Renato Betti


LA CRITTOGRAFIA
di Renato Betti

I PROBLEMI

Nella letteratura moderna che riguarda la Crittografia - allo scopo di illustrare i problemi ed i metodi fondamentali - sono stati introdotti due personaggi fittizi, Alice e Bob, ormai diventati tradizionalmente i protagonisti dell'azione. La loro origine è chiaramente dovuta ad una personificazione delle lettere A e B usate nel linguaggio formale dei ricercatori. Il fatto che due simboli siano diventati dei personaggi, ai quali i testi assegnano ormai un volto - e con qualche dose di sfacciataggine, anche un carattere sia pure embrionale sta forse a significare, al di là del gioco, che la materia si presta ad un'applicazione immediata e pretende un contesto nel quale si possano riconoscere direttamente e non astrattamente i contendenti o, di volta in volta, gli alleati di una competizione.



Niccolo Fontana Tartaglia
Ad esempio: Alice e Bob hanno litigato e si dividono tutti i beni acquisiti in comune. Per alcuni oggetti la scelta è facile, mentre per altri si impone un sorteggio per decidere a chi assegnarlo. Ma i due non intendono incontrarsi (oppure si trovano ormai a chilometri di distanza) e vogliono effettuare il sorteggio per telefono. Chi dei due sarà così generoso -e fiducioso- da lasciare che l'altro tiri la classica moneta e gli comunichi l'esito del sorteggio?

La situazione è delicata, rischia di rinfocolare i dissapore peggiorare i rapporti ma... niente paura: entrambi possono convenire su un metodo che garantisce a ciascuno cinquanta per cento di probabilità (cioè un sorteggio equo) senza doversi fidare dell'altro, pur di avere un minimo di conoscenze della complessità computazionale di certe operazioni aritmetiche sui numeri interi. Alice e Bob sono fortunatamente preparati su questo argomento ed il problema è risolto.
Un altro problema vede invece Alice e Bob desiderosi di scambiarsi messaggi - non importa di che natura anche se tutti concordano che siano affettuosi. Ma la loro sorte è, ahimé, anche in questo caso, di essere a grande distanza e per questo vogliono accordarsi su una chiave che serva a cifrare il reale contenuto dei messaggi: diciamo che Charlie, uno spasimante rifiutato da Alice, potrebbe altrimenti servirsene per mettere in difficoltà il loro rapporto. Anche qui niente paura: Bob ha frequentato un corso sulla Crittografia a chiave pubblica e spiega ad Alice per telefono, in maniera chiara, come possono procedere. Charlie intercetta il messaggio e capisce che non potrà attuare il suo programma di disturbo. Anche lui ha seguito lo stesso corso sulla Crittografia e gli è evidente che, pur intercettando le loro comunicazioni, non potrà venire a conoscenza della chiave crittografica che Alice e Bob intendono convenire per scambiarsi i messaggi.
Prima che una disciplina scientifica, la Crittografia era una pratica, un insieme di regole, di metodi, di strumenti. Era diventata quasi un'arte: l'arte di scambiarsi i messaggi senza farne capire il reale contenuto, anche se venivano intercettati. Una disciplina dallo statuto ambiguo, al limite della magia e dell'esoterismo. In questo contesto, Alice e Bob non sono ancora nati. Si ha a che fare con problemi di spionaggio, di nemici desiderosi di venire a conoscenza delle informazioni che scambiamo con i nostri alleati, per servirsene a nostro danno.
Si capisce che l'origine è antica, legata non solo ad esigenze commerciali, ma soprattutto diplomatiche e militari. È noto che in molti casi le sorti dei conflitti sono state decise da questa capacità di conoscere, con buon anticipo, le mosse dell'avversario. Poi, l'avvento delle reti di comunicazione digitale, utilizzate regolarmente nella vita quotidiana, ha richiesto nuove esigenze di sicurezza e di tutela della privacy. E la Matematica - in particolare la Teoria dei numeri - ha fatto cambiare natura alla Crittografia, liberandola dalla sua aura di mistero e trasformandola da un'arte in una scienza.



Alan Turing
Ma che cosa hanno in comune, con questa secolare materia, i due problemi precedenti che coinvolgono Alice e Bob: un sorteggio effettuato per telefono o lo scambio di una chiave cifrante sotto il naso di chi la intercetta ma che non potrà mai farne uso? Il fatto è che, quando la Matematica mette le mani con la sua formalizzazione in qualche settore, allora rivela anche tutta una serie di problemi apparentemente diversi e non collegati che invece mostrano una definita e spesso profonda unità.

E questo è quello che è avvenuto abbastanza recentemente: il problema non è solo quello di (1) cifrare o decifrare un messaggio, ma anche quello di "certificarlo", vale a dire: (2) riconoscere il mittente del messaggio e (3) rendersi conto se il messaggio è integro oppure durante la trasmissione è stato manipolato. Ma anche: (4) accordarsi con qualcuno su un dato da mantenere segreto, pur usando un canale di trasmissione non sicuro; (5) prendere una decisione a sorte, con uguali probabilità di successo rispetto ad un interlocutore non fidato; (6) far sapere che si dispone di una certa conoscenza, senza rivelarne la fonte o il segreto.
Il primo dei problemi elencati è quello della sicurezza della trasmissione, al quale ci hanno abituato numerosi film di guerra e di spionaggio. Il secondo è quello della autenticità del mittente; in questo caso, oltre al doppio gioco delle spie, conviene ricordare i problemi moderni di transazione economica a distanza: il bancomat o la cosiddetta firma digitale che ci permette di essere riconosciuti anche per posta elettronica. Il terzo dei problemi menzionati riguarda la integrità del messaggio; è una insidia che ha precedenti famosi: Romeo si rifugia a Mantova e riceve dalla fidata nutrice (si fa per dire!) la notizia falsa che Giulietta è morta, con tutto quel che ne segue. I problemi (4) sorteggio a distanza e (5) scambio della chiave sono quelli in cui abbiamo già visto all'opera Alice e Bob e la cui soluzione sarà svelata più avanti. L'ultimo problema elencato si rivolge alla cosiddetta conoscenza zero: come garantire di possedere un'informazione senza rivelarne gli aspetti fondamentali? Ad esempio, come ha fatto Nicolò Fontana, il famoso Tartaglia, a far sapere nel `500 di aver scoperto la formula risolutiva per radicali delle equazioni di terzo grado senza doverla rivelare alla comunità matematica (almeno finché c'è riuscito)? In questo caso, il problema non è difficile: basta mostrare di saper calcolare le radici di alcune equazioni proposte da altri. Chiunque può facilmente verificare che la risposta è corretta e convincersi dopo qualche esibizione del genere che chi ha trovato le radici delle equazioni deve per forza avere un metodo sicuro, una formula per l'appunto: verificare se un certo numero è una radice è una operazione ben più semplice che trovarlo, almeno per chi non conosce la formula. Ma pensate invece di aver fatto una invenzione per la quale chiedete un finanziamento allo scopo di brevettarla: un'occhiata al progetto è sufficiente per carpirvi l'idea e si capisce che l'idea è tutto. Allo stesso tempo, volete che il vostro finanziatore sia certo che il meccanismo funziona. Fidarsi, oppure no? Quale via seguire?
È chiaro che, per questa strada, i problemi si moltiplicano. Per la maggior parte di loro, la pratica ha trovato delle soluzioni empiriche, speciali e diverse da caso a caso. La Matematica cerca di vedere tutti questi problemi come casi particolari di uno solo, fondamentale.



La macchina Enigma
Gli uomini hanno dapprima creato le parole allo scopo di capirsi l'un l'altro e poi - forse pentiti - hanno inventato la Crittografia per farsi capire solo da alcuni. Ma in questo modo, oltre a sollecitare la curiosità spesso interessata degli esclusi, si sono dovuti rifugiare in un mondo di segreti da condividere con poche persone. La nuova e moderna versione della Crittografia, quella che viene detta a chiave pubblica, sembra nata dal desiderio ecumenico dei matematici di trattare tutti allo stesso modo, curiosi e confidenti, sottraendo dalle nostre comunicazioni private anche la più piccola condivisione del segreto. Con quale successo, si vedrà.


Prima di approfondire le idee ed i metodi fondamentali è bene però fare un'osservazione di principio: nel problema classico della trasmissione del messaggio, da Alice a Bob, con il tentativo di uno come Charlie di decifrarne il reale contenuto - problema che si presta a incorporare entro di sé tutti gli altri, che ne diventano aspetti particolari o specializzazioni - si è soliti assegnare un comportamento legittimo a chi cerca di comunicare, mentre l'intercettatore è visto sotto una luce negativa, come una persona che in maniera indebita non si fa "gli affari suoi". Niente di più sbagliato, per quanto riguarda questa attività: ad esempio, è noto che uno dei più famosi casi di uso delle tecniche crittografiche si è avuto nel corso della seconda guerra mondiale, quando il servizio segreto inglese, con l'aiuto essenziale di Alan Turing (1912-1954), è riuscito a decrittare fin dal 1942 la macchina cifrante Enigma, usata dal comando tedesco. E questo fatto è risultato decisivo per le sorti della guerra (anche se un'altra macchina, la T-52, rimase in funzione per tutta la guerra).
È con questo spirito di obbiettività che i crittografi ed a maggior ragione i matematici si prestano a considerare i loro metodi: la storia della Crittografia è piena di mosse e contromosse, una sorta di competizione fra chi inventa sempre nuovi procedimenti di cifratura e chi implacabilmente trova la maniera per decrittare anche il nuovo sistema.
Chi cifra e chi decifra sono da considerare sullo stesso piano. Si tratta di due modalità diverse dello stesso fenomeno, come due segmenti le cui misure hanno segno diverso solo perché l'orientamento positivo della retta è stato scelto in un verso piuttosto che nell'altro. La considerazione morale del comportamento appartiene ad un altro contesto.

Brevi ed affascinanti notizie sulle vicende storiche e sulle idee moderne dell'attività crittografica dal punto di vista tecnico sono contenute in Sgarro [1] ed in Berardi, Beutelspacher [2]. Una trattazione più ampia ma sempre narrata in modo avvincente è quella di Singh [3]. Chi volesse inquadrare il problema dal punto di vista del suo impatto sullo sviluppo dei sistemi di comunicazione digitale - e quindi rispetto principalmente alle problematiche sociali e legali - potrà consultare Giustozzi, Monti e Zimuel [4].