di
Franco Belotti
e
Gianfranco Gambarelli

Articolo pubblicato sulla rivista di matematica e didattica "Progetto Alice"; direttore Mario Barra

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sistemi elettorali e Teoria dei Giochi

Una ricetta generica per il miglior sistema elettorale non esiste. Tutto dipende da ciò che si vuole ottenere.
Per capirne qualcosa di più, inizieremo a prendere in considerazione i principali metodi adottati nel mondo. Introdurremo poi alcuni concetti di Teoria dei Giochi, che ci aiuteranno a comprendere meglio il problema della forza coalizionale. Infine, prenderemo in esame le recenti proposte di Polo e Ulivo e verificheremo come, in un’ipotesi di risultati vicini a quelli delle ultime elezioni, tali proposte portino a distribuzioni di seggi sostanzialmente simili.


Il problema

Tutto parte dal problema della delega. Supponiamo che, per via di molteplici decisioni da prendere, un'assemblea condominiale debba essere convocata una volta alla settimana o addirittura una volta al giorno; evidentemente, dopo un po', molti condòmini saranno obbligati a disertarla, delegando altri a prendere delibere al posto loro. Questa necessità di delega penalizza gli assenti, i quali non presentano direttamente le loro argomentazioni, ma devono farle tradurre da altri che possono (in buona o in cattiva fede) male interpretarle. Inoltre, assemblee condominiali oceaniche difficilmente risultano efficienti, per via dei molteplici interventi e della conseguente dispersione di attenzione, tempo ed energie. Per le decisioni meno importanti può allora risultare utile una delega generalizzata. Come regolamentare questa delega ?
Osserviamo che quanto più grande è il numero dei delegati, tanto maggiore è la probabilità che tutti siano correttamente rappresentati; d'altra parte, quanto più piccolo è tale numero, tanto più facile e produttiva è la gestione delle riunioni. Inoltre, se la maggior parte dei rappresentanti ha idee simili, si ottengono facilmente risultati coerenti ed efficienti, mentre se le idee sono molto diversificate, escono di solito soluzioni di compromesso poco affidabili, come la rotta di una nave che si muove qua e là senza raggiungere un porto sicuro, bello o brutto che sia. In sintesi: massimo della democraticità uguale assemblea composta da tutti (il che corrisponde al Referendum); minimo della democraticità uguale assemblea composta da uno solo (dittatura); nell'ambito di ogni soluzione intermedia possono esservi correzioni miranti ad una migliore efficienza a scapito della rappresentatività: eliminazione dei rappresentanti di minoranze (sbarramento) o aumento dei rappresentanti del gruppo più gradito (premio di maggioranza). V'è inoltre un quesito che spesso risulta di non poca rilevanza: come effettuare gli arrotondamenti?


Gli arrotondamenti

Consideriamo un organismo politico composto di tre partiti, che hanno ricevuto in un'elezione 23 voti totali così suddivisi: 11, 10 e 2. Se i seggi da assegnare sono in tutto tre, andrebbero dati in teoria 3·11/23 @ 1.4 seggi al primo, 3·10/23 @ 1.3 al secondo e 3·2/23 @ 0.3 al terzo (v. seconda colonna della Tabella 1). Per rendere interi i seggi si devono effettuare degli arrotondamenti, tenendo conto di ragionevoli criteri di equità: ad esempio a voti uguali dovrebbero corrispondere seggi uguali, a voti maggiori dovrebbero corrispondere seggi non inferiori ecc. Il soddisfacimento di questi ed altri criteri, che sembrerebbero a prima vista irrinunciabili, può peraltro essere irrealizzabile. Ad esempio, se i partiti sono due e ricevono lo stesso numero di voti, è impossibile assegnare un numero dispari di seggi senza violare il primo criterio.
Diamo ora un'illustrazione dei due metodi di arrotondamento più noti (gli altri sono, per lo più, ritocchi di questi).
Secondo il Sistema proporzionale, o di Hamilton, a ciascun partito viene inizialmente assegnata la parte intera dei seggi teorici (nel nostro caso 1, 1, 0). I seggi residui (in questo esempio uno solo) vengono assegnati ai partiti con parte frazionaria più alta (nel nostro caso al primo partito, la cui parte frazionaria è 0.4). La distribuzione risultante è quindi 2, 1, 0 (v. Tabella 1).

Voti

quozienti

parti intere

seggi residui

Seggi totali

11

1.4

1

1

2

10

1.3

1

0

1

2

0.3

0

0

0

23

3

2

1

3

Tabella 1: Costruzione della ripartizione secondo il Sistema Proporzionale.

Secondo il Metodo dei massimi divisori, o di Hondt, si procede come segue. Si dividono i voti ricevuti dal primo partito per 1, poi per 2, per 3 ecc. finché la procedura lo renderà necessario. Si effettuano analoghe divisioni nel caso dei voti ricevuti dagli altri partiti. Si considerano allora i più alti quozienti (tanti, quanti sono i seggi da assegnare) e si attribuisce un seggio a ciascuno dei partiti corrispondenti a tali quozienti. Nel caso del nostro esempio (v. Tabella 2) i quozienti più alti sono, in ordine decrescente, 11, 10 e 5.5; di essi due corrispondono al primo partito (11 e 5.5) e uno al secondo partito (10). Pertanto si assegnano due seggi al primo partito e un seggio al secondo.

Voti

:1

:2

:3

….

11

11

5.5

3.7

10

10

5

3.3

2

2

1

0.7

Tabella 2: Costruzione della ripartizione secondo il metodo dei Massimi Divisori.

Questa assegnazione corrisponde nel nostro esempio a quella del Sistema Proporzionale, ma in generale può portare a risultati diversi. In entrambi i sistemi, in caso di parità (fra le parti frazionarie residue o fra i quozienti più alti) si ricorre ad ulteriori metodi: età dei candidati, sorte ecc.


Gli indici di potere

Nell’ambito della Teoria dei Giochi cooperativi si studiano i problemi di coalizione ed in particolare gli indici di potere, che introduciamo ora brevemente. Consideriamo un Paese ove vi siano tre soli partiti politici, A, B e C, con la seguente ripartizione di seggi: 40% ad A e 30% a B e C. E' facile constatare che, se non vi sono particolari propensioni od avversioni per certe alleanze, tutti e tre sono sullo stesso piano agli effetti delle possibili coalizioni di maggioranza semplice. Possiamo quindi assegnare un "potere coalizionale" paritetico, cioè del 33,3% a ciascuno. La stessa situazione si presenterebbe se A e B avessero il 49% dei seggi ciascuno e C il 2%: quest'ultimo partito avrebbe infatti, pur con un potere nominale molto basso, un potere reale uguale a quello degli altri. Se invece A avesse da solo il 51% dei seggi, il suo potere sarebbe del 100% (cioè 1). Che dire se la ripartizione dei seggi è 50% per A, 30% per B e 20% per C ? Qui A non possiede da solo la maggioranza; d' altra parte ciascuno degli altri due partiti ha bisogno di coalizzarsi con A, in quanto l'unione fra B e C non è maggioritaria. E' intanto facile intuire che questi ultimi, pur avendo diverse quantità di seggi, sono in ugual posizione di potere; è anche presumibile che A abbia un potere maggiore, data la sua posizione prioritaria; ma quale ripartizione potremo prevedere? Una formula che aiuta a valutarla, chiamata "indice di Martin-Banzhaf-Coleman" (o più semplicemente "indice di Banzhaf") si basa sul concetto di "crucialità". Si dice che un giocatore è cruciale per una coalizione se essa è maggioritaria con lui e minoritaria senza di lui. Nel caso dell'ultimo esempio, A è cruciale per tre coalizioni (AB, AC e ABC), mentre B è cruciale solo per una (AB), analogamente per C (cruciale per AC). Ripartendo il potere in proporzione di tali crucialità, si ottiene 3/5 per A e 1/5 per B e C.
Ora che abbiamo capito la logica del modello, passiamo ad esaminare la sua applicazione al Parlamento italiano. Riportiamo in Tabella 3 un risultato ottenuto applicando l'indice di Banzhaf all'attuale Camera dei Deputati 1. Nella colonna "No affinità" si è effettuato il calcolo tenendo conto di tutte le possibili coalizioni, mentre nella colonna "Sì affinità" si sono escluse le coalizioni che nel 1998 non

 

 

Seggi

Potere

numero

%

No aff.

Si aff.

DS

169

26.8

31.5

16.9

Forza Italia

110

17.5

16.6

0.0

AN

91

14.4

14.1

0.0

Popolari

66

10.5

9.1

16.9

Lega Nord

55

8.7

7.4

0.0

UDR

27

4.3

4.1

16.9

Rinn. It.

23

3.7

3.5

16.9

P.Comunista

21

3.3

3.2

16.9

Verdi

15

2.4

2.3

7.7

Rif. Comunista

13

2.1

2.0

0.0

CCD

12

1.9

1.8

0.0

SDI

8

1.3

1.2

4.6

Min. Ling.

4

0.6

0.6

1.5

Rete

3

0.5

0.4

1.5

Altri

13

2.7

2.0

0.0

Totali

630

100

100

100

Tabella 3: seggi e indici di potere nella Camera dei Deputati tenendo conto ("Sì aff.") o non tenendo conto ("No aff.") delle affinità fra i partiti.

erano considerate sufficientemente affini fra loro. Notiamo in proposito che i poteri riportati nella colonna "no affinità" sono attendibili solo in situazioni ove i dati numerici acquistano un valore preponderante, in quanto sono prevedibili anche schieramenti trasversali: leggi di carattere morale, referendum, elezioni presidenziali ecc.
L'indice di Banzhaf è il più utilizzato nelle applicazioni politiche, per via della stretta proporzionalità con le coalizioni per cui i partiti sono cruciali. Sono stati elaborati altri indici di potere, per lo più per applicazioni finanziarie. Tali indici portano in questi casi a risultati molto simili (ad esempio il più noto, quello di Shapley-Shubik, fornisce dei poteri che si discostano da quelli riportati in Tabella 3 di meno di un punto percentuale). I principali studi sulle variazioni dei poteri in relazione a propensioni ed avversioni sono opera di Guillermo Owen della Naval Postgraduate School di Monterey. Owen collabora da anni con l'Università di Bergamo anche per applicare tali risultati alle scalate azionarie; in particolare una nostra pubblicazione riguarda le scalate alle "holding" 2.


Un metodo di arrotondamento basato sugli indici di potere

Un nuovo metodo di arrotondamento è stato recentemente proposto da Gianfranco Gambarelli 3.L'idea, maturata nel corso di una visita a Bergamo di Steven Brams, può essere facilmente esposta dall'esempio dei tre partiti illustrato nelle Tabelle 1 e 2. Nella Tabella 4 sono riportate le percentuali dei voti ricevuti dai tre partiti (I colonna) ed i corrispondenti indici di potere (II colonna). Seguono i seggi assegnati secondo i sistemi di arrotondamento classici (SP = Sistema Proporzionale, MD = Massimi Divisori) ed i poteri che corrispondono a tale assegnazione. E' evidente la distorsione, in termini di forza coalizionale, apportata da tali sistemi: il primo partito passa dal potere del 33.3%, che gli competerebbe secondo i voti ricevuti, ad un potere assoluto del 100%, mentre i poteri degli altri due vengono annullati. La nuova proposta (v. ultime due colonne) porta invece ad una distribuzione dei seggi tale da rispettare il più possibile la ripartizione dei poteri stabilita dai voti: in questo caso il 33.3% a ciascuno.

Voti

Seggi

%

potere

SP e MD

potere

Gambar.

Potere

47.8

33.3

2

100

1

33.3

43.5

33.3

1

0

1

33.3

8.7

33.3

0

0

1

33.3

100

100

3

100

3

100

Tabella 4: Esempio di distorsioni apportate dai più noti sistemi elettorali.


Le nuove proposte in Italia

Per tornare in Italia, è parso interessante valutare il potere delle varie liste, nel caso di attuazione delle proposte più recenti del Centrodestra e del Centrosinistra. Allo scopo ci si è basati sui dati elettorali più "freschi", cioè ottenuti estrapolando i risultati delle elezioni 2000 nelle Regioni a Statuto ordinario e sommandoli ai risultati delle Europee 1999 nelle Regioni autonome (fonti: sito Internet del Ministero dell'Interno e della Camera dei Deputati). Allo scopo di rendere compatibili i dati delle due tornate, è stato necessario operare a livello provinciale alcuni accorpamenti fra i voti di piccoli partiti, e a livello regionale alcune suddivisioni di voti di coalizione, fra i partiti componenti. L'esito dei calcoli è riportato nella prima colonna di ciascuna delle Tabelle successive.


Gli sbarramenti

Nella Tabella 5 sono riportati i poteri che conseguirebbero a seconda dello sbarramento imposto. Prima di entrare nel merito, osserviamo che questi calcoli non tengono conto delle affinità fra i vari partiti; riguardano quindi distribuzioni di potere in votazioni per cui sono prevedibili anche schieramenti trasversali (v. il paragrafo sugli indici di potere). Un'ulteriore considerazione va fatta sulla possibilità che alcuni partiti minori si aggreghino ad altri per non scomparire; ciò è sicuramente possibile, anche se tali coalizioni vengono per lo più penalizzate in termini di voti. Con le dovute cautele sopra evidenziate, passiamo ora ad esaminare i risultati espressi nella Tabella 5. Notiamo innanzitutto che lo sbarramento ideale per ciascun partito non corrisponde in generale all'eliminazione di tutti quelli che lo seguono in ordine di grandezza (v. ad esempio Forza Italia, CCD, Pannella-Bonino e Fed. dei Verdi), in quanto l'esistenza di partiti minori può consentire ulteriori alleanze.

Partito

% voti conglobati

Poteri in caso di sbarramento

   

1%

2%

3%

4%

5-6%

7-12%

Forza Italia

25.5

30.6

31.2

35.1

34.5

50.0

33.3

DS

18.66

17.6

18.1

21.1

20.7

16.7

33.3

AN

12.54

14.9

15.3

19.3

17.2

16.7

33.3

Popolari

6.14

5.8

6.1

7.0

6.9

16.7

-

Rifond. Comun.

4.78

4.7

4.6

5.3

6.9

-

-

Lega Lombarda

4.69

4.6

4.6

5.3

6.9

-

-

Democratici

4.66

4.6

4.6

5.3

6.9

-

-

CCD

3.58

3.4

3.6

1.8

-

-

-

Pannella-Bonino

2.85

2.9

2.7

-

-

-

-

CDU

2.56

2.5

2.6

-

-

-

-

SDI

2.53

2.4

2.5

-

-

-

-

Fed. dei Verdi

2.29

2.3

2.2

-

-

-

-

Udeur

2.04

1.9

1.9

-

-

-

-

Comun.Italiani

1.92

1.8

-

-

-

-

-

Altri sotto 1%

5.26

-

-

-

-

-

-

Totali

100

100

100

100

100

100

100

Tabella 5: I voti ottenuti nelle due ultime tornate elettorali (Colonna 1) e la ripartizione dei poteri che ne conseguirebbe nel caso di sbarramenti.

Dall'esame dei valori massimi di ciascuna riga, evidenziati in neretto, si può dedurre che la quota ideale per DS e AN supera il 6%; quella per Forza Italia e PPI varia dal 5 al 6%; per Rifondazione Comunista, Lega Lombarda e Democratici la quota si abbassa al 4%, mentre il 3% non è ottimale per alcun partito.


Le proposte del centrodestra e del centrosinistra

La proposta comune a Centrodestra e Centrosinistra consiste, per la Camera, in un sistema elettorale misto dove metà dei seggi viene attribuita in modo proporzionale a liste circoscrizionali (con sbarramento del 5%) e l'altra metà in collegi uninominali. L'elettore dispone di un'unica scheda, in cui vota il candidato del collegio cui appartiene e una delle liste. I voti utilizzati dall'eletto in ciascun collegio vengono anche contati nella ripartizione proporzionale (ciò dà luogo ad una sorta di "premio di maggioranza", in quanto i voti del vincitore vengono contati due volte).
Oltre a quanto sopra, il Centrodestra propone di attribuire alla coalizione vincente che abbia superato il 40% dei voti, un premio di maggioranza calcolato aumentando in modo proporzionale i seggi che tale coalizione ha ottenuto, fino a raggiungere il 60% dei seggi totali. Il Centrodestra propone inoltre che non sia possibile votare un candidato che afferisce ad una lista diversa da quella votata (voto disgiunto) e che tutto quanto sopra valga anche per il Senato.
E' poi di importanza cruciale la nuova definizione dei collegi uninominali, che passerebbero per l'elezione della Camera dagli attuali 475 a poco più di 300. Una commissione tecnica deve stabilire gli ambiti territoriali di ciascun collegio, che nella simulazione qui proposta sono stati supposti su base provinciale (per un totale di 321).
Riportiamo in Tabella 6 i risultati che conseguirebbero secondo l'attuale sistema e secondo le nuove proposte. Gli accorpamenti di Destra e di Sinistra sono naturalmente fluttuanti. Come si può osservare, la ripartizione dei seggi è uguale per entrambe le proposte (Centrodestra e Centrosinistra), in quanto i 399 seggi previsti dalla simulazione per il Polo superano il 60% dei seggi totali (630), quindi non scatta il premio di maggioranza. Un'eventuale invalicabilità del tetto del 60% porterebbe anzi uno svantaggio alla Destra, com'è avvenuto ad esempio nelle ultime Regionali in Lombardia.

Partito

% voti conglobati

Ripartizione seggi

Attuale

Nuova proposta

DS

18.66

103

137

PPI

6.14

34

45

Rif. Comunista

4.78

17

11

Democratici

4.66

25

11

SDI

2.53

9

6

Fed. Dei Verdi

2.29

8

5

Udeur

2.04

7

5

Com. Italiani

1.92

7

5

Rinnovam. It.- Dini

0.63

2

1

PRI

0.28

1

1

Altri Centro-sinistra

0.10

0

0

Totali Sinistra

44.03

223

227

Forza Italia

25.50

207

230

AN

12.54

102

113

Lega Lombarda

4.69

39

19

CCD

3.58

22

15

CDU

2.56

16

11

Partito Socialista

0.77

4

3

Democrazia Cristiana

0.51

3

2

Fiamma

0.48

3

2

Lista Sgarbi

0.38

2

2

Pensionati

0.26

2

1

Altri Centro-destra

0.35

2

1

Totali Destra

51.62

402

399

Pannella-Bonino

2.85

0

0

UV-Union Valdot.

0.09

1

1

SVP

0.49

4

3

Altri

0.91

0

0

Totali Generali

100.00

630

630

Tabella 6: I voti ottenuti nelle due ultime tornate elettorali (Colonna 1) e la ripartizione dei seggi che ne conseguirebbe secondo l'attuale sistema (Colonna 2) e secondo quelli proposti dal Centrosinistra e dal Centrodestra (Colonna 3).


Note

1 cfr. Gambarelli G., Greco S., 1998, I giochi della politica italiana, Ricerca, 10-11, pp. 6-9.

2 cfr. Gambarelli G., Owen G., 1994, Indirect Control of Corporations, International Journal of Game Theory, 23, 4, 287-302. Per chi desiderasse approfondire questi ed altri argomenti di Teoria dei Giochi segnaliamo Gambarelli G., 1997, Giochi competitivi e cooperativi, Cedam, Padova; Gambarelli G., Pederzoli G., 1992, Metodi di decisione, Hoepli, Milano; Owen G., 1995, Game Theory, III ed. Academic Press, San Diego.

3 cfr. Gambarelli G., 1999, Minimax Apportionments, Group Decision and Negotiation, 8, 6, pp. 441-461.