2. Cosa sono i numeri primi

Cominciamo la nostra discussione sui numeri primi, che sono i “mattoni” dell'aritmetica dal punto di vista della moltiplicazione. La nostra definizione è la seguente.

Definizione 2.1 (Numero primo) Un intero positivo n si dice primo se ha esattamente due divisori positivi.

Questa definizione di numero primo è diversa da quella che la maggior parte delle persone ricorda dalle Scuole Medie: “un intero positivo n si dice primo se è divisibile solo per 1 e per sé stesso”. Il motivo principale per cui diamo questa definizione è che vogliamo escludere il numero 1 dall'insieme dei numeri primi: daremo qualche giustificazione per la nostra scelta nel § 2.1 . In effetti, su alcuni testi si trova la definizione di numero primo nella forma (equivalente alla nostra): “un intero n≥2 si dice primo se è divisibile solo per 1 e per sé stesso”. Sono dunque primi i numeri 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . , mentre non sono primi i numeri 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, . . . . Il numero 1 non è classificato.


Euclide

I numeri primi sono importanti perché sono alla base della struttura moltiplicativa dei numeri naturali: il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica 3.1 assicura che ogni numero naturale si può ottenere moltiplicando fra loro opportuni numeri primi in uno ed un solo modo , a parte l'ordine in cui i fattori sono presi. Per questo motivo, gli interi n≥2 che non sono numeri primi si dicono composti.

 

Il nostro scopo qui è anche quello di indicare altri motivi di interesse (teorico e pratico) dei numeri primi, non immediatamente evidenti.

1 →2 →3 →4 →5 →6 →7→ 8→ . . .

Figura 1: L'ordinamento dei numeri naturali positivi indotto dalla funzione successore: per motivi evidenti questo ordinamento si chiama lineare o totale .

La Figura 1 mostra l'ordinamento standard dell'insieme dei numeri naturali positivi N*= N \{ 0 } : a partire da 1, ogni intero si ottiene dal precedente aggiungendo 1, ed in questo modo si ottengono tutti gli interi positivi. In questa figura come nella successiva, indichiamo solo il successore o i successori immediati di ogni intero, e quindi la relazione di ordine si considera prolungata per transitività: se a<b e b<c allora a<c . In altre parole, poniamo per definizione che n<n+1 (esattamente come suggerito dalle frecce) e poi estendiamo questa definizione dicendo che, dalle due disuguaglianze n<n+1 ed n+1<(n+1)+1=n+2, segue n<n+2, e così via.

Figura 2: L'ordinamento dei numeri naturali indotto dalla relazione di Divisibilità. La figura dovrebbe contenere infinite colonne, una per ogni numero primo, ed essere illimitata sia verso destra che verso il basso. Abbiamo messo nella stessa riga gli interi che hanno lo stesso numero di fattori primi, non necessariamente distinti. Si noti che non è detto che due interi qualsiasi siano confrontabili, anche se hanno sempre almeno un predecessore comune, ed infiniti successori comuni. L'evidente complessità di questo ordinamento è alla base dell'interesse dei numeri primi. La freccia che parte da n e raggiunge m è rossa se m / n è 2, blu se questo rapporto vale 3, verde se vale 5 e nera se vale 7.

La Figura 2 mostra invece un possibile ordinamento non standard dei numeri interi positivi: dati due numeri naturali distinti a e b con 0<a<b , diciamo che ab ( a divide b ) se a|b , e in questo caso li colleghiamo mediante una linea orientata da a verso b . È immediatamente evidente che questo secondo ordinamento è assai più complesso del primo, e di conseguenza assai più interessante.

In particolare osserviamo che gli interi che seguono immediatamente 1 (senza altri interi intermedi) sono i numeri primi: in altre parole, i numeri primi sono i primi numeri che seguono 1 in questo ordinamento. Notiamo inoltre che con questo ordinamento non è sempre possibile confrontare due interi positivi qualsiasi: a questo proposito, si può comunque notare che ogni coppia di interi ha un massimo predecessore comune ed un minimo successore comune , che sono, naturalmente, il massimo comun divisore ed il minimo comune multiplo rispettivamente.

È molto importante osservare che, in questo caso, massimo e minimo si riferiscono entrambi alla relazione e non alla relazione < . Facciamo un esempio concreto: scelti a=30 e b=36, gli insiemi dei predecessori di a e di b rispettivamente sono dati da

Dunque {d∈N*: d a d b }={1,2,3,6}, e 6 è il massimo dell'ultimo insieme rispetto alla relazione : è essenziale notare che in quest'ultimo insieme ogni elemento è un predecessore di 6, o, in altre parole, che ogni elemento è un divisore di 6. Indicheremo con (n,m) il massimo comun divisore fra n ed m .

Notiamo anche che N* è generato additivamente da un solo elemento, e cioè 1, mentre (si veda il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica 3.1 ) è generato moltiplicativamente dall'insieme infinito dei numeri primi: questo è un altro modo per mettere in evidenza la straordinaria ricchezza della struttura moltiplicativa degli interi, paragonata alla relativa povertà di quella additiva. Naturalmente, questa ricchezza si riflette sia nell'interesse astratto per i numeri primi, sia sulle loro applicazioni concrete.

 

2.1 Perché 1 non è un numero primo

Vogliamo qui spiegare perché si suole escludere 1 dall'insieme dei numeri primi: prima di passare al dettaglio, è bene osservare che in Matematica si cerca di dare definizioni utili e generali, anche al costo di darle in modo apparentemente “non naturale.” Non è certamente pensabile che i Matematici siano costretti a conservare la definizione vista nelle Scuole Medie, quando questa confligge con il principio generale appena esposto: speriamo di convincere anche i nostri Lettori con gli esempi qui sotto.

Veniamo dunque al nostro problema; il numero 1 non viene considerato primo per vari motivi, fra i quali citiamo quelli che riteniamo più importanti.

1. Il numero 1 ha un solo divisore, mentre tutti i numeri primi ne hanno due.
Questo è solo un esempio di un fenomeno generale: per molte funzioni aritmetiche assolutamente naturali, come la funzione φ di Eulero definita dalla cardinalità dell'insieme degli interi 0≤a<n tali che (a,n)=1, sarebbe necessario avere due formule distinte, una valida per 1 e l'altra per i numeri primi p≥2. In questo caso, infatti, dovremmo dire che φ(p)=p-1 per tutti i p ≥2, ma φ(1)=1.

2. Molti teoremi, per esempio il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica 3.1 , dovrebbero essere enunciati in un modo molto più complicato per tener conto delle proprietà speciali di 1.

3. Nel crivello di Eratostene, descritto nel § 5 , se il numero 1 fosse considerato primo si cancellerebbero tutti i numeri tranne lo stesso 1 al primo passo.

4. Un'altra funzione importante è la funzione Ω, che conta il numero totale dei fattori primi di un intero positivo n: in altre parole, se n ha la fattorizzazione della (1), la funzione Ω(n) vale α12 + ··· + αk . Se 1 fosse primo, potremmo includere nel membro destro della (1) la potenza 1α, con α∈N arbitrario, e quindi Ω(n) sarebbe indeterminato.

5. Nell'Algebra, gli elementi invertibili degli anelli (cioè quegli elementi a per i quali si può risolvere l'equazione ax=1) hanno uno status speciale. In N l'unico elemento invertibile è proprio 1; esso va quindi trattato a parte. Per non distogliere l'attenzione dal nostro obiettivo principale, ne parliamo di nuovo in maggiore dettaglio nell'Appendice B.

In definitiva, possiamo riassumere la nostra argomentazione così: se decidessimo di considerare primo anche 1, dovremmo rassegnarci a fare continue eccezioni perfino nelle definizioni o nei teoremi più semplici. Per economia, dunque, preferiamo dare una definizione che a prima vista può sembrare meno naturale, ma con la quale non c'è questa necessità. In effetti si tratta di un principio generale della Matematica: l'utilità e la versatilità delle definizioni sono decidibili solo “a posteriori”, cioè solo dopo averle viste all'opera e confrontate con possibili definizioni alternative.