A. Risultati quantitativi

A.1 Euristica basata sulla Formula di Stirling

 

 

In questo paragrafo daremo una dimostrazione “quantitativa” dell'esistenza di infiniti numeri primi, che parte da una delle più importanti, e a nostro giudizio anche una delle più belle formule della Matematica, la Formula di Stirling:

Ricordiamo che la notazione F(N)∼G(N) indica che il rapporto F(N)/G(N) ha limite 1 quando N tende a +∞. In realtà, per i nostri scopi è sufficiente una formula più debole, che dimostreremo per induzione nel Lemma seguente.

Lemma A.1 Per ogni intero N≥1 si ha

logN!≥N logN-N. (2)

Prima della dimostrazione, osserviamo che questa formula è equivalente a N!≥(N/e)N , e che è piuttosto ragionevole dato che ci si può aspettare che

Dim. La tesi è evidentemente vera per N = 1. Supponiamo dunque che la (2) valga per un certo intero N e dimostriamo che vale per N+1. Per ipotesi induttiva

log(N+1)!=log(N+1)+logN!≥log(N+1)+N logN-N . (3)

Posto f(x)=x-log(1+x) per x>-1, osserviamo che df/dx=x/(1+x)≥0 per x ≥0, e quindi f(x)≥f(0)=0 per ogni x≥0. Prendendo x=1/N, da questa ultima disuguaglianza deduciamo

Sostituendo nella (3) ricaviamo

log(N+1)!≥N log(N+1)-1-N+log(N+1)=
(N+1)log(N+1)-(N+1),

che è la tesi.

Per inciso, notiamo che la disuguaglianza N log(1+1/N)≤1 è una conseguenza diretta del fatto che la successione aN=(1+1/N)N, il cui limite per definizione è il numero di Nepero e, è monotona crescente.


Bernhard Riemann
Il nostro obiettivo ora è quello di scomporre in fattori primi N!: è evidente che nella scomposizione interverranno tutti e soli i numeri primi fra 2 ed N , ma quello che ci interessa è determinare l'esponente esatto con cui ciascun numero primo compare.

Per esempio, qual è la potenza di 2 che divide 100!? Si può ragionare così: ogni numero pari fra 1 e 100 contribuisce un fattore 2 al prodotto 100!, e questo significa che l'esponente di 2 deve essere almeno 50, ma non dobbiamo dimenticarci che i multipli di 4 contribuiscono un ulteriore fattore 2, i multipli di 8 un altro ancora, e così via. In altre parole, l'esponente di 2 è dato da

A questo punto ci possiamo fermare, perché non vi sono multipli di 128=27 che siano minori o uguali a 100. Notiamo che vale una semplice disuguaglianza per α(2), che è una conseguenza della formula che dà la somma dei termini della progressione geometrica di ragione 1/2:

Un discorso del tutto analogo vale per qualunque numero primo p e intero positivo N: per completezza riportiamo le due formule. Cominciamo con α(p):

dove m(p) indica il massimo intero m per cui pm N : in altre parole, m(p)= Inoltre,

In definitiva, la scomposizione in fattori primi di N! è

dove α(p) è dato dalla (4), e quindi

per la disuguaglianza (5).

Dopo questo tour de force , siamo pronti a dimostrare che i numeri primi sono “tanti”: infatti, mettendo insieme la (2) e la (6), troviamo

Osserviamo che il secondo membro di questa relazione tende all'infinito per N che tende a +∞, e questo implica che i numeri primi non finiscono mai! In realtà, essa fornisce qualche ulteriore informazione: infatti, l'analoga della relazione (7) con i quadrati perfetti al posto dei primi è

per ogni N ≥1, dove la serie a destra è convergente (si usi il fatto che per m grande l'addendo m -esimo è minore di m-3/2) e questo significa che i quadrati perfetti sono molto meno “densi” dei numeri primi nella successione dei numeri naturali.


Goldfrey H. Hardy
Concludiamo questo faticoso paragrafo osservando che è possibile modificare questa argomentazione in modo da ottenere una relazione più precisa della (7): per la precisione, si può ottenere che la differenza fra primo e secondo membro è una funzione limitata dall'alto e dal basso.

Ci asteniamo dallo sviluppare qui la matematica necessaria, avvertendo i Lettori che si basa su una versione ad hoc della formula di integrazione per parti. Purtroppo non esistono veri e propri testi didattici in italiano, per cui il riferimento standard è al Capitolo 22 del libro di Hardy e Wright [7], che peraltro ci sentiamo di consigliare in ogni caso. Su rete è possibile trovare dispense di corsi, che possono fare da introduzione ad alcuni di questi problemi: si veda per esempio [16].