Pubblichiamo l'articolo di G. T. HQ. Hoare e N. J. Lord, già comparso su The Mathematical Gazette con il titolo Intégrale, longueur, aire.

Ringraziamo Gerry Leversha per la gentile concessione. La traduzione è
a cura di
Susanna De Maron

 

PRIMA PARTE

SECONDA PARTE

 

 

 

L’Integrale di Lebesgue
compie cento anni

 di G.T.Q.Hoare e N.J.Lord

"Dopo Jordan sopraggiunse Lebesgue e si aprì un'altra Bibbia" dichiarò Bourbaki. J. C. Burkill rilevò che "non c'è alcun dubbio che (la tesi di Lebesgue) sia una delle più argute che un matematico abbia mai scritto". Loève descrisse in modo quasi pittoresco la scena: “l'Archimede dell'estensione (la moderna teoria della misura) fu Henri Lebesgue. Egli compì il passo decisivo nella sua tesi (...) Infatti l'attuale teoria della misura ancora si muove secondo i temi di Lebesgue."
Possiamo arguire che, prima del 1902, i matematici avevano sviluppato una teoria dell'integrazione, ma la grande tesi di Lebesgue di quell'anno cambiò tutto in modo irrevocabile.
Le difficoltà che avevano cominciato ad emergere con l'integrale di Riemann furono spazzate via appena Lebesgue estese il concetto di integrale con ciò che successivamente fu considerato come un processo tanto completo e profondo quale quello che condusse dai numeri razionali ai numeri reali. Lebesgue non creò alcuna scuola, ma la sua influenza sulla Matematica del ventesimo secolo fu profonda.
In quest'articolo, in occasione del centenario della tesi di Lebesgue, presenteremo prima di tutto la vita di Lebesgue e poi in dettaglio il suo importante e fondante lavoro sull'integrazione.
H.Léon Lebesgue nacque a Beauvais, circa 50 miglia a nord di Parigi, il 28 giugno 1875. I seri interessi culturali del padre - un tipografo - e della madre (insegnante di scuola elementare) si riflettevano nella cospicua biblioteca familiare. Dal 1894 al 1897 frequentò la Scuola Normale Superiore di Parigi, da cui si diplomò classificandosi terzo (preceduto da matematici sicuramente meno capaci). Mostrò presto spirito di indipendenza e capacità di critica, contestando alcune affermazioni dei docenti e non frequentando le lezioni che non riteneva interessanti. Lo stesso Lebesgue ricorda un episodio degli anni di scuola, presso il collegio di Beauvais:  era molto disturbato - e cercò strenuamente di confutarlo - dal paradosso con cui si aveva la pretesa di dimostrare che la somma delle lunghezze dei due lati del triangolo è uguale alla lunghezza del terzo lato.

Per proseguire i suoi studi, Lebesgue lavorò come aiuto bibliotecario all'École fino al 1899. Qui venne a conoscenza dell'attività di un altro fresco diplomato, René Baire, il cui lavoro innovativo sulla classificazione delle funzioni discontinue rinvigorì la teoria delle variabili reali e influenzò chiaramente Lebesgue (che diede particolare importanza alle idee di Baire nella sua tesi). Nel 1898, intanto, era stato pubblicato un primo lavoro in cui Lebesgue forniva una dimostrazione più semplice del teorema d'approssimazione di Weierstrass. E' importante fare attenzione alla dimostrazione di Lebesgue, perché mette in evidenza il suo modo di ragionare intuitivo e geometrico e la sua innata abilità di percepire il nucleo dell'argomento, che spesso conduce implicitamente all'anticipazione di future generalizzazioni (in questo caso, al teorema di Stone-Weierstrass). Il punto qui era di dimostrare che ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato può essere arbitrariamente ben approssimata con polinomi. Per la proprietà della continuità uniforme, una qualunque funzione continua è prossima ad una qualsivoglia funzione zig-zag (poligonale lineare) e quindi basta approssimare quest'ultima con i polinomi. Ma una funzione zig-zag è una combinazione lineare delle funzioni f(x) = x-c e  f(x) = |x-c| (c costante). Dal grafico a scala e dal fatto che la serie binomiale (1-(1-x2))1/2 converge a |x| per |x|£1, segue allora che è sufficiente approssimare uniformemente |x| con polinomi.

Dal 1899 al 1902 Lebesgue insegnò al Lycée Central di Nancy  e pubblicò 5 brevi scritti -  essenzialmente annunci di ricerche - sui Comptes Rendus. Questi articoli costituirono la base della sua tesi di dottorato e fu in particolare nel quinto che Lebesgue formulò la sua generalizzazione dell'integrale di Riemann.
Ma anche il primo scritto creò un caso. Ricordando che una superficie sviluppabile (come un cilindro o un cono) è un caso particolare di superfici di rotazione in cui il piano tangente è costante lungo ciascuna linea generatrice,  Lebesgue fornì esempi di superfici non sviluppabili senza continuità con piani tangenti che ruotano con continuità e che sono comunque "applicabili al piano", nel senso che esiste una corrispondenza biunivoca che conserva le distanze tra la superficie e R2. Questo scritto scandalizzò Darboux e fu inizialmente osteggiato anche da Hermite  che era certamente sensibile a "quella lamentevole piaga delle funzioni che non hanno derivata". Pare che un giorno, per caso, Lebesgue  sentendo un gruppo di studenti sostenere il "fatto" che superfici applicabili sono anche quelle sviluppabili, esibisse un fazzoletto tutto spiegazzato e dichiarasse sarcasticamente che doveva essere sviluppabile, visto che era manifestamente applicabile a un piano.

Nonostante il pesante lavoro dovuto all'insegnamento a Nancy, Lebesgue continuò la sua ricerca e nel 1902 ricevette il dottorato alla Sorbona con la tesi su Intégrale, longeur, aire per cui è giustamente famoso. Abbiamo già accennato all'influenza di Baire. Lebesgue fu  influenzato anche da altri matematici francesi dell'ultimo periodo del 19° secolo, tra cui Camille Jordan che aveva sviluppato un interesse notevole nel nuovo campo della Teoria degli insiemi. Anche Émile Borel, l'Eudosso del periodo dell'estensione, influenzò Lebesgue. Borel, che faceva parte dell'École Normale Supérieure dal 1896, aveva esplicitamente postulato nel 1898 le proprietà che " la misura " di un insieme doveva avere. (A loro volta, in quest'approccio che più tardi Lebesgue avrebbe fortemente collegato alla teoria dell'integrazione, sia Borel che Lebesgue furono influenzati dal lavoro di un giovane studente, Jules Drach).


E. Borel

C. Jordan

Il punto era di dare una definizione della misura di un insieme e dell'integrale di una funzione che soddisfacessero alle proprietà postulate. Lebesgue, W. H. Young e Vitali - indipendentemente l'uno dall'altro - raggiunsero lo scopo. Le loro formulazioni, sebbene differenti, sono equivalenti. L'argomentazione di Lebesgue, la più semplice ed elegante, comparve per prima e divenne quella preminente. Young la accettò tanto da coniare l'espressione integrale di Lebesgue per il risultato di Lebesgue.  Assegnando misura zero ad ogni sottoinsieme di un insieme di Borel di misura zero, Lebesgue riuscì con successo ad estendere la misurabilità ad una classe più ampia di insiemi di quelle costruite da Borel . Qui, forse, risiede il germe della contesa tra Borel e Lebesgue che scoppiò in un'accesa disputa sulle priorità dopo la prima guerra mondiale. In realtà, fortemente influenzato dalle idee di Borel, Lebesgue non si prese mai  il merito di aver applicato le notazioni Borel-Lebesgue della misurabilità all'integrabilità.

La caratteristica chiave della misurabilità secondo Borel-Lebesgue risiede nell'additività misurabile: la misura dell'unione di un'infinità numerabile di insiemi disgiunti misurabili è la somma (infinita) delle misure degli insiemi. Lebesgue fu in grado di utilizzare questa proprietà, ad esempio, nel suo teorema della convergenza limitata - indicato successivamente con BCT - che costituisce un risultato di grande semplicità e generalità (che invece l'integrale di Riemann elude).
La costruzione di Lebesgue dell'integrale fu fondamentalmente diversa da quella di tutti i suoi predecessori. La sua brillante (ma semplice) idea fu di dividere l'immagine di una funzione piuttosto che il suo dominio, come invece fece Riemann.
A questo riguardo, Lebesgue era solito citare la parabola del venditore che conta i suoi guadagni alla fine della giornata. L'integrale di Riemann corrisponde a questo aggiungere gli introiti in ordine, mentre quello di Lebesgue porta prima a raggrupparli a seconda delle monete usate, calcolare la somma di ogni mucchietto e poi sommare tutti i parziali.

Inizialmente, ci fu una certa resistenza alle idee di Lebesgue e lo stesso Lebesgue fu in qualche modo esitante nel presentare la sua tesi, poiché nutriva dubbi circa il valore del lavoro. Picard e Goursat erano i matematici presenti nel comitato di valutazione delle tesi. Altri matematici poterono leggere subito la tesi e l'apprezzarono. Riconoscimenti particolari vennero da Jordan, Picard. Montel e Loève. Montel disse che "(Lebesgue) eccelse nel  guardare a cose vecchie con occhi nuovi. Conosceva l'importanza dell'esame attento di un esempio, di un'anomalia, di un'eccezione. Era sospettoso verso teorie troppo generali i cui formalismi e verbalismi lo insospettivano. Aveva una visione geometrica della Matematica e preferiva indagini sintetiche che soddisfacevano e fornivano alla mente dimostrazioni analitiche che lo rassicuravano". Lebesgue era così preoccupato delle reazioni dei suoi colleghi che decise di pubblicare la sua tesi Integrale, longuer, aire su una rivista italiana, Annali di Mathematica. Esisteva, infatti, in Italia un'attiva scuola di Analisi reale (Dini, Arzelà e Peano che applicavano con ardore le teorie di Cantor della Teoria degli insiemi); alcuni matematici italiani, quali Vitali, Levi e Fubini, per primi aderirono entusiasticamente alle tesi di Lebesgue.

La tesi di Lebesgue fallì però nel risolvere certe difficoltà. Per esempio, Lebesgue non fu in grado di fornire per il suo integrale un Teorema Fondamentale del Calcolo (FTC) che fosse pienamente soddisfacente,  sia nella forma d/dx (òaxf) = f(x) che òab F'=F(b)-F(a).
Durante l'anno accademico 1902-03, comunque, Lebesgue fu invitato a tenere un Cours Peccot.
Il Corso era l'occasione per un giovane matematico di presentare il suo lavoro e per conferirgli un considerevole prestigio. Durante il periodo interessato al corso, Lebesgue risolse con successo alcune questioni rimaste aperte dalla sua tesi e fece ulteriori scoperte. Per esempio, il suo successivo lavoro sul FTC e sulla rettificazione di una curva lo condussero al risultato generale che una funzione continua monotona possiede una derivata finita quasi ovunque, cioè tranne su un insieme di misura nulla secondo Lebesgue. (La notazione quasi ovunque fu introdotta dallo stesso Lebesgue).
Molto del nuovo materiale, comprese alcune versioni soddisfacenti di entrambe le formulazioni del FTC, fu presentato durante le lezioni del Corso e pubblicato come Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitivies, in cui l'ultimo capitolo è una presentazione (affrettata) della teoria dell'integrazione di Lebesgue . Ci sono alcune lacune e disattenzioni, puntualizzate specialmente da Beppe Levi, ma che Lebesgue successivamente fu in grado di correggere.
Il BCT e la sua generalizzazione, il Teorema della convergenza dominata, pubblicati rispettivamente nel 1904 e nel 1908, erano il perno del trattato originario sull'integrazione di Lebesgue.
Nel 1912 Denjoy, usando i metodi transfiniti proposti da Baire come pioniere e stimolato dalla suggestiva osservazione di Lebesgue circa il caso in cui F' è a valori finiti ma non necessariamente integrabile (e così non rientra nel suo FTC), realizzò con successo la totalizzazione, ovvero la concezione più generale di integrazione fino allora possibile. Ricorrendo ad essa, otteniamo
ò ab F'= F(b) - F(a) proprio sulla base che F è continua su [a,b] e differenziabile su (a,b).
La seconda edizione delle Leçons mantiene la stessa struttura di quella originale, ma Lebesgue posticipa i capitoli sull'integrazione secondo Lebesgue e aggiunge i capitoli sulla totalizzazione di Denjoy e sull'integrale di Stieltjes. Inoltre, aggiunge un'interessante appendice (che apre le menti) sulla legittimità dell'induzione trasfinita, quasi a scusarsi per aver utilizzato nella sua presentazione il lavoro di Denjoy. In questo caso, la sua esitazione era presciente: nel 1932 Romanovski dimostrò che i metodi trasfiniti qui potevano essere evitati.

Alla fine della prima decade del 20° secolo, la forza e la bellezza della concezione dell'integrazione secondo Lebesgue convinsero la comunità matematica ad accettarla. Le sue idee furono rifinite, generalizzate, estese e applicate in una pletora di situazioni. Il teorema di Fubini sugli integrali doppi (1907) fu un primo rimarchevole trionfo dei metodi di Lebesgue. E l'uso dell'integrazione secondo Lebesgue condusse ad una svolta decisiva nella teoria delle serie trigonometriche e nella teoria del potenziale. Lebesgue conseguì contributi significativi in entrambi i campi. In particolare, pubblicò un sostanzioso tomo sul primo argomento nel 1906, di nuovo basato su una serie di lezioni del Cours Peccot del 1904-05. Un risultato brillante fu quello in cui, utilizzando il BCT, fu in grado di confermare l'intuizione di Fourier per cui, se una funzione limitata può essere rappresentata da una certa serie trigonometrica, allora questa serie doveva essere l'ordinaria serie di Fourier per questa funzione.

Nel 1910 Lebesgue pubblicò un'importante Memoria, in cui estendeva la sua teoria dell'integrazione e della differenziazione agli spazi euclidei n-dimensionali. Partendo dall'osservazione che, per una fissata f, la scrittura F(E) = òEf(x)dx fornisce una funzione d'insieme numerabilmente additiva sui sottoinsiemi numerabili E di Rn ,che è assolutamente continua (nel senso che se le misure degli En tendono a zero, allora anche F(En) tende a zero) Lebesgue fu in grado di dimostrare l'inverso, che qualunque funzione d'insieme può essere rappresentata in questa forma dove, con la necessaria notazione (di derivata), è f(x) = F'(x).
Basandosi sul lavoro di Lebesgue, Radon nel 1913 poté estendere questo teorema di rappresentazione ad ogni coppia di funzioni d'insieme numerabilmente additive se esse stanno nella stessa relazione di F e della misura di Lebesgue sopra indicata. In questo modo, fornì una naturale generalizzazione dell'integrale che incluse sia quello di Lebesgue che quello di Stieltjes. La scena era allora pronta per la definitiva rivincita delle idee di Lebesgue nel contesto della teoria astratta della misura, con applicazioni così diverse come quella dell'assiomatizzazione della teoria della probabilità di Kolmogorov, della misura di Haar sui gruppi topologici, la misura di Hausdorff per i frattali e la misura di Wiener per i moti browniani.

Nel 1912, a Lebesgue fu assegnato il suo primo incarico universitario a Rennes. Successivamente, insegnò a Poitiers dal 1906 al 1910. Ritornò poi a Parigi come lettore alla Sorbona. Qui gli fu assegnata la Cattedra in Applicazioni di Geometria all'Analisi nel 1919. Nel 1921, comunque, divenne professore di Matematica al Collegio di Francia, posto che occupò per il resto della sua vita. Durante la prima guerra mondiale aveva guidato una commissione di matematici, come esperti del Ministero della guerra che investigavano problemi di balistica.

Come accennavamo precedentemente, non tutto andava bene tra Borel e Lebesgue e la loro amicizia di lunga data si deteriorò progressivamente fino alla definitiva rottura, per colpa di Lebesgue, nel 1917. Tutto questo è documentato dalle lettere, conservate all'Istituto Poincaré, che Lebesgue scrisse a Borel a partire dal 1901. Le ragioni, sia psicologiche che scientifiche, sono complesse. Per iniziare, Borel (come Kronecher e Poincaré) fu un costruttivista e pertanto rifiutò la generalizzazione di Lebesgue del concetto di misura, che a suo avviso non aveva alcun significato poiché non costruttivista. Lebesgue replicò che la sua misura era ben definita e consistente, laddove quella di Borel era presentata solo vagamente.
L'assioma di scelta di Zermelo apparve nel 1904 e condusse ad un vivace dibattito tra Hadamard e Baire, Borel e Lebesgue, come si evince dalla pubblicazione delle cinque lettere relative.
Lebesgue pensava che l'esistenza di una entità è dimostrata quando essa è stata definita e che l'uso del termine esistenza significasse libertà da contraddizione. Prima di questo, nelle sue Leçons, Lebesgue aveva introdotto l'integrale postulando sei condizioni desiderabili, che devono essere soddisfatte, e asserendo che questa definizione apparteneva alla classe di quelle che chiama descrittive. In tali definizioni si forniscono le proprietà caratteristiche dell'oggetto che si vuole definire. Nelle definizioni costruttive si indicano, invece, le operazioni che devono essere compiute affinché si ottenga l'oggetto che si vuole definire. Quando si annuncia una tale definizione è necessario dimostrare che le operazioni indicate siano possibili.
Nel corso del dibattito, Baire, Borel e Lebesgue furono uniti nella loro opposizione all'assioma della scelta e rimasero scettici circa l'intelleggibilità di insiemi scaturiti da un'arbitraria selezione, "senza legge", di elementi. Lebesgue comunque non era un costruttivista e scelse una posizione intermedia tra  costruttivisti e  formalisti.
Così, sul finire della vita, adottando un punto di vista caratteristicamente pragmatico, arrivò a riconsiderare l'assioma di scelta come strumento prezioso nella ricerca, nonostante continuasse a nutrire dubbi circa la sua consistenza logica.
Mark Kac riferisce un aneddoto che costituisce un'eco di queste fondamentali questioni e un esempio del senso di humour di Lebesgue. Durante una visita a Lwów nel maggio del 1938, per ricevere un dottorato onorario, Lebesgue fu l'ospite d'onore allo Scottish Cafè.  Il cameriere, non sapendo che Lebesgue fosse l'ospite straniero, gli porse il menu in polacco. Lebesgue lo studiò e poi con estrema serietà affermò: "je ne mange que des choses bien definies!".
Sebbene vi fossero segnali di tensione tra i due protagonisti già dal 1903, quando si può notare un cambio di tono nelle lettere, Lebesgue fu particolarmente ferito dai contenuti di due pubblicazioni apparse nel 1912 in cui Borel espose in un nuovo modo le definizioni di misura ed integrale, sostenendo che questa teoria dell'integrazione era un semplice corollario della sua concezione di misura ed era superiore a quella di Lebesgue. Borel continuò anche ad esigere di condividere il merito per i nuovi approcci all'integrazione.
Possiamo comprendere la frustrazione di Lebesgue per le pretese di Borel, ma possiamo ugualmente immaginare l'amarezza di Borel per aver favorito una definizione d'integrale che gli sfuggì proprio quando sembrava essere alla sua portata. Queste pretese furono rigettate da Lebesgue con il suo stile chiaro e persuasivo in uno scritto contestuale al periodo della fine della loro amicizia. Come priorità - affermò - non c'era alcun cenno all'integrazione nello scritto di Borel del 1898, che presentava le sue idee sulla misura: Borel era prima di tutto interessato ad applicare la teoria della misura a quella delle funzioni analitiche.
Bourbaki, discutendo sulle enormi difficoltà sorte in merito alle priorità nei lavori sul calcolo del 17° secolo, sottolinea: "cosa possiamo concludere se non che, grazie a cambiamenti importanti, la scoperta è stata fatta e che la disputa sulla priorità in questo contesto sembra proprio una lite tra un violino e un trombone per determinare il momento esatto in cui un certo tema appare in una sinfonia?(...) Ogni musicista esegue il proprio pezzo con il suo proprio suono ma nessuno è padrone dei temi che produce.". Questo non fu il punto di vista di Lebesgue che si sentì attaccato  personalmente, nel periodo in cui era candidato sia per il posto di professore alla Sorbona che per la sua elezione all'Accademia delle Scienze! (A Borel fu destinata una cattedra personale, in Teoria delle funzioni, alla Sorbona nel 1909).
Nelle lettere, abbiamo riscontrato ulteriori cause di frizione e una certa propensione di Lebesgue al litigio con gli altri matematici. Litigò per esempio con Baire su chi dovesse tenere i Cours Peccot del 1903-04. Per Lebesgue, ancora più irritante era il fatto che  Baire fosse sostenuto da Borel. Ancora, i due ebbero delle scaramucce circa il contributo che Lebesgue scrisse per l'Encyclopédies des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, con i nuovi sviluppi in Analisi.
Fu comunque soprattutto la guerra che portò la questione al punto di rottura. A Lebesgue non piacque l'idea di lavorare sotto la direzione di Borel e si sentì ridotto ad un mero calcolatore impegnato su problemi di Fisica, in un campo in cui si riconosceva poco competente. Lebesgue continuò ad essere un matematico puro, mentre Borel già dal 1905 si era dedicato ad applicazioni come la Teoria dei giochi o la Probabilità.
Non c'è invece nessuna prova dell'antimilitarismo di Lebesgue, anche se nel periodo dell'affare Dreyfus troviamo il suo nome nella prima lista pubblica dei sostenitori dell'articolo di Zola, Je accuse, mentre manca quella di Borel. 
Ciò che emerge da tutto questo è un carattere piuttosto suscettibile, con una sensibilità tormentata. Dal 1922, comunque, quando Lebesgue preparò un sunto del suo lavoro, sembra che si dispiacesse delle dispute con Borel e Baire tanto che fu membro del Comitato che organizzò i festeggiamenti per Borel.
In una lettera a Borel, riconobbe la sua suscettibilità su alcuni punti e soprattutto su questioni riguardanti il denaro. I suoi genitori non erano ricchi ed egli sposò una ragazza di umili origini. Lebesgue era probabilmente invidioso del collega ben inserito in società, e prestigioso “istigatore” della Collection Borel (in cui comunque compaiono anche le monografie di Lebesgue), che proveniva da una  classe sociale elevata e che sposò un'appartenente alla stessa classe. Ma mentre Lebesgue generosamente riconobbe a Borel di aver compiuto i primi essenziali passi nell
a definizione delle misure, Borel al contrario mai riconobbe a Lebesgue alcunché, persino dopo la seconda edizione delle Leçons nel 1928.
Verso il 1910 il coinvolgimento di Lebesgue, nello sviluppo di quelle parti dell'Analisi che aveva contribuito ad iniziare, declinò. La grandezza del suo contributo sembrò apparentemente adombrare le attività degli ultimi anni. Forse egli aveva paura,  tanto da scrivere più tardi :" considerando teorie generali, la Matematica dovrebbe essere una forma bellissima senza contenuto. Sparirebbe subito, proprio come molte parti della nostra scienza sono scomparse quando risultati generali sembravano garantire loro una nuova attività. Cito, per esempio, la teoria degli invarianti e quella delle funzioni ellittiche, così completamente ignorate finché Weirstrass presentò i teoremi generali che li riguardavano".


Lipschitz

B. Riemann

Non aveva in realtà bisogno di essere così preoccupato. In ogni caso, cominciò a gettare la sua rete ancora più ampiamente. Inizialmente occupato dalla Teoria dell'integrazione, Lebesgue produsse lavori significativi sulla struttura degli insiemi e sulla Teoria delle funzioni che furono più tardi sviluppate dalla scuola di Mosca e da quella polacca. I matematici polacchi, in particolare, veneravano Lebesgue. Janiszewski, l'editore e fondatore di Fundamenta Mathematicae, conseguì il suo dottorato con Lebesgue nel 1911 e Lebesgue scrisse una recensione augurale dei primi volumi di Fundamenta nel 1922. Il lavoro di Lebesgue sulla teoria del potenziale mise in luce il suo apprezzamento per le sottigliezze topologiche. Così nel 1912 poté isolare una proprietà (regolarità) dei punti di frontiera di una regione, che era condizione necessaria e sufficiente perché il problema di Dirichelet in quella regione avesse sempre una soluzione. Continuò questo lavoro nel 1913 con un esempio specifico di un punto di frontiera irregolare o eccezionale di una regione aperta limitata in R3, vertice di quel taglio nella sfera di raggio unitario formato dalla esclusione di quei punti che soddisfano le condizioni (x2 + y2) 1/2 £ exp(-1/z) , z>0. Questo uso, di quello che ora è noto come Lebesgue spine, condusse al lungo dibattito sul fatto se la natura del confine di una regione potesse compromettere la risolubilità del problema di Dirichelet.

Lebesgue presentò poi una semplificazione della procedura di costruzione delle curve di Peano che riempiono lo spazio e questo lo spinse ad affrontare il problema della invarianza della dimensione. Il punto era di dare una definizione topologica di dimensione che assegni lo stesso numero a spazi omeomorfi e assegni il valore n a Rn. Lebesgue introdusse la nozione di dimensione coprente, basata sulla prosaica osservazione che un muro di mattoni è di dimensione 2 precisamente perché nessun punto del muro è in contatto con più di 2+1 mattoni ( e 3 è il più piccolo numero possibile). La sua immediata e intuitiva concezione dell'invarianza della dimensione fu sottolineata in una lettera all'editore, nello stesso numero del 1911 del Mathematische Annalen, come dimostrazione indiretta di Brouwer e spettacolare applicazione del suo lavoro pionieristico sul grado topologico di una mappa. Brouwer si infuriò per la forma imprecisa delle argomentazioni di Lebesgue e gli intimò di colmare le lacune. Inizialmente, Lebesgue decise di non farlo. Poi usò le tecniche di Brouwer per estendere il teorema di Jordan a dimensioni maggiori, nel lavoro sulle proprietà di separazione degli insiemi che presagiva il teorema di dualità di Alexander. Questa volta, comunque, l’ostinazione di Lebesgue portò a beneficio inaspettato, spronando Brouwer ad alcuni dei suoi più brillanti lavori di Topologia. Incidentalmente, nel 1921, nel suo primo intervento su Fundamenta Mathematicae, Lebesgue riconobbe la inadeguatezza della sua dimostrazione del 1911, che era basata sulla sua sovrastima dell'intuizione geometrica.

Quello che è chiamato il teorema di Heine - Borel - Lebesgue ha una storia movimentata. Borel dimostrò che ogni copertura aperta misurabile di [a,b] ha una sottocopertura finita. Lebesgue estese questo risultato ad una arbitraria copertura aperta e quindi introdusse la moderna definizione di compattezza. Nel corso della sua dimostrazione, stabilì l'esistenza di un numero di Lebesgue della copertura: un e>0 con la proprietà che,  per ogni a £x£b, l'intervallo di ampiezza e centrato su x è un sottoinsieme di almeno uno degli insiemi della copertura. Precedentemente, Heine aveva usato in pratica la proprietà della sottocopertura finita mostrando che tutte le funzioni continue su [a,b] sono uniformemente continue.
Lebesgue diede una mano anche in quello che è chiamato il teorema di Tietze-Urysohn (una funzione continua su un sottoinsieme chiuso può essere estesa a una funzione continua sull'intero spazio). Questo risultato è banale in R (quando è sufficiente una interpolazione lineare su intervalli aperti comprendenti anche il complementare dell'insieme chiuso). Lebesgue lo estese a R2, Tietze a spazi metrici più generali e Urysohn - in modo definitivo - a (normali) spazi topologici.

Molti onori vennero tributati a Lebesgue nel corso della sua vita. Vinse il Prix Houllevique nel 1912, il Prix Poncelet nel 1914 e il Prix Saintour nel 1917. Appena divenne Presidente della Società francese di Matematica, nel 1922, fu nominato membro dell'Accademia francese delle Scienze (come Jordan). A quel tempo, aveva pubblicato 90 libri ed articoli su una grande varietà di argomenti. Successivamente, divenne membro onorario della London Mathematical Society e fu nominato membro straniero della Royal Society nel 1934.

In tutta la sua vita, Lebesgue prese molto sul serio l'impegno dell'insegnamento e dedicò molto tempo agli studenti. Il suo punto di vista sull'insegnamento fu particolare e da lui fermamente sostenuto come quello sulla ricerca. Credeva che, per dare vita alla Matematica, la si dovesse presentare con una sorta di stile genetico che comportasse sia l'uso della storia delle idee (per spiegare concetti matematici) sia la presentazione di questioni semplici, non per falsificare ma per evitare ogni aspetto non essenziale. Lebesgue così definì il ruolo del lettore: "l'unico insegnamento che un professore può dare, secondo me, è pensare davanti ai propri studenti".
Per questo obiettivo era convinto che un insegnante dovesse costantemente arricchire la sua personale cultura matematica e allo stesso tempo rifiutare di riproporre anno dopo anno le stesse lezioni e la routine di precedenti pedagogie e medesimi libri di testo. Secondo un suo studente, Lucienne Félix, questo è ciò che Lebesgue voleva dire quando affermava di rifiutare di "sapere" la Matematica che insegnava. Credeva che gli studenti "non guadagnassero nulla da una soluzione che è soddisfacente per la logica, ma non dal punto di vista umano" .
Queste convinzioni sono evidenti nella struttura stessa delle Leçons, in cui trova posto la Teoria dell'integrazione con uno stile piuttosto discorsivo, come se Lebesgue fosse costantemente desideroso di stabilire un dialogo con il lettore.
Lo stile piuttosto informale, occasionalmente, lo fece incorrere in errori. Come Burhill disse con molto tatto "Lebesgue cadde nella non accuratezza più spesso di quanto non si ci potesse aspettare da un così acuto matematico e da uno scrittore così chiaro; i suoi errori sono sempre nel supporre che alcuni argomenti siano più semplici di quanto non lo siano.". Il suo errore più famoso comparve in uno dei suoi primi scritti dove utilizzò il "fatto" che la proiezione (su una retta) dell'intersezione di una famiglia di piani fosse l'intersezione delle loro proiezioni. Ciò è banalmente falso (basta pensare ad una pila di piatti!). Ma, nel contesto dello scritto, la realizzazione che l'immagine continua di un insieme di Borel non è necessariamente di Borel portò alla creazione della teoria di Lusin - Souslin degli insiemi analitici, una classe di insiemi intermedi tra quelli misurabili secondo Borel e quelli misurabili secondo Lebesgue, dove un sottoinsieme sull'asse delle x è analitico se è la proiezione (sull'asse x) di un sottoinsieme di Borel del piano xy. Forse piuttosto sfacciatamente, Lusin chiese a Lebesgue di scrivere la prefazione al suo famoso libro sugli insiemi analitici e Lebesgue affermò che la sua svista fu l'errore più redditizio che mai avesse commesso!

Negli ultimi venti anni, Lebesgue scrisse avendo preoccupazioni di tipo espositivo oppure filosofico o pedagogico o storico e soprattutto su argomenti di natura elementare. Scorrendo i titoli, si deve fare menzione della sua attenzione alla Geometria, quasi fosse il movente principale dei suoi pensieri. E' affascinante notare che, alla fine della sua vita, scrisse due lavori sul celebre teorema di Morley sulla trisezione degli angoli di un triangolo e le sue estensioni.

"Umano, profondamente umano, nobile di cuore e di mente, sensibile e delicato, con una discreta e inesaustibile generosità", scrisse Paul Montel nel necrologio. Lebesgue morì il 26 luglio 1941, lasciando sua madre, la moglie, un figlio e una figlia.
Terminiamo questa prima parte con l'encomio di Bourhill: " il suo lavoro riguarda quasi interamente un settore della Matematica : la Teoria delle funzioni reali. In questo campo egli è supremo!".



Testo in formato htm, non impaginato