C. Letture ulteriori

 

N. Saxena, N. Kayal e M. Agrawal

 

Proprietà dei numeri primi Una trattazione introduttiva molto interessante e non tecnica delle proprietà dei numeri primi si trova nel Capitolo 5 del libro di Conway e Guy [3]. Per la chiarezza dell'esposizione e la presenza di numerosi esempi riteniamo che questo testo costituisca una buona risorsa per l'appassionato.

Inoltre consigliamo di leggere l'articolo di Pomerance [12] che, sebbene datato per quanto riguarda le ultime scoperte, introduce con chiarezza le tipologie di problemi e le strategie di attacco da utilizzare per ricercare i numeri primi. Per chi vuole conoscere gli ultimi risultati (e non ha problemi con la lingua inglese) consigliamo l'articolo di Granville [6] in cui viene presentato anche il recente risultato di Agrawal-Kayal-Saxena [1] sull'esistenza di un algoritmo di primalità avente complessità polinomiale nel numero delle cifre dell'intero sotto esame.

Una presentazione in italiano di tale algoritmo si può anche trovare in [11].

Per chi vuole andare oltre un livello puramente amatoriale e si vuole avvicinare più professionalmente al mondo della Teoria dei Numeri, consigliamo il libro di Davenport [5] per un'introduzione generale ed il libro (in lingua inglese) di Crandall e Pomerance [4] per gli aspetti computazionali sui numeri primi. Parte di tali aspetti sono anche presentati in [11].

Applicazioni alla crittografia Negli ultimi anni sono stati pubblicati diversi articoli in lingua italiana che presentano a livello introduttivo vari aspetti delle applicazioni della Teoria dei Numeri alla Crittografia. In realtà questi lavori hanno tra loro delle intersezioni non banali, ma siccome il punto di vista adottato è usualmente diverso da caso a caso pensiamo che sia utile citarli tutti. In ordine di tempo ricordiamo l'articolo di Schoof [13] in cui viene presentato il collegamento tra metodo RSA e la fattorizzazione di interi; Languasco e Perelli [9]-[10] in cui si fornisce una succinta storia di alcuni risultati sulla distribuzione dei numeri primi e sulla crittografia a chiave pubblica nonché sulla firma digitale; Zaccagnini [15] in cui si analizza il ruolo della primalità nei metodi crittografici basati sul logaritmo discreto ed Alberti [2] in cui viene proposta una presentazione adatta agli studenti delle Scuole Superiori dei concetti base dell'Aritmetica finita e della crittografia a chiave pubblica.

Una trattazione ben più estesa delle problematiche relative alle applicazioni teorico-numeriche si trova nella recente monografia [11] in cui, dopo aver fornito le nozioni matematiche di base necessarie, sono presentati vari algoritmi crittografici basati sia sulla fattorizzazione che sul problema del logaritmo discreto nonché diversi algoritmi di primalità e fattorizzazione. Inoltre sono descritti alcuni protocolli crittografici (senza dettagli implementativi) e uno strumento di calcolo (PARI/ Gp) che permette di svolgere calcoli didatticamente significativi senza dover ricorrere a veri e propri linguaggi di programmazione.

Per chi non ha problemi con la lingua inglese consigliamo anche il libro di Koblitz [8] che rappresenta un'ottima introduzione al mondo delle applicazioni della Teoria dei Numeri alla Crittografia.

Siti web Anche in questo caso notiamo che la maggior parte delle informazioni sul web non sono in lingua italiana. A costo di doverci auto-citare di nuovo, facciamo presente che sono a disposizione dei nostri Lettori alcune pagine web, accessibili dai link

www.math.unipd.it/~languasc/crittografia/Crittografia.html

www.math.unipr.it/~zaccagni/crittografia/Crittografia.html

nelle quali abbiamo raccolto link a materiale interessante (principalmente dal punto di vista crittografico, ma anche per le questioni più strettamente legate ai problemi generali qui trattati), e del software commentato che permette di vedere delle realizzazioni pratiche degli algoritmi discussi in questa serie di articoli.