Anna Salvadori

Primo Brandi

Insegnano al Dipartimento di Matematica ed Informatica dell'Università degli Studi di Perugia

 

 


La modellizzazione del quotidiano come motore di innovazione didattica

Parte I

 

Introduzione
Da alcuni anni è latente nel mondo universitario, sia europeo che extraeuropeo, l'esigenza di un rinnovamento della didattica della matematica dettato in parte dalle ben note difficoltà delle matricole ed alimentato dal crescente ventaglio di opportunità offerte dalla tecnologia informatica. Sino ad ora in Italia si sono avute solo alcune esperienze isolate, ma è molto probabile che la riforma in atto agirà da fattore scatenante, convincendo la classe docente che sono diventate indispensabili sia un forte raccordo con la formazione scolastica che una drastica innovazione della didattica universitaria.
Il Progetto Innovamatica (Innovazione & Matematica) sta dibattendo ed operando dal 1994 ed ha maturato una buona esperienza, grazie anche alla stimolante interazione con docenti e studenti degli Istituti Superiori.
La proposta che presentiamo nasce da una sperimentazione attivata nel 1997, con matricole di vari corsi di laurea e studenti del triennio di Istituti Superiori in Umbria, che ha coinvolto circa 3.000 ragazzi, 1.500 matricole ed ha visto la partecipazione di oltre quaranta docenti di cui cinque universitari.
L'idea guida del rinnovamento è sviluppare un'attitudine sperimentale nei confronti della Matematica, evidenziandone il ruolo chiave nella modellizzazione delle scienze applicate.
Il modello matematico di un fenomeno (o problema) della vita reale è un processo di razionalizzazione che ha lo scopo di fornire una descrizione sintetica ed oggettiva. Il fenomeno può così essere esaminato, eventualmente controllato e si possono fare previsioni sulla sua evoluzione. Negli ultimi anni la diffusione e l'affermarsi di strumenti di calcolo e rappresentazione grafica sempre più potenti e sofisticati ha dato un forte impulso allo sviluppo di modelli matematici anche in discipline "non tradizionali".
E' proprio questo il motivo che rende indispensabile almeno un modulo di matematica e di informatica in tutti i corsi di laurea delle Facoltà Scientifiche ed ha promosso l'attivazione di corsi di modellizzazione logicomatematica (più o meno espliciti) anche in Facoltà Umanistiche. Gli studenti universitari non possono continuare ad ignorare quale sia il ruolo effettivo della matematica nel loro curriculum ed accettarla solo come disciplina formativa o peggio subirla come strumento di selezione.
Agganciare la teoria matematica al mondo reale, oltre a stimolare l'interesse, promuove un apprendimento attivo, aiuta ad affrontare lo studio come scoperta e favorisce la comprensione dei concetti matematici. Oggi è possibile proporre un approccio elementare alla modellizzazione matematica sin dalle scuole superiori, grazie anche al supporto delle nuove tecnologie.
Quello che ci siamo proposti di realizzare non è un semplice corso di calcolo con applicazioni, ma un corso che tragga ispirazione dalla vita quotidiana. Partendo da problemi elementari con l'obiettivo della loro formalizzazione matematica, si introducono concetti e strumenti che vengono acquisiti e testati nella fase di studio del modello. Successivamente la valutazione dell'efficienza del modello consente di perfezionare gli strumenti, riflettere sulla teoria ed evidenziare ulteriori esigenze. A sua volta l'acquisizione di strumenti matematici sempre più potenti consente di affrontare problemi più complessi o di approfondire la modellizzazione di quelli già affrontati. In questo modo, come in un gioco a pingpong tra il mondo reale e quello matematico, il percorso formativo si evolve in una elica ascendente.
Questo processo consente ai ragazzi di apprezzare le potenzialità del linguaggio matematico e fornisce loro una chiave di lettura per assimilare con consapevolezza la teoria. Scoprono che grazie all'astrazione matematica, uno stesso modello è in grado di rappresentare più fenomeni anche molto diversi tra loro. Inoltre strumenti e tecniche possono essere adattati o assemblati per gestire nuove problematiche. Un po' come si fa con le costruzioni Lego, in cui pochi elementi base permettono di realizzare una grande varietà di strutture anche molto complesse.
Numerosi temi e percorsi didattici a livello di scuola superiore o universitario sono presentati in [ BCS]. Informazioni sulla sperimentazione didattica cioè obbiettivi, contenuti, metodologie didattiche, organizzazione e valutazione dell'esperienza sono reperibili in [1,2] e nel sito: www.innovamatica.it.
Il ruolo dei processi iterativi. In questo articolo presentiamo alcune delle potenzialità offerte dai processi iterativi sia come strumento di modellizzazione che come motore e struttura portante per l'evoluzione della teoria. Abbiamo scelto i processi iterativi perché pur essendo uno strumento elementare, offrono una vasta gamma di applicazioni e propongono spunti di riflessione ed approfondimento multidisciplinari. Utilizzati sin dagli albori della modellizzazione, sono ancora di grande attualità, grazie allo sviluppo dell'informatica.


Problemi di vita reale
P1. Caratteristiche conformi. Nel rispetto delle norme sull'igiene un produttore espone le seguenti caratteristiche di una lavatrice per uso domestico:

Vogliamo stabilire quanti risciacqui sono necessari nel ciclo di lavaggio normale e nel ciclo economy affinché l'elettrodomestico sia conforme a quanto dichiarato dal produttore.

P2. Datazione di sostanze organiche. Nel castello di Winchester è conservata una grande tavola rotonda di legno del diametro di 5.5 m, divisa in 25 settori. Alcuni studiosi hanno ipotizzato che potesse trattarsi della leggendaria tavola rotonda di re Artù, ma la datazione effettuata con il metodo del carbonio C14 ha stabilito che la tavola proviene da alberi tagliati nel secolo tredicesimo.
Modellare il metodo di datazione con l'isotopo C14.

P3. Evoluzione di due popolazioni isolate. La popolazione di un medicaio (prato di erba medica) è distinta in due famiglie
Famiglia I: piante nate da seme da incrocio [seme prodotto da piante fecondate con polline di altre piante]
Famiglia A: piante nate da seme da auto impollinazione [seme prodotto da piante fecondate con il proprio polline].
In genetica è accreditata l'ipotesi che le piante della famiglia A si riproducano esclusivamente per incrocio, mentre le piante della famiglia I si riproducano parte per incrocio e parte per auto fecondazione.

Nel 1977 [3] si è stimato che nei medicai dell'Italia centrale le piante della famiglia I producono il 60% circa di seme da incrocio e il restante 40% seme da auto fecondazione (vedi Figura 1).
Ai fini della selezione di nuove varietà e della produzione commerciale di seme, è di estremo interesse conoscere l'evoluzione della popolazione al trascorrere delle generazioni. In particolare, si vuole stimare il rapporto tra le due popolazioni in un medicaio dell'Italia centrale ottenuti con sementi non selezionate.

P4. Prescrizione medica. Per motivi di prudenza si ritiene inopportuno che i pazienti ipertiroidei, cui è stato somministrato Iodio131 a scopo terapeutico, prendano in braccio bambini prima che l'attività radioattiva si sia ridotta del 70%. Qual sarà il consiglio del medico, se lo Iodio131 ha un tempo di emivita di 8 giorni (ovvero l'attività radioattiva si dimezza in 8 giorni).?

P5. L'altalena. Un'altalena per bambini oscilla (sotto l'effetto della sola gravità) perdendo ad ogni semioscillazione l'1% della energia a causa dell'attrito. Confutare l'affermazione "dopo quarantanove oscillazioni l'energia residua è uguale al 2% dell'energia iniziale".

P6. Piani di investimento a confronto. Un agente finanziario propone due piani di investimento riportati in tabella 1.Egli afferma che per investimenti di oltre 10.000 € il piano A risulta più conveniente.

Avete argomentazioni per verificare se l'affermazione è vera o falsa?

Il modello matematico
I problemi presentati sono suscettibili di una medesima formulazione matematica.
Nei problemi P1, P3, P5, P6 è presente in modo evidente una azione che viene ripetuta più volte. Si pensi al ciclo di risciacquo nell'esempio P1, al ciclo di riproduzione nell'esempio P3, all'oscillazione completa nell'esempio P5, al periodo di durata semestrale o annuale nell'esempio P6. Diremo sinteticamente di essere in presenza di un processo iterativo.
Il processo di decadimento radioattivo (alla base dei problemi P2 e P4) è un caso particolare del processo presente in P3.
Un processo iterativo consiste nell'applicare più volte e ripetutamente una medesima trasformazione. Vediamo ora come esso può essere rappresentato graficamente. Consideriamo una trasformazione che ad ogni input (ingresso) i fa corrispondere un output (uscita) u=T(i0). Partendo da uno start i0 , per effetto della trasformazione si ottiene una uscita u0=T(i0). Se si immette il valore u0 come nuovo ingresso (operazione di retro-azione o feedback), si ottiene una nuova uscita u1.Procedendo iterativamente si realizza un processo rappresentato in figura 2 o in figura 3.



I primi elementi del processo possono essere valutati attraverso lo schema seguente:

Assegnata una trasformazione ed uno start , il processo feed-back è descritto formalmente dal sistema:


che per cancellazione e rinominando le variabili può essere semplificato nel modo seguente:

La successione (xn)n identifica completamente il processo ed è detta successione delle iterate.


Interazione di due popolazioni isolate (problema P3)
Sviluppiamo in dettaglio il problema P3. Lo svolgimento degli altri problemi presentati si può trovare in [1].
In questo problema il numero delle generazioni non è noto, ma è dell'ordine di qualche miliardo (legato all'età della vita vegetale sulla terra). Si tratta quindi di stabilire l'evoluzione delle due famiglie a lungo termine (evoluzione asintotica).
Ci si può chiedere se le due popolazioni evolvono verso una situazione di equilibrio; in altri termini se al crescere del numero delle generazioni il numero delle piante di ciascuna famiglia resta pressoché invariato nel passare da una generazione alla successiva.
Studiamo dapprima l'evoluzione del processo mediante un approccio graficonumerico. Indichiamo con In e An il numero delle piante della famiglia I e della famiglia A presenti alla n-esima generazione.

Sia γ la percentuale di piante di tipo A prodotte da piante di tipo I a seguito del passaggio da una generazione alla successiva (nel nostro caso γ40% ). Dalla figura 1 si deduce che la successione (An,In)ndelle iterate è la seguente:

Eseguendo numerose simulazioni al variare sia del parametro , sia della configurazione iniziale (start), i ragazzi vengono a "scoprire" le seguenti "regolarità" del fenomeno:
1) l'evoluzione tende a stabilizzarsi dopo un certo numero di generazioni;
2) la configurazione asintotica di cui al punto 1) non dipende dalla configurazione iniziale, ma dipende dal parametro γ
Vediamo se queste regolarità sono confermate dalla formalizzazione.

Essendo An+In=1 con n appartenente ai Naturali, è sufficiente studiare l'evoluzione di una sola delle due popolazioni. Dalla (1) si deduce:

da cui:


Osservando che siamo in presenza di una progressione geometrica di ragione -γ e ricorrendo alla nota formula chiusa della somma dei primi termini di una progressione, si perviene alla formula chiusa:

Essendo 0<=γ<1, al crescere di n la quantità γn diventa trascurabile.

Di conseguenza l'influenza della configurazione iniziale (A0,I0) è di tipo "evanescente", ovvero diminuisce all'aumentare del numero delle generazioni fino a divenire trascurabile.
Inoltre l'evoluzione delle popolazioni va progressivamente stabilizzandosi e tende alla configurazione "asintotica":

La configurazione asintotica (A*,T*) è stabile, nel senso che applicando ad essa la trasformazione si perviene ancora alla configurazione (A*,T*) (cfr. figura 6). Il punto (A*,T*) si dice punto fisso della trasformazione e punto asintotico o attrattore del processo iterativo.
Per le considerazioni fatte è plausibile che in un prato di erba medica ottenuto con sementi naturali (non selezionate) le popolazioni A ed I abbiano raggiunto dopo milioni di anni la configurazione asintotica. Pertanto nei medicai naturali dell'Italia Centrale (avendo stimato γ=40%) si può valutare che il 71% delle piante provengono da seme da incrocio e solo il 29% da seme da auto impollinazione (cfr. figura 7).
Osserviamo infine che anche le piante della vicia faba (fava comune) provengono da seme da incrocio e da seme da auto impollinazione, in modo analogo a quanto avviene per le piante di erba medica.


Evoluzione del modello
Proponiamo una classificazione per grandi linee di processi iterativi che governano fenomeni di vita reale, evidenziando (in blu) concetti e strumenti matematici coinvolti nella modellizzazione.
Alcuni aspetti .. di questa classificazione saranno illustrati in questa nota.

a) Processi iterativi associati a trasformazioni punto-punto

Modelli lineari Capitalizzazione semplice e composta. Mitosi cellulare. Decadimento radioattivo. Metodi di datazione con isotopi radioattivi. Processo di filtrazione di liquidi. Interazione di due specie senza competizione. Evoluzione di una popolazione isolata con fattore di crescita costante (modello di Malthus). Ecosistemi isolati in regime di cooperazione o competizione. Modello predapredatori isolato o con apporto di prede dall'esterno (modello di Volterra). Processo di Fibonacci.
Modelli non lineari Evoluzione di una popolazione con fattore di crescita lineare (modello di Verhulst).
Crescita logistica a tempo discreto. Effetto farfalla. Modello di LotkaVolterra in dinamica delle popolazioni.
Progressioni aritmetiche e geometriche, successioni, massimo e minimo, estremo superiore e inferiore, insiemi contigui, processo di limite, punto fisso, teorema delle contrazioni, serie, equazioni alle differenze finite, coefficienti binomiali, sezione aurea.

b) Processi iterativi associati a trasformazioni figura-figura Crescita dentritica in una cellula elettrolitica. Fluttuazioni di un titolo azionario. Dithering nel processo di stampa computerizzata. Percolazione di liquidi. Paesaggi virtuali. Strutture frattali in anatomia, astronomia, botanica.
Trasformazioni geometriche del piano. Teorema di BanachCaccioppoli su figure. Elementi di geometria frattale. Frattali iterated functions system. Frattali di crescita o di aggregazione. Interpolazione frattale.


c) Processi iterativi associati a trasformazioni funzionali
Modelli continui in dinamica delle popolazioni.
Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di punto fisso di Banach. Metodo delle approssimazioni successive.

d) Algoritmi iterativi di approssimazione
Algoritmo babilonese per la misura della diagonale di un quadrato. Quadratura del cerchio e rettificazione della circonferenza, processo di esaustione secondo Archimede.
Metodi di linearizzazione per il calcolo degli zeri (corde, secanti, regula falsi, tangenti).


Processi iterativi associati a trasformazioni puntopunto
Sia T:R-->R una funzione assegnata e sia (xn)n la successione delle iterate associate alla trasformazione T, generata a partire da uno start x0.
Processo isometrico [rispettivamente processo di espansione]

Supponiamo si abbia:

per ogni n appartenente ai Naturali. In altre parole la distanza delle trasformate di due iterate consecutive è uguale [maggiore] alla distanza [xn-1-xn] delle iterate considerate. La trasformazione T conserva [dilata] le distanze e il processo si dice isometrico [di espansione].

Processo di contrazione
Supponiamo invece che esista una costante K con 0<=K<1 tale che si abbia:

|T(xn+1)-T(xn)|<=K|xn+1-xn|

per ogni n appartenente ai Naturali. In altre parole, la distanza |T(xn+1)-T(xn)| delle trasformate di due iterate |xn+1-xn| consecutive è inferiore alla distanza delle iterate considerate. La trasformazione contrae le distanze e il processo si dice di contrazione.
In relazione ai processi di contrazione, il matematico napoletano Renato Caccioppoli (1904-1959) ha dimostrato il teorema delle contrazioni che riportiamo di seguito.

Classi di processi iterativi elementari
Processi lineari

Processo shift
Fissato un numero reale non nullo q, sia T la trasformazione che ad ogni numero in ingresso x associa il numero x+q in uscita:

T(x)=x+q

Il processo associato alla trasformazione è detto processo shift.
Ogni processo shift è un processo isometrico. Ogni progressione aritmetica è un processo shift. Il processo di capitalizzazione semplice è un processo shift. Il tasto Shift della tastiera di un PC è un processo shift: infatti sottrae una quantità fissa (q=32) al codice ASCII del carattere pigiato.

Processo omotetico
Fissato un numero reale non nullo , sia la trasformazione che ad ogni numero in ingresso associa il prodotto in uscita:

T(x)=mx

Se |m|<1, T contrae le distanze e il processo è una contrazione; se |m|>1, T dilata le distanze e il processo è una espansione; se |m|=1, T conserva le distanze e il processo è una isometria. In quest'ultimo caso, se m=1, si riduce all'identità e il processo è stazionario; se m=-1, è una simmetria rispetto all'origine e il processo è oscillante.
Ogni progressione geometrica è un processo omotetico.
La capitalizzazione composta, il processo di mitosi cellulare, il decadimento radioattivo, il metodi di datazione con isotopi radioattivi, il processo di filtrazione di liquidi sono processi omotetici [1].


Figura 8. Diagramma di Web di una contazione
L'evoluzione di un processo iterativo può essere evidenziato in modo alquanto espressivo attraverso i diagrammi di Web. In un riferimento cartesiano ortogonale, tracciamo il grafico della trasformazione T (linea blu) e della funzione identica y=x (linea verde).

Fissato un punto start x0, costruiamo la sua immagine x1=T(x0) (tramite la trasformazione T) sull'asse delle ordinate. Per simulare il procedimento di retroazione o feed-back, riportiamo in ascissa il valore x1 attraverso la funzione identica y=x. Costruiamo l'immagine x2=T(x1)del punto x1 e riportiamo il suo valore in ascissa e procediamo iterativamente. Nel primo fotogramma della figura 9 è illustrato un processo shift, nel secondo e nel terzo due processi omotetici di contrazione con attrattore nullo. Il quarto fotogramma rappresenta infine un processo espansivo.


[1] P.Brandi R.Ceppitelli A.Salvadori, Introduzione elementare alla modellizzazione matematica, (CD con software applicativo) Università degli Studi di Perugia (2002)
[2] F.Menconi, Resoconto di un'esperienza di orientamento e formazione rivolta a studenti di scuola secondaria superiore, Atti II Congresso ADT, Montesilvano (2000)
[3] P.Brandi F.Lorenzetti, Autoimpollinazione incrociata in erba medica, Ann. Fac. Agraria Univ. Perugia 32-33 (1977-78) 209-228