Esistono piccoli intervalli tra numeri primi consecutivi !

di
A. Languasco e A. Zaccagnini

La distribuzione dei numeri primi è un problema di grande importanza per la Matematica. Malgrado molti dei risultati che riguardano questi numeri siano facilmente enunciabili, la loro dimostrazione, va in molti casi, al di là delle attuali conoscenze. Durante il mese appena trascorso, però, un importante teorema è stato dimostrato da D. Goldston (USA), J. Pintz (Ungheria) e C. Yildirim (Turchia).

Enrico Bombieri

Il loro risultato riguarda la distribuzione degli intervalli tra due numeri primi consecutivi pn e pn+1. Ricordiamo che il più importante teorema nel campo è il Teorema dei numeri primi . Il suo enunciato può essere espresso affermando che, per n molto grande, pn è approssimativamente uguale a nlog n.

Ciò suggerisce che p_n+1-p_n sia di solito (ossia per la maggior parte degli interi n) dello stesso ordine di grandezza di log n che, a sua volta, non differisce molto da log p_n. Inoltre non ricaviamo nessuna prova del fatto che tale distanza possa anche essere occasionalmente molto più piccola (anche se ciò dovrebbe accadere piuttosto di rado). In effetti, in accordo con quanto previsto dalla Congettura dei Primi Gemelli, ancor oggi non dimostrata, ci si aspetta che esistano infiniti n>1 per cui la differenza p_n+1-p_n sia minimale ossia uguale a 2.
Un metodo naturale per studiare l’esistenza di piccole distanze tra numeri primi consecutivi è dunque quello di valutare la quantità:

al fine di capire se l’ampiezza p_n+1-p_n possa essere minore di log p_n per infiniti valori di n. Ricordiamo che la definizione del minimo limite o liminf di una successione a_n è la seguente:

ed osserviamo che il Teorema dei numeri primi implica E≤1 mentre la Congettura dei Primi Gemelli implica E=0.
La storia dei progressi nello studio di E contiene nomi che appartengono al Gotha della Matematica:

A titolo di cronaca, il problema corrispondente relativo a numeri primi consecutivi “distanti” sembra essere notevolmente più facile da affrontare. È infatti noto da quasi un secolo che:

ed, in realtà, si conoscono perfino risultati leggermente più forti. Ricordiamo che la definizione di massimo limite o limsup è analoga a quella di liminf e si ottiene cambiando inf in sup in quella data sopra. Euristicamente, questo risultato dipende dal fatto che è relativamente semplice “costruire” intervalli senza numeri primi, usando una sofisticata variante del Crivello di Eratostene, mentre è ben più difficile costruire coppie di numeri primi “vicini.”
Negli anni Ottanta del secolo scorso, Goldston iniziò a lavorare su E e nel 2003 i suoi sforzi sembrarono essere coronati da successo quando annunciò (in un articolo in collaborazione con Yildirim) la dimostrazione che E=0. In seguito, purtroppo, un errore in una parte fondamentale del lavoro venne scoperto da A. Granville e K. Soundarajan. L’anno scorso, J. Pintz si unì alla collaborazione e, nel febbraio 2005, il nuovo team era riuscito ad ottenere una nuova dimostrazione che E=0. Questa volta essa, prima di essere pubblicamente annunciata, fu verificata da diversi teorici dei numeri di livello internazionale ed una sua versione semplificata, scritta da Y. Motohashi (Giappone), venne resa pubblica all’indirizzo web:

http://xxx.sissa.it/abs/math/0505300.

Ma che cosa significa il risultato in questione? E=0 vuol dire che, per ogni ε>0, esistono infiniti n tali che p_n+1-p_n≤εlog p_n. In tal modo è evidente che questo teorema può essere considerato un importante passo verso la dimostrazione della Congettura dei Primi Gemelli. Questo bel risultato ha sorpreso la stessa comunità dei teorici dei numeri perché la sua dimostrazione è un’arguta combinazione di tecniche note a partire dal 1950 (Crivello di Selberg) sebbene, in un punto fondamentale, sia necessario utilizzare anche un profondo risultato di Bombieri e Vinogradov degli anni Sessanta. Inoltre, alcune indiscrezioni affermano che Goldston, Pintz e Yildirim abbiano in realtà dimostrato un enunciato più forte che però è ancora al vaglio della comunità dei teorici dei numeri e che quindi non è per ora stato reso pubblico.

Malgrado non sia chiaro il limite di questo nuovo metodo, e se esso sia applicabile o meno ad altri problemi classici della teoria dei numeri primi, riteniamo che nuove rosee prospettive siano state aperte e che questa affascinante storia possa riservare nel prossimo futuro altre sorprese...
... rimanete “sintonizzati” !!