Intervalli fra numeri primi consecutivi

1 Introduzione

L’obiettivo di questo articolo è, a nostro giudizio, piuttosto ambizioso: infatti ci proponiamo di spiegare due importanti risultati della Matematica contemporanea in modo accessibile a tutti, nei limiti del possibile. L’argomento che abbiamo scelto, la distribuzione dei numeri primi ed in particolare le sue irregolarità, ci permette di entrare direttamente in medias res senza bisogno di complicati preliminari o definizioni di difficile motivazione.
In un nostro recente annuncio su rete [16] abbiamo parlato molto brevemente di un risultato di questa primavera che riguarda la distanza fra numeri primi consecutivi, nel caso particolare in cui questa è relativamente piccola. Qui vogliamo parlare di questo problema, e del suo “gemello” che riguarda distanze relativamente grandi, in modo più dettagliato. La strategia che useremo per raggiungere l’obiettivo che ci siamo prefissi illustra bene il procedimento di sviluppo della Matematica, che potremmo chiamare di “accumulazione”: partendo da risultati già noti costruiremo le dimostrazioni che ci interessano, seguendo molto da vicino lo sviluppo storico della disciplina. Cercheremo di mostrare come alcune idee possano essere successivamente raffinate dando luogo a risultati sempre più precisi. Per questo motivo, una parte dei risultati più significativi è dimostrata in Appendice, per non intralciare il nostro discorso, e una parte è citata senza dimostrazione.
Non sarà possibile dare la dimostrazione dei risultati più forti oggi noti, ma daremo conto delle idee più importanti, ed in uno dei due casi il nostro risultato non sarà molto distante dal migliore. Le tecniche di cui parliamo non sono completamente elementari, anche se spesso hanno origine da idee relativamente semplici, come per esempio il Crivello di Eratostene di cui abbiamo parlato nel §5 di [14].
Un vincolo che ci siamo dati per raggiungere il nostro obiettivo è quello dell’onestà, di non “barare” nascondendo le difficoltà come se non esistessero: gli enunciati che daremo, per la maggior parte, sono piuttosto semplici da comprendere: la Teoria dei Numeri, a differenza della maggior parte del resto della Matematica, contiene moltissimi enunciati facilmente comprensibili, ed altri che lo sono con una modesta fatica. Purtroppo, la Matematica che c’è dietro le dimostrazioni non è sempre banale, e per capirne alcune è necessario un notevole sforzo da parte dei Lettori: ci considereremo soddisfatti se saremo riusciti a rendere comprensibili quantomeno i meccanismi delle dimostrazioni, tralasciando i dettagli più tecnici.
In un certo senso, chiediamo ai nostri Lettori un atteggiamento simile a quello che si tiene quando si legge un libro di fantascienza, che qualche volta si chiama “sospensione dell’incredulità”: supponendo che i viaggi interstellari siano possibili, quali conseguenze ne derivano? Dando per buoni alcuni risultati, che descriveremo e commenteremo nei dettagli qui sotto, quali conseguenze possiamo trarne? La differenza fondamentale è che, nel nostro caso, i Lettori interessati potranno studiare anche le dimostrazioni di tutti i risultati che qui ci limitiamo a enunciare, operazione faticosa ma estremamente interessante, mentre non è molto probabile che possano cimentarsi in viaggi interstellari . . . In ogni caso, riteniamo che sia una operazione tutt’altro che banale anche comprendere la struttura delle dimostrazioni che descriveremo.