in automobile ...
- le forme di intrattenimento: teatro, cinema, TV ...
L'esigenza di un ripensamento del vecchio a fronte del nuovo è sentita anche in geometria. In questo caso il nuovo è rappresentato dal software geometrico e il vecchio dalla geometria euclidea, dall'uso di modelli fisici e di sussidi tecnologici tradizionali (riga, compasso, squadra, goniometro...), dalla geometria delle coordinate. In varie occasioni precedenti ho sempre evidenziato l'importanza e le potenzialità del software geometrico. Oggi, di fronte ad un uditorio che è già esperto e ben convinto dell'opportunità di un utilizzo didattico di questo strumento, preferisco enfatizzare le specificità del vecchio che a mio avviso, se andassero perdute, impoverirebbero notevolmente l'insegnamento-apprendimento della geometria.
Già un primo impoverimento si è verificato in passato, con la riduzione della GEO-metria del mondo reale (bi-e tri-dimensionale) a FOGLIO-metria (solo bi-dimensionale). Oggi il rischio è che, con l'avvento dei calcolatori, la FOGLIO-metria degeneri in SCHERMO-metria. Ciò non deve assolutamente accadere.
Nel 2° paragrafo presenterò un'esemplificazione (certo non esaustiva) di tematiche e di attività che prescindono dall'uso di software geometrico e che ritengo tuttora attuali e rilevanti per la formazione geometrica dei nostri giovani.
Nel successivo 3°, data l'impossibilità di commentare singolarmente tutte le proposte elencate nel paragrafo 2, focalizzerò l'attenzione su un numero ristretto di queste, cercando di metterne in evidenza la valenza culturale generale, che a mio avviso va ben al di là degli esempi specifici.
Infine, dedicherò il 4° ad alcune brevi riflessioni conclusive.

II. ESEMPI DI TEMATICHE E DI ATTIVITÀ
GEOMETRICHE CHE PRESCINDONO DALL'USO
DI SOFTWARE GEOMETRICO

1. USO DI STRUMENTI TRADIZIONALI PER UN
APPROCCIO COSTRUTTIVO ALLA GEOMETRIA
PIANA

1.1. Utilizzo di riga e squadra per realizzare un tratteggio
a righe parallele. (Cfr. [15])
1.2. Utilizzo di riga graduata, squadra e compasso per disegnare, a partire da una semplice figura geometrica (triangolo, bandierina ...) la figura traslata (di dato vettore), simmetrica (di dato asse), ruotata (di dato centro e angolo). (Cfr. [15])
1.3. Calcolo dell'area di una figura geometrica disegnata su un foglio, con utilizzo di opportuni strumenti per misurarne lunghezze e/o angoli.
1.4. Estensione dell'attività di cui al punto precedente per determinare in modo approssimato l'area di una figura irregolare (per esempio con utilizzo di quadrettature o triangolazioni ...).
1.5. Uso delle proprie misure corporee (piede, passo ...) per una valutazione grossolana delle dimensioni di un pavimento o della lunghezza di un percorso.
1.6. Capacità di interpretare una carta topografica (per es. la pianta di una città) sia in termini di distanze che di orientamento.
1.7. Quali informazioni si possono desumere, e quali no, dallo schema della rete ferroviaria riportata sugli orari delle ferrovie?
1.8. Disegno di un'ellisse col metodo del giardiniere.

2. AVVIO ALLA SISTEMATICITÀ
2.1. Classificazione dei triangoli e/o dei quadrilateri rispetto alle loro simmetrie.
2.2. Fra tutte le configurazioni piane (connesse) che si possono ottenere affiancando 6 quadrati lato contro lato, individuare quelle che rappresentano possibili sviluppi di un cubo. Discussione su cosa si debba intendere per "sviluppi diversi". Discussione sui pregi di questo o di quell'altro sviluppo. (Cfr. [14]). Per un'estensione al caso degli sviluppi dei parallelepipedi rettangoli, Cfr.[1].
2.3. A partire dal disegno di uno sviluppo piano del cubo, colorare con lo stesso colore le coppie di spigoli che nella ricostruzione vanno identificati. (Cfr. [16])
2.4. Conteggio del numero dei vertici, degli spigoli e delle facce di vari poliedri (in presenza o in assenza di un modello fisico). (Cfr. [16])
2.5. Individuazione dei tipi di figure geometriche che si possono ottenere sezionando mediante un piano: una sfera, un cilindro, un cono, un cubo. (Cfr [14])


3. USO DI UN LINGUAGGIO CHIARO E UNIVOCO
3.1. Dettatura al telefono: gioco a coppie, con un allievo che deve descrivere a parole ad un suo compagno una figura piana o solida in modo tale che il compagno la possa ricostruire correttamente.
3.2. A partire da una definizione oscura, incompleta o incoerente (per es. "triangolo è l'intersezione di tre semipiani" oppure "triangolo è una figura formata da tre punti e tre segmenti" oppure "nello spazio, l'angolo formato da una retta e da un piano è l'angolo che la retta forma con una retta del piano") trovare controesempi atti ad evidenziare l'inadeguatezza della definizione e quindi la necessità di un aggiustamento della stessa.

4. OPERATIVITÀ NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE
(DAL MICRO-SPAZIO AL MACROSPAZIO)
4.1. Si forniscono modelli concreti di una piramide(solido o solo scheletro) e si chiede di usare gli strumenti disponibili ritenuti più idonei per eseguire le misurazioni necessarie al fine di calcolarne il volume. (Cfr. [5], Appendice al Cap. 9)
4.2. Si considera un tavolo, realmente presente nell'aula, e si chiede agli allievi di segnare col gesso sul pavimento le posizioni delle quattro gambe del tavolo qualora lo stesso dovesse essere riposizionato lungo una delle pareti dell'aula. (Cfr. [12], Cap.2, Contributo di Berthelot - Salin)
4.3. Si fornisce agli allievi una livella e si chiede quante misurazioni sono necessarie per stabilire se un piano è orizzontale o no. Si passa poi alla fase sperimentale.
4.4. Lasciando scegliere agli allievi gli strumenti appropriati, si chiede come procederebbero operativamente per conficcare un'asta perpendicolarmente ad un piano(due casi: se il piano è orizzontale, se il piano non è orizzontale). Si passa poi alla fase sperimentale.
4.5. Supponendo di disporre di un minimo di strumenti e di oggetti di uso corrente (spago, bastoncini ...), descrivere un procedimento operativo che consenta ad un osservatore sulla spiaggia di valutare la distanza angolare fra due navi visibili all'orizzonte. (Cfr. [10], §10).
4.6. Come si fa a valutare l'angolo visuale sotto il quale un osservatore terrestre vede il diametro della luna?(Cfr. [2])
4.7. Come si fa ad individuare la direzione del Sud mediante l'osservazione di ombre solari? Quali altri metodi consentono di individuare il Sud? (Cfr. [10], § 5)

5. DALL'OSSERVAZIONE EMPIRICA ALLA
MATEMATIZZAZIONE DELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE
5.1. Le ombre solari di un filare di cipressi sono parallele? Perché? (Cfr. [3], Cap. II, 1)
5.2. Quali proprietà geometriche si mantengono nella proiezione assonometrica piana di una figura geometrica dello spazio (allineamento, parallelismo, perpendicolarità, lunghezze ...)?
5.3. Stessa domanda del punto precedente, nel caso di una proiezione prospettica piana (da un punto al finito).
5.4. Lo scheletro di un cubo è appoggiato su un piano. Una sorgente luminosa puntiforme proietta l'ombra dello scheletro sul piano.
Quali poligoni si possono ottenere come proiezioni della faccia superiore del cubo, al variare della posizione della sorgente luminosa? (Cfr. [12], Cap. 5, Contributo di R.Douady - B. Parzysz)
5.5. Quali ampiezze angolari si possono ottenere sezionando un angolo diedro con un piano?
5.6. Come si individua la posizione di una stella nel cielo? (Cfr. [10])

6. ASPETTI COMPUTAZIONALI E GEOMETRIA
DELLE COORDINATE

6.1. Scelta ottimale di un riferimento cartesiano, in vista di una dimostrazione analitica di un teorema di geometria (per es.: esistenza di qualcuno dei punti notevoli di un triangolo).
6.2. Indimostrabilità per via analitica dei teoremi di Talete e di Pitagora.
6.3. Dimostrazione dell'esistenza di tre pavimentazioni del piano con poligoni regolari (triangoli equilateri, quadrati, esagoni regolari). (Cfr. [4], Cap. 2 e [7], Cap.2)
6.4 Dimostrazione dell'esistenza di cinque poliedri regolari. (Cfr. [4], Cap. 3 e [7], Cap. 4)
6.5. Quali, tra i poliedri regolari, consentono un riempimento dello spazio? (Cfr. [4], Cap. 3 e [7], Cap. 6)
6.6. Quanti cerchi di raggio unitario possono essere contenuti in un rettangolo di date dimensioni, e qual è il rapporto fra l'area complessiva dei cerchi e quella del rettangolo? (Cfr. [8])
6.7. Quante sfere di raggio unitario possono essere contenute in una scatola (parallelepipedo rettangolo) di date dimensioni, e qual è il rapporto fra il volume complessivo delle sfere e quello della scatola? (Cfr. [4], Cap. 4 e [8])

7. RIFLESSIONE SU ALCUNI RISULTATI DI
GEOMETRIA EUCLIDEA NON CONGETTURABILI
A PARTIRE DA UN'OSSERVAZIONE EMPIRICA
7.1. L'irrazionalità del rapporto fra diagonale e lato del quadrato.
7.2. L'impossibilità di trisecare un generico angolo con riga e compasso.
7.3. La non costruibilità di un angolo di 1° (un grado) con riga e compasso.
7.4. L'esistenza di una corrispondenza biunivoca fra i punti di due segmenti di lunghezze diverse.
7.5. I ragionamenti per assurdo.

8. GEOMETRIA SULLA SFERA
8.1. Le geodetiche sulla sfera. (Cfr. [13], § 11.4)
8.2. Il trasporto parallelo (Cfr. [9], Cap 6)
8.3. L'eccesso sferico (Cfr. [6], Cap. 2)
8.4. La cartografia: quali proprietà geometriche si mantengono
e quali no secondo la proiezione usata? (Cfr.
[11] e [6] Cap. 3 e 4)

 

III. COMMENTI SU ALCUNE DELLE TEMATICHE
E ATTIVITÀ ELENCATE NEL PARAGRAFO
PRECEDENTE

Commento relativo al punto 1.2
Un ricorso al software geometrico (in particolare a Cabri) facilita enormemente le costruzioni della geometria classica. Tuttavia ritengo che un minimo di manualità, da acquisire in prima persona con l'uso degli strumenti tradizionali (riga e compasso), sia essenziale per rendersi conto da un lato della logica soggiacente allo stesso software geometrico e dall'altro lato per apprezzare lo stupefacente processo di astrazione che fin dall'antichità classica ha fatto passare la geometria da semplice collezione di esperienze empiriche a teoria rigorosa negli Elementi di Euclide.
Com'è ben noto, nel caso dell'esempio specifico, la difficoltà della consegna varia grandemente a seconda che si usi carta quadrettata o bianca, asse di simmetria parallelo o inclinato rispetto ai bordi del foglio, angolo di rotazione della stessa ampiezza di uno degli angoli della squadra o generico, ecc. Può essere anche interessante far scoprire agli allievi che -a differenza delle usuali trattazioni "statiche"- nelle rotazioni vanno utilizzati angoli orientati. L'attività è pensata per la fascia d'età fra gli 11 e i 14-15 anni.

Commento relativo ai punti 2.2 e 2.3
L'attività proposta in 2.2 è significativa sotto almeno tre punti di vista, in quanto:
- coinvolge attivamente gli allievi in un lavoro di classificazione, differenziandosi così da gran parte delle altre situazioni dove le classificazioni matematiche vengono imposte d'autorità (vedi per es. quelle dei triangoli o dei quadrilateri o delle isometrie);

- favorisce interessanti confronti di opinioni tra gli allievi. Per esempio, lo sviluppo di figura 1(a) è percepito come "più naturale" dello sviluppo (b) ma d'altra parte quest'ultimo gode di un'interessante proprietà supplementare: con "mattonelle" di quella forma è possibile ricoprire tutto il piano. Quanto agli sviluppi (c) e (d), è opinabile se essi vadano considerati distinti o meno, in quanto sono solo specularmente uguali (il che costringe a precisare quand'è che due sviluppi sono da considerarsi "uguali");
- stimola la capacità di immaginare la situazione tridimensionale, basandosi esclusivamente sull'osservazione di figure piane.
L'attività proposta in 2.3 integra la precedente, soprattutto in quanto stimola la capacità di immaginazione e previsione, ossia il ragionamento ipotetico-deduttivo("Cosa accadrebbe se ... ").
L'attività è pensata per la fascia d'età fra gli 11 e i 15-16
anni.

Commento relativo al punto 3.1
Ad uno degli allievi coinvolti nel "gioco" viene consegnato il disegno di una figura piana o il modello tridimensionale di una figura solida (per esempio realizzato col Lego). L'altro allievo (o gruppo di allievi), senza avere la possibilità di vedere il disegno o il modello, deve riprodurlo fedelmente in base ad una descrizione verbale del primo allievo. Sono ammesse domande di chiarimento verbali. Le regole del gioco possono esigere una "fedeltà" della riproduzione di tipo solo qualitativo o anche metrico. La difficoltà aumenta considerevolmente se le figure geometriche da riprodurre sono disegnate in posizioni non standard o se, come in figura
2 (a), sono formate da due parti sconnesse. Nel caso dei modelli tridimensionali, come quello raffigurato in figura 2 (b) si presenta poi il solito problema dell'accettabilità o meno di eventuali riproduzioni che dovessero risultare speculari rispetto al modello originale.


La valenza formativa di questo "gioco" sta nel rendere consapevoli gli allievi dell'importanza di un linguaggio chiaro e univoco, aspetto particolarmente sentito in ambito matematico, ma non solo in ambito matematico. L'attività è pensata per la fascia d'età fra gli 11 e i 15-16 anni.


Commento relativo ai punti 4.3 e 4.4
Quanto all'uso della livella, bastano due misurazioni secondo direzioni diverse. Il teorema matematico soggiacente stabilisce che la giacitura di un piano è univocamente determinata dalla conoscenza di due rette non parallele appartenenti al piano. Vale però la pena di notare che l'essere "orizzontale" non è una proprietà matematica, bensì fisica, in quanto collegata all'effetto della forza di gravità. Quanto all'asta perpendicolare al piano, se questo è orizzontale si può sfruttare nuovamente la forza di gravità, usando un filo a piombo. Per i piani in posizione generica, un metodo particolarmente semplice consiste nell'appoggiare due squadre sul piano (ciascuna su uno dei suoi cateti) facendo inoltre combaciare tra loro gli altri due cateti (vedi fig. 3). La retta individuata dai cateti combacianti individua la direzione perpendicolare al piano.


Il teorema matematico soggiacente stabilisce infatti che una retta r è perpendicolare ad un piano se essa è perpendicolare a due rette distinte del piano, passanti per il punto nel quale r interseca
Questa attività consente di rendere concrete due nozioni basilari della geometria tridimensionale che nelle trattazioni solo cartacee rimangono avulse da ogni esperienza fisica. Mi riferisco all'individuazione della giacitura di un piano nello spazio e alla perpendicolarità fra retta e piano nello spazio.
L'attività è proponibile a partire dall'età di 11-12 anni, ma è particolarmente indicata in collegamento con una trattazione matematica delle prime nozioni di geometria tridimensionale (a livello intuitivo nella scuola media, a livello razionale nelle scuole secondarie superiori).

Commento relativo al punto 5.4
Per rendere più concreto il problema, è opportuno materializzare la situazione appoggiando sul tavolo lo scheletro di un cubo (fatto artigianalmente, per esempio col fil di ferro). Conviene invece posticipare l'accensione della lampadina a dopo che una discussione collettiva avrà fatto emergere opinioni e congetture molto diversificate: ci sarà chi affermerà che si possono ottenere quadrilateri (convessi) di forma arbitraria, chi penserà ai soli parallelogrammi o ai soli rettangoli, forse qualcuno dirà che l'ombra è sempre un quadrato. E proprio quest'ultima è la risposta corretta. Infatti la faccia superiore del cubo giace su un piano parallelo al piano di appoggio, e quindi la proiezione da un punto qualsiasi è una similitudine (la quale, com'è ben noto, trasforma sempre quadrati in quadrati).


Le risposte errate derivano da due distinti fattori sui quali vale la pena di riflettere:
- nella vita di tutti i giorni capita spesso di osservare ombre di oggetti "verticali" o variamente "inclinati", assai più raramente di oggetti in posizione "orizzontale";
- nell'insegnamento tradizionale (che si limita alla sola geometria bi-dimensionale) non viene evidenziata la genesi spaziale delle similitudini, come proiezioni da un punto (al finito) di un piano su un piano parallelo.
L'attività è pensata per la fascia d'età compresa fra 15 e 18 anni ma le stesse difficoltà si riscontrano anche negli studenti universitari e nei laureati in matematica.

Commento relativo al punto 5.6
L'astronomia è una fonte inesauribile (e a torto trascurata) di problemi geometrici affascinanti, che riguardano oggetti non materialmente raggiungibili del "macrospazio". Nel caso specifico si deve ricorrere ad un sistema di coordinate polari, mentre le coordinate cartesiane sarebbero solo fuorvianti.
L'attività è pensata per la fascia d'età compresa fra i 15
e i 18 anni, meglio se ben coordinata con un modulo di geografia astronomica.

Commento relativo ai punti 6.6 e 6.7
Quanto ai cerchi del piano (punto 6.6) esistono due arrangiamenti regolari, rispettivamente a maglie quadrate (fig. 5 (a)) e a maglie esagonali (fig. 5 (b)).
Le dimensioni del più piccolo rettangolo che contiene m file di n cerchi di raggio unitario sono diverse nei due casi. Nel caso delle maglie quadrate il rapporto fra l'area complessiva dei cerchi e quella del rettangolo è indipendente da m e da n, ed è uguale al rapporto fra l'area di un singolo cerchio e quella del quadrato ad esso circoscritto. Nel caso delle maglie esagonali, invece, tale rapporto dipende da m e da n, in quanto vicino ai bordi del rettangolo rimangono inutilizzati degli spazi (che potrebbero contenere semicerchi, se il problema consentisse tale frammentazione). Al crescere di m e di n l'influsso di questi spazi inutilizzati decresce, e al limite il rapporto fra l'area complessiva dei cerchi e quella del rettangolo è uguale al rapporto fra l'area di un cerchio e quella dell'esagono ad esso circoscritto. Quindi, per m ed n abbastanza grandi, la disposizione a maglie esagonali consente un migliore utilizzo dello spazio interno al rettangolo (vedi il classico problema delle celle delle api); non è così per valori piccoli di m ed n. I calcoli non sono difficili.

Quanto alle sfere dello spazio (punto 6.7) vengono subito in mente due arrangiamenti regolari a strati sovrapposti, partendo dalle due configurazioni piane sopra ricordate, interpretate ora come proiezioni delle situazioni tridimensionali sul piano d'appoggio. Si presenta però una complicazione supplementare: per ottimizzare il rapporto fra il volume delle sfere e quello della scatola conviene disporre le sfere dello strato successivo entro gli "avvallamenti" dello strato sottostante. Occorre quindi calcolare il dislivello dei centri delle sfere fra i due strati (dislivello che è dato dall'altezza di una piramide regolare con i vertici nei centri delle sfere coinvolte). Esempi concreti di siffatte disposizioni di oggetti sferici possono essere le "piramidi" formate con le palle di cannone, che si vedono spesso nei pressi di qualche fortezza rinascimentale, oppure le disposizioni delle arance sui banchi dei mercati ortofrutticoli.
Queste attività sono interessanti sia dal punto di vista tecnico, in quanto esercizi non banali di calcolo numerico in contesti di geometria piana e solida, sia dal punto di vista culturale, in quanto il caso tridimensionale si ricollega addirittura ad un problema posto oltre tre secoli fa da Keplero, e che è rimasto aperto fino ai giorni nostri. La congettura di Keplero oggi conosciuta come "sphere packing problem", consiste nel trovare il riempimento di massima densità dello spazio mediante sfere dello stesso raggio. I due arrangiamenti regolari qui descritti non centrano tale obiettivo. Per strano che possa sembrare, esistono infatti arrangiamenti non regolari con densità (leggermente) maggiore!
L'attività 6.6 è proponibile a partire dai 14-15 anni, mentre l'attività 6.7 è pensata per la fascia d'età fra 16 e 18 anni.

Commento relativo al punto 7.1
La dimostrazione dell'irrazionalità di può essere considerata come il vero punto di partenza di tutta la matematica, intesa come scienza teorica. Infatti, mentre altri classici teoremi pur importantissimi, come quelli di Talete e di Pitagora, consentono verifiche empiriche basate sulla misura di lunghezze, angoli ed aree, l'irrazionalità del rapporto fra due grandezze non può e non potrà mai essere provata né smentita sulla base di misure sperimentali.
L'attività è pensata per la fascia d'età fra 14 e 16 anni.

Commento relativo ai punti 8.1 e 8.2
Le geodetiche (linee di minima distanza) del piano sono le rette. Le geodetiche della sfera sono i cerchi massimi. Se si riformulano gli assiomi e i teoremi della geometria classica in termini di geodetiche, si ottiene subito un modello tangibile di geometria non-euclidea: sulla sfera due geodetiche si intersecano sempre in due punti, e quindi sulla sfera non esistono geodetiche parallele. Questa semplice riflessione fa vedere sotto una luce nuova lo studio delle proprietà della sfera.
Cerchiamo dunque di evidenziare analogie e differenze fra la geometria del piano e quella della sfera. Nel piano euclideo sussiste il teorema "la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto". Ecco una dimostrazione particolarmente intuitiva di tale teorema.


Immaginiamo di percorrere il perimetro del triangolo in uno dei due versi possibili; in ciascuno dei tre vertici si deve fare una brusca "svoltata" di ampiezza pari all'angolo esterno del triangolo in quel vertice. Poiché alla fine del percorso si è fatto un giro completo, la somma degli angoli esterni del triangolo ammonta precisamente ad un angolo giro. D'altra parte, in ogni vertice l'ampiezza dell'angolo interno sommata a quella del corrispondente angolo esterno ammonta ad un angolo piatto. Per differenza fra la somma dei tre angoli piatti e l'angolo giro, ne segue che la somma dei soli angoli interni ammonta ad un angolo piatto. Il teorema è così dimostrato. Questa stessa dimostrazione vale (o sembra valere) anche nel caso dei triangoli sferici (ricordo che gli angoli formati da due archi di cerchio sono per definizione gli angoli formati dai corrispondenti vettori tangenti). Ciò è però contraddetto dal fatto ben noto (e direttamente verificabile su triangoli aventi per lati archi di meridiani e paralleli) che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è maggiore di un angolo piatto (eccesso sferico). Dov'è nascosto l'errore nella dimostrazione or ora richiamata? La spiegazione sta nella nozione di "trasporto parallelo". Sia nel piano che sulla sfera, si immagini di percorrere un tratto di geodetica trasportando un'asta "orizzontale" col vincolo di mantenere costante l'ampiezza dell'angolo fra la geodetica e l'asta. Ad ogni vertice si riprenda il cammino lungo il successivo tratto di geodetica, senza modificare la direzione dell'asta. Si constata che nel caso del triangolo piano (fig. 6 (a)) si ritorna al punto di partenza con l'asta nella posizione di partenza, mentre nel caso del triangolo sferico (fig. 6 (b)) si ritorna con l'asta in una posizione diversa. Chi preferisce vedere questa anomalia con l'ausilio di un modello tridimensionale prenda un pallone e ci disegni sopra un bel triangolo sferico.
Tornando al teorema sulla somma degli angoli interni, il passaggio errato nella dimostrazione sta nell'aver dato per scontato che un giro completo, frutto di un cammino con tre "svoltate" in tre punti diversi, equivalga ad un angolo giro intorno ad uno stesso punto. Ciò è vero nel piano, in quanto i tre angoli esterni, traslati in uno stesso vertice formano effettivamente un angolo giro. Non è più vero sulla sfera, dove il trasporto parallelo degli angoli esterni in uno stesso vertice dà luogo ad un angolo minore di un angolo giro!
L'attività è pensata per allievi degli ultimi due anni di scuola secondaria superiore, in concomitanza con un riesame critico dei fondamenti della geometria.

IV. RIFLESSIONI CONCLUSIVE
Gran parte delle proposte or ora elencate non rientrano né tra le attività geometriche tradizionali (con libro di testo, quaderno, carta e matita), né tra le attività proponibili con l'uso di software geometrico.
Ed è un vero peccato che siano state emarginate dall'insegnamento, pur essendo facili da realizzare, istruttive e coinvolgenti. Quanto ai pregi e ai limiti dell'uso di software geometrico rispetto all'uso degli strumenti da disegno tradizionali con carta e matita, mi sembra di poter dire che il software geometrico ha tre grossi pregi:
- è più coinvolgente;
- facilita la formulazione di congetture;
- costringe a rispettare regole precise nella costruzione delle figure.
Il rovescio della medaglia è costituito da tre limiti:
- si riduce ulteriormente la "manualità" tradizionale;
- l'evidenza visiva rischia di far perdere interesse per il metodo ipotetico-deduttivo;
- la visualizzazione delle figure geometriche sullo schermo di un calcolatore (suddiviso in un numero finito di pixel) rischia di accentuare ancor più la frattura (peraltro già presente nell'uso del disegno tradizionale) fra la struttura granulare della materia e le nozioni di "infinito", "illimitato", "continuo" che costituiscono da oltre ventitre secoli l'essenza del pensiero geometrico teorico.

Termino con un ringraziamento. Le figure inserite in questo articolo sono state realizzate con l'uso di Cabri dal prof. Luigi Tomasi. Lo ringrazio sentitamente per il generoso e validissimo aiuto, e soprattutto per essere stato al gioco di includere un esempio di utilizzazione di questo software geometrico in una relazione che ha per titolo "geometria senza software geometrico". Ma non c'è contraddizione: il Cabri è uno strumento estremamente versatile, che può essere usato a vari livelli e per scopi didattici molto diversi. Nel caso specifico si è trattato esclusivamente di un utilizzo a livello grafico che non invalida la mia tesi di fondo, condivisa anche dal prof. Tomasi: il software geometrico, usato con intelligenza e senso critico, è una risorsa preziosa, che si integra perfettamente con altri aspetti importanti della geometria, senza la pretesa di soppiantarli.


 

BIBLIOGRAFIA
[1] A. M. Arpinati, C. Pellegrino, Alla ricerca di una strategia di classificazione sugli sviluppi piani dei parallelepipedi rettangoli in La Matematica e la sua didattica, n. 4 1991, pagg. 4-11.

[2] Archimede, L'Arenario, Edizione Italiana delle Opere di Archimede, a cura di A. Frajese, UTET, Milano 1974

[3] P. Boero, Insegnare matematica nella scuola di tutti, Fabbri, Milano 1986

[4] M.H. Cundy, A.P. Rollett, I modelli matematici, Feltrinelli, Milano 1974

[5] B. D'Amore, Elementi di Didattica della Matematica, Pitagora, Bologna 1999

[6] G. De Cecco, E. Mangino, La sfera in geometria e geografia, Dipartimento di Matematica, Università di Lecce 2001

[7] M. Dedò, Forme, Decibel-Zanichelli, Bologna 1999

[8] T. Hales, The Status of Kepler's Conjecture, in Mathematical Intelligence, 16, 1994, pagg. 47-58

[9] D. Henderson, Experiencing Geometry on Plane and Sphere, Prentice Hall 1996

[10] N. Lanciano, Strumenti per i giardini del cielo, Junior 2002

[11] C. Lardicci, Aspetti geometrici della cartografia, in Archimede, n. 34 Gennaio-Giugno 1982, pagg. 23-42

[12] C. Mammana, V. Villani, Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century, Kluwer 1998

[13] I. Niven, Maxima and Minima without Calculus, Mathematical Association of America 1981

[14] V. Villani, La Geometria - Dallo spazio al piano,Quaderno CNR 1985

[15] IRRSAE Marche, Didattica della geometria delle trasformazioni, VHS 1992

[16] IRRSAE Toscana, Il Cubo, VHS 1997.