B. Anelli

 

In questa Appendice forniamo qualche definizione formale di strutture che generalizzano Z ossia di insiemi con due operazioni che interagiscano così come accade in Z per la somma ed il prodotto usuale. Per prima cosa dobbiamo definire il concetto di gruppo ossia di insieme dotato di una operazione che verifica certe proprietà.

Definizione B.1 (Gruppo) Un insieme G dotato dell'operazione • si dice gruppo se

per ogni g,h∈G si ha gh∈G;

esiste e∈G tale che e•g=g•e=g per ogni g∈G; e si dice elemento neutro o identità;

per ogni g∈G esiste h∈G tale che g•h=hg=e; h si dice inverso di g e si indica con g-1;

per ogni g,h,j∈G si ha g•(hj)=(gh)•j; questa viene detta proprietà associativa .

Se inoltre g•h=hg per ogni g,h∈G, allora G si dice gruppo commutativo o abeliano .

Esempio B.2 I gruppi più semplici sono Z, Q, R o C con l'operazione di addizione, Q*, R* o C* con la moltiplicazione (ed anche Q+ o R+ ). Altri esempi sono:

Zm={a∈Z:0≤am-1}

con l'addizione modulo m, ed anche

Z*m={a∈Zm :(a,m)=1}.

Tutti questi sono gruppi abeliani.

Sfruttiamo ora il concetto di gruppo per definire gli Anelli .

Definizione B.3 (Anello commutativo con identità) Un insieme R dotato delle due operazioni + e · si dice anello commutativo con identità se R con l'operazione + è un gruppo abeliano con elemento neutro 0 , l'operazione · ha elemento neutro 1≠0 , è associativa e commutativa ed inoltre vale la proprietà distributiva:

per ogni x,y,z∈R si ha (x+yz=x·z+y·z.


Julius W. Richard Dedekind
Sono anelli gli insiemi Z, Q, R e C ed anche Zm, qualunque sia l'intero positivo m . Si noti che in alcuni anelli del tipo Zm non vale la legge di annullamento del prodotto; la prossima definizione servirà a distinguere gli anelli con questa proprietà dagli altri.

Definizione B.4 (Divisore di zero) Dato un anello R, un suo elemento x≠0 si dice divisore di zero se esiste y∈R con y≠0 tale che x·y=0. Un anello privo di divisori di zero si dice integro. Indicheremo con R* l'insieme degli elementi di R diversi da 0 e dai divisori di zero.

Gli anelli integri sono precisamente quelli in cui vale la legge di annullamento del prodotto (se x·y=0 allora x=0 o y=0). Fra quelli che abbiamo considerato finora, sono integri gli anelli Z, Q, R e C, oltre a tutti gli Zp quando p è un numero primo. In Zm, m composto, m=ab , si ha che a e b sono divisori dello zero perché

ab=m≡0 mod m

e quindi Zm, m composto, non è un anello integro.

Un altro concetto importante in un anello è quello di elemento invertibile.

Definizione B.5 (Unità) Un elemento u∈R si dice unità se è invertibile, cioè se esiste v∈R tale che u·v=1.

In Zm gli elementi invertibili sono gli a∈Z m tali che (a,m)=1; in Z l'unico elemento invertibile è 1 mentre in Q , R e C tutti gli elementi non nulli sono invertibili.

Classificheremo gli elementi di un anello secondo le loro proprietà rispetto alla moltiplicazione: per primi consideriamo 0 ed i suoi divisori, poi le eventuali unità. È fra tutti gli altri elementi che cercheremo i numeri primi: questo è il motivo astratto per cui il numero 1 non può essere considerato primo a cui facevamo riferimento nel § 2.1 .

Definizione B.6 (Associato di un elemento; divisore) Due elementi x ed y∈R si dicono associati se esiste un'unità u 2 R tale che x=u·y; diremo che x è un divisore di y, e scriveremo x|y, se esiste un elemento z∈R tale che y=z·x.

Definizione B.7 (Elemento irriducibile; elemento primo) Diremo che x è irriducibile se x non è un'unità di R, ed i suoi divisori sono solo i suoi associati e le unità di R; diremo che p è primo se non è un'unità, e se p|x·y implica p|x oppure p|y.

Come si vede, è necessario distinguere fra irriducibilità e primalità , perché esistono anelli in cui i due concetti sono distinti. In Z i due concetti coincidono.

D'ora in poi scriveremo per definizione a1=a, an+1=a·an per ogni nN.

Scriveremo anche a0=1 per ogni a≠0.

Vediamo un paio di esempi che illustrano come sia possibile costruire altri anelli a partire da quelli che abbiamo visto sopra.

Esempio B.8 Prendiamo Z, e consideriamo il più piccolo anello che contiene Z ed anche il numero reale √2 . Questo anello si indica con Z[√2] , e non è troppo difficile convincersi del fatto che Z[√2]={a+b√2: a,b∈Z } . Non è neppure difficile vedere che questo insieme è effettivamente un anello: più complicato (e molto più interessante che in Z) è il problema di determinarne le unità. Si può dimostrare che esistono infinite unità, come per esempio 1+√2 , 3 + 2√2 , 7 + 5 √2 , . . . , e, più in generale, ( 1 + √2 )n per ogni n∈Z, dato che ( 1 +√2 ) - 1 = √2 - 1∈Z [ √ 2 ].

Esempio B.9 Un altro esempio classico di anello interessante è quello detto degli interi di Gauss : aggiungiamo a Z l'unità immaginaria i , e quindi abbiamo Z[i]={a+bi: a,b∈Z} .

A questo punto sorge dunque il problema di capire quali fra questi anelli hanno in comune con Z le proprietà più familiari (l'unicità della fattorizzazione, per fare un esempio). Per questo motivo introduciamo la definizione che segue.

Definizione B.10 (Anello euclideo) Un anello integro R si dice euclideo se esiste un'applicazione δ:R*→ N detta grado tale che

per ogni a,bR* si ha δ(a)≤δ(ab);

per ogni a ∈R e per ogni b∈R* esistono q,r∈R tali che

1. a=q·b+r;

2. r=0 oppure δ(r)<δ(b).

In sostanza, gli anelli euclidei sono quelli dove è possibile fare la divisione euclidea o divisione con resto : il più semplice esempio di anello euclideo è infatti Z , con δ (n)=|n|. In effetti, gli anelli euclidei sono quelli più simili a Z , anche nel senso del prossimo teorema (che è l'analogo del Teorema Fondamentale dell'Aritmetica 3.1 ).

Teorema B.11 (Fattorizzazione unica negli anelli euclidei) Sia x∈R* dove R è un anello euclideo. Se x non è un'unità, esistono k∈N e k elementi primi di R, p1 , . . . , p k tali che x=p1··· pk. Questa decomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori, e del cambiamento di qualcuno dei pj in uno dei suoi associati.

Esempio B.12 Il Teorema di fattorizzazione unica non vale nell'anello Z [i√5] , come mostra l'esempio 6=2·3=(1+i√5) ·(1-i√5) . Dato che 2 è irriducibile e non divide nessuno dei fattori a destra, in questo anello 2 non è primo.

Definizione B.13 (Anello dei polinomi) Dato un anello R ed una indeterminata x∉R, indicheremo con R[x] l'insieme dei polinomi a coefficienti in R, e cioè il più piccolo anello che contenga R ed x.

Dunque, sono polinomi (cioè elementi di R[x]) tutti le espressioni del tipo

dove ak∈R per k = 0, . . . , d. Infatti, dalla definizione di anello segue che se x∈R[x] , allora anche x2R[x], e quindi, per esempio, anche x 2+x∈R[x], e così via. È necessario specificare “il più piccolo” nella definizione, perché, per esempio, R[x] è contenuto in R[x,y], l'insieme dei polinomi a coefficienti in R in due indeterminate.

Osserviamo anche che le notazioni Z[√2] e Z[x] sono coerenti: infatti, si tratta in ogni caso di anelli di polinomi, la cui differenza sta nel fatto che nel primo dei due abbiamo che (√2 )2=2∈Z, e quindi possiamo semplificare tutte le espressioni che coinvolgono potenze di √2 di esponente ≥2.

Definizione B.14 (Grado e primo coefficiente di un polinomio) Si dice grado di un polinomio P∈R[x], e si indica con il massimo intero k tale che nella rappresentazione (10) si ha ak0. In questo caso, ak si chiama primo coefficiente o coefficiente direttivo di P. Se ak=0 per ogni kN, il polinomio P è il polinomio nullo che si indica con 0 ed al quale non si assegna né grado né primo coefficiente.

Osserviamo che in Z12 (che non è integro visto che, ad esempio, 3 e 4 sono divisori dello zero) il polinomio x2-1 ha più di una fattorizzazione in elementi irriducibili:

x2-1≡(x-1)·(x+1)≡(x-5)·(x+5) mod 12 .

Una condizione sufficiente per avere fattorizzazione unica in anello di polinomi R[x] è, come abbiamo visto avere che tale anello di polinomi sia euclideo tramite la funzione grado di un polinomio. Si può dimostrare che ciò certamente accade se R è una struttura che ammette ancora più proprietàdi un anello.

Definizione B.15 (Campo) Un anello commutativo con identità R si dice campo se R \{ 0 } è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.

In tal caso si ha il seguente

Teorema B.16 Se K è un campo, scelti f K [x] e gK[x]\{ 0 }, esistono unici q, r∈K[x] tali che f(x)=q(x)g (x)+r(x), ed inoltre r=0 oppure (r)<θ(g) .

In altre parole, K[x] è un anello euclideo.

Allora, per il Teorema B.11, si ha che K[x] è a fattorizzazione unica. Ad esempio Q[x], R[x], C[x] e Zp[x] , p numero primo, sono tutti anelli a fattorizzazione unica.


Leopold Kronecker
Tornando ora all'esempio dell'insieme H considerato nel §3, anche se può sembrare a prima vista piuttosto artificioso, è invece molto interessante dato che è precisamente l'insieme degli interi positivi dispari che possono essere decomposti come somma di due quadrati perfetti.

Questa proprietà è una conseguenza di un altro Teorema di Fermat (dimostrato in modo tutto sommato elementare nel Capitolo 8 del libro di Conway e Guy [3]) secondo il quale ogni numero primo p della forma 4k+1 è a sua volta decomponibile come somma di due quadrati, e dell'identità algebrica

dalla quale si deduce che anche l'insieme dei numeri rappresentabili come somma di due quadrati è moltiplicativamente chiuso.

L'esempio dato nel testo è solamente uno di un'infinità di esempi possibili: presi p e q primi distinti della forma 4k+3, il numero p2q2 può essere decomposto in H come (pq )2 e come p2·q2, ed i numeri pq, p2, q2 sono primi di H.
Insiemi aventi solamente la proprietàdi chiusura rispetto alla moltiplicazione si chiamano semigruppi (che è quindi una struttura ancora più semplice di quella di gruppo), e la Figura 2 rappresenta una parte del semigruppo generato da 2, 3, 5, 7, cioè dell'insieme moltiplicativamente chiuso degli interi positivi i cui fattori primi appartengono tutti all'insieme {2,3,5,7} .