3. Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica

 

Il risultato che vedremo qui di seguito è così importante da contenere l'aggettivo “fondamentale” nel nome: fra i vari enunciati possibili, scegliamo quello in cui la rappresentazione in forma di prodotto è effettivamente unica. Una dimostrazione si trova nel §3.1 di [ 11 ]. Il nostro enunciato dipende in modo essenziale dal fatto che in N è possibile ordinare gli elementi: negli insiemi in cui questo non è possibile, ma vale un enunciato analogo, è necessario dare una formulazione diversa.

Riprenderemo l'argomento nell'Appendice B .

Teorema 3.1 Ogni numero naturale n≥2 può essere espresso nella forma

dove i pi sono numeri primi con p1<p2<···<pk , ed αi∈N* per i=1 , . . . , k, in un unico modo.


Karl FriedrichGauss
Osserviamo che esiste un enunciato alternativo di questo Teorema in cui non si chiede che i numeri primi nella (1) siano elencati in ordine crescente, ma siano semplicemente distinti fra loro: in questo caso, a causa della proprietà commutativa della moltiplicazione, è necessario dire che la rappresentazione è unica, a meno dell'ordine con cui sono presi i fattori.

Per esempio, 8911=7·19·67, e questa decomposizione è essenzialmente unica. Come conseguenza del Teorema 3.1, non è necessario eseguire esplicitamente la moltiplicazione 59·151 per sapere che il risultato non è uguale a 8911: la situazione è completamente diversa se i fattori nel prodotto non sono primi, come mostra l'esempio 27·330=10·891.

Il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica può sembrare una banalità perché fino dalle Scuole Medie siamo abituati ad effettuare la scomposizione di un intero nel prodotto delle sue potenze prime. Si potrebbe dunque pensare che debba essere vero per tutti gli insiemi numerici. Ma invece esistono insiemi numerici semplici quanto gli interi in cui esso non è valido: ad esempio l'insieme H degli interi della forma 4k+1, con k ∈N. L'insieme H è un sistema chiuso rispetto alla moltiplicazione (cioè se a,b∈H allora ab∈H) ma in esso non vale il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Infatti si verifica facilmente che

693=9·77=21·33

e queste due diverse scomposizioni di 693 sono entrambe formate da “primi” in H. Infatti 9,77,21 e 33 non ammettono una fattorizzazione non banale in H (ossia tali numeri hanno esattamente due divisori aventi la forma 4k+1).
Peraltro risultati analoghi al Teorema Fondamentale dell'Aritmetica valgono in strutture più sofisticate degli interi; esempi semplici sono i polinomi a coefficienti reali R[x] o a coefficienti complessi C[x] . In generale le strutture algebriche per cui vale una proprietà di questo tipo vengono dette a fattorizzazione unica.